线性代数复习题 第一章 矩阵
一、 填空题
1.矩阵A与B的乘积
AB有意义，则必须满足的条件是 。
? 。
2.设A?(aij)m?s,B?(bij)s?n,又AB?(cij)m?n，问cij3.设A与B都是n级方阵，计算(A?B)2? , (A?B)2? ,
(A?B)(A?B)? 。
4.设矩阵A???12??,试将A表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 34?? （注意：任意n阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）
?20?1???T5.设X?(1,2,1),Y?(2,1,?3),A?013,计算XAY? 。
????122???X,Y为字母向量时也应该会表达，见习题1.16）
6.设矩阵AB与BA都有意义，问A与B的关系为 ；又若AB与BA为同级方阵，问A与B的关系为 。
7.设?是一个列向量，k是一个数，分析k?与?k的意义
（特别地，若
，两者是否相等？答： 。 8.设向量???1,2,3?,??(1,1,1)T，则??? ，??? 。
9.设矩阵A???20?100?，则A? 。
?03??200????110.设矩阵A?012，则A? 。
???035???11.设准对角矩阵A???A1?00??,f(x)是多项式，则f(A)? 。 A2??123???12.设矩阵A?456，则A的秩R(A)? 。
???789???13.设A 是n阶方阵14.设A是矩阵
**A的伴随矩阵, A?d,则AA?? 。
A 的伴随矩阵，则AA*?A*A?_____________.
1
?123???*15.矩阵A?23?5的秩为__________，A 的伴随矩阵A= 。
???471???16.设A是3阶可逆方阵，B是3?4矩阵且R(B)?2，则R(AB)? 。
?102???17.设A?040，B是3?4矩阵且R(B)?2，则R(AB)? 。
???203???18.试写出n阶方阵
A可逆的几个充分必要条件（越多越好） 。
中(2,1)-元的代数余子式 ，A中第三行
?123???19.设矩阵A?23?5，
??试写出行列式A?471???元素的代数余子式之和= 。
20.设B是3?4矩阵且R(B)?2，则B的等价标准形为 。 21.设R(Am?n)?n，则
A的等价标准形为 。
22.设A???12?2?，f(x)?x?2，则f(A)? 。 ?11??120?1???23.设A?2013，则A的等价标准形为 。
???5225????1?324.设A???0??0200??400??1，则A? 。25.
034??057?000d00a0b0c00000? 。
26.已知矩阵A满足27.设n阶矩阵
A2?2A?3E?0，则A?1? 。
A可逆，则A*? 。
28.试写出矩阵秩的定义 。 29.试写出n阶行列式按第一列展开的定义 。 30.已知四阶行列式
D中第三列元素依次为 ?1,2,0,1，它们的代数余子式依次分别为
5,?3,?7,?4，则D=_______。
31.已知A,B,C为同阶方阵,且C可逆,若C32.设A,33.设A,
?1AC?B,则C?1AmC? (m是整数)。
______。 B,C,D均为n阶方阵，且ABCD?E，则(BC)T(DA)T?______________。 B,C均为n阶方阵，且ABC?E，则BT(CA)T?__________2
34.若
___。 A，B都是n阶方阵，A?1，B??3，则3A*B?1?__________?1?23????10035.设矩阵A??2, 则 A?______________。
???749???136.设
2111340,则A31?A?0234?1A32?A33?A34? ,
?213M31?M32?M33?M34? , A31?2A32?A33?3A34? 。 ??37. ??01??cos?? , ?????sin?n?sin???? 。
cos??n38.设3阶方阵
A的第一行和第三行交换后得矩阵B,B的第一行的2倍加到第二行得矩阵C,于是存在
矩阵P使得PA?C,则P? 。
。
39.以3阶方阵为例，写出三类初等矩阵及其逆矩阵
40.已知准对角矩阵A???A1?OO??1?可逆，则A? 。 A2?41.已知矩阵
?AO?A,B的秩分别为2,1，则分块矩阵??的秩= 。
OB??二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）
1.设矩阵
A,B满足AB?O，则A?O或B?O。 2. 矩阵乘法适合交换律。
3.设
A,B是n阶方阵，则(A?B)2?A2?2AB?B2,A2?B2?(A?B)(A?B)。
4.设A,B,C是同阶方阵，若5.设?1,?2是方程组
AB?AC，则B?C。(若A可逆，该结论如何？)
AX??的解，则?1??2是AX??的解，?1??2是AX?0的解。
6.设?1,?2是线性方程组7.设?1,?2是线性方程组
AX?0的解，则?1??2是AX?0的解。
AX??的解，则k?1?(1?k)?2是AX??的解，k是任意常数。
?010??100??102???????8.矩阵100可逆，且其逆为其本身。类似有030，010同样问题。
???????001??001??001???????9.设
A是n阶矩阵，则kA?kA。
3
10.若一行列式为零，则该行列式中必有两行或两列称比例。（或必有一行或一列为零） 11.若方阵
A可逆，则其伴随矩阵A*也可逆。 12.n阶方阵A满足A2?A?2E?0，则E?A可逆。
13.若A2?0，则必有A?0。 14.设A是n阶方阵， 且A?a?0， 则 A*?11?。 Aa15.方阵16.设
A满足A2?A，则A?E或A?0。
A,B都是n阶方阵,若A,B都可逆,则A?B可逆。
17.若矩阵A的秩为r，则A中必有某一个r?1阶子式不等于零。
18.若n阶方阵
A的秩R(A)?n?1，则其伴随阵A*?0。19.设A是n阶方阵，则A*?An?1。
20.方阵的初等变换不改变矩阵的秩，也不改变行列式的值。 21. 设22.设
A,B都是n阶方阵,若A,B都可逆,则AB可逆，且其逆为A?1B?1。
。
A,B都是n阶方阵,则A?B?A?B三、解答题
31.求
20?1253?201104，
1022111340，
011123234101，
2111121111211112。
A?1?1334?1?213124?1a2.求Dba?baa?bab。
?ba?b?131????214?T?B?0?123.已知矩阵A??，，计算,。 AB?ABAB???1?13????1?31???4.设3阶方阵
A的伴随矩阵为A?，且A?1?1?，求(4A)?2A2。
?1?25.已知A???0??1010?120??，求逆阵A?1。 010??111??23??213?123??????2?1426.设A?1????1?21???，求A??????12???8?32??。
4
?1?17. 1）设A???0??0?110???1?11????101??1?11?。试用矩阵分块方法求BT,AB。 ,B???00?1?020????00?1??002???? 2）教材P46页习题一17 。 8.用两种方法求下列矩阵的逆
?012??211????? A?234,B?001.
?????479??100?????9.利用初等变换与初等矩阵的关系计算下列矩阵的乘积
?100??100??a11????? 001020a21??????010??001??a?????3110.写出下列矩阵的等价标准形
a12a22a32a13??111????a23??010?
?a33????001??2?1?11??1???11?21?1???,
?4?62?2??1??3?74?3????????13???k111?101?1???，1k11（对k讨论）
?1102???11k2????3120??321?1?112???11.设矩阵A?3??12的秩为2，求?，?。
???53?6????x1?x2?2x3?x4??2?2x1?x2?3x3??2?2x?2x?x?2x?5?1?23412.求解线性方程组（1）?x1?x2?3x3??1；（2）?。
x?2x?3x?4x??2234?1?2x?x?4x??93?12??3x1?x2?7x3?5x4?17?23??213??12?3??????， 求A2?14213.设3A?1????3?11????????12???8?32??14.设A??。
?100??12?4?TB?，???，求BA??111??14?2?*。
15.设
A是n阶方阵,且A?2,求3A?1?2A?,其中A 是A的伴随矩阵。
?1???42n16.设矩阵A?(1,1,?1),B?2.多项式f(x)?x?x?x?1，求AB,(BA)及f(BA)。
???1???
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