《数学实验》报告
实验一 斐波那契数列
（一）练习1
一、 实验目的与要求
1．认识an?1?an?1?an,a1?1数列，体验发现其通项公式的过程； 2．了解matlab软件中进行数据显示与数据拟合的方式； 3．掌握matlab软件中plot, polyfit等函数的基本用法；
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4．提高对数据进行分析与处理的能力。
二、 问题描述
讨论数列an?1?an?1?an,a1?1的变化规律。 （1）在平面坐标系中画出数列变化的折线图； （2）观察图形，你认为数列的极限是什么； （3）观察图形，寻找恰当的函数去拟合这个数列；
三、 实验过程
本试验将an?1?an?1?an,a1?1数列的有限项，看成是待处理的数据。首先利用matlab软件的可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察曲线的变化趋势。然后通过观察图形，猜测数列的拟合函数，通过实践利用matlab软件的数据拟合功能，不断修改验证，得到合适的函数来拟合这个数列。 1． 在平面坐标系中画出数列变化的折线图
为了研究an?1?an?1?an,a1?1数列的变化规律，我们取此数列的前50项来观察。利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其中蕴涵的函数关系。具体的实现流程为：
（1）定义数组an； （2）显示数组an。
具体的代码如下：
function s1(n) %定义函数显示an?1?an?1?an,a1?1数列前n项 an=[1]; %将数列的首项放到数组an中 for i=2:n %an的第2项到第n项
an=[an,an(i-1)+1./an(i-1)]; %将第i项添加到数组an中 end %循环结束
plot(an,'g*'); %将装有数列前n项的数组用绿色的星型号显示出来
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在命令窗口调用这个函数，键入：an(50)，便显示出来an的随着n变化而变化的图像。图1为代码编辑窗口，图2为数列an变化的折线图。经观察，觉得曲线的形状象幂函数的曲线，其数据无限增大。我们可以改变参数n的值，反复观察。
图1 代码编辑窗口
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图2 数列an变化的折线图
2． 观察图形，猜测数列的极限
深入观察我们可以看到，随着n的增大，an的值不断增大，当n取100（如图3）与1000（如图4）时，发现an并不趋近于某一值，而是继续增大。所以我们试着猜测：数列的极限是无穷大。而且由an>0,an+1=an+1/an>an可知该数列确实是只能趋于无限大。并且由图形发现，该数列的图形呈现幂函数的形式。
n=100 图4 n=1000
图3
为了进一步验证这个结论是否正确，我们可以进行假设分析与实践验证。
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3． 寻找恰当的函数拟合数列
由以上事实，我们可以猜想an与n的关系大致为an=mp*n?q，其中m为大于1的正整数，p与q为待定的常数。
（1）首先确定m的大概值，当m取2,3,5,10时，分别比较曲线与原曲线的拟合程度。如果m值合适，此时an^m与n应该成线性关系。取n=200，在同一窗口看当m取2,3,5,10时，曲线是否是一条直线。如图5：
m=2 m=3
m=5 m=10
图 5
显然，由图可见，m=2时an^m与n应该成线性关系，其他均不满足，采用m=2最为合理！所以，我们取m=2。
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