固体物理学B卷真题2006年
一、
简要回答以下问题。
1、请证明晶体中允许的转动对称轴只能是1，2，3，4和6重轴。
2、请问固体结合有几种基本形式?请分别列出以这几种基本形式结合的2个典型例子。
3、请给出电子比热与温度的关系。知道这两者的关系后可以得到关于费米面的什么信息?
4、请问能带论建立在哪些假设上?
5、请简要阐述声子的概念。
二、
对于一个具有体心立方结构的金属，其晶格常数为a，
1、写出其最近邻的原子个数及最近邻原子间距；
2、画出其(100) 面上的原子排列，由此得到一个二维的布拉菲(Bravais) 格子，在图中画出其基矢和原胞；
3、写出这个二维布拉菲格子的倒格矢；
4、画出第一布里渊区，并求出其面积。
三、
一维一价的金属，有N个原子，a为晶格常数。考虑抛物线型的色散关系，试求该系统的
1、电子态密度；
2、绝对零度时费米能；
3、绝对零度时每个电子的平均能量。
四、
一维的单原子链，原子个数为N，原子间距为a。
1、用紧束缚近似方法求出与原子s态能级对应的能带ε(k) ；
2、求出其电子态密度的表达式；
3、 试求该能带宽度。
五、
请分别在以下模型中计算一维单原子链在极低温时晶格热容与温度的函数关系。设原子数为N，原子间距为a。
1、爱因斯坦模型；
2、德拜模犁。
答案:
一、 1、 证：假定是布拉菲格子在该方向的最短格矢，并有通过原点0与纸面
转到，必为格矢。其逆垂直的n重轴。旋转角为θ=2π/n时，操作为转动-θ=-2π/n，所得矢量义应为格矢。 若的长度为a，
亦为格矢。方向，按布拉菲格子定 则：(m为整数) 。
2a cos θ=2a cos 2π/n=ma， 故cos 2π/n=m/2。
则：m=0，1，2，-1，-2； n=4，6，1，3，2。
2、固体结合有离子性结合、共价结合、金属性结合和范德瓦尔斯结合等基本形式。以离子性结合的为离子晶体，如NaCl，CsCl晶体等；以共价结合为共价晶体，如硅，锗等；以金属性结合的为金属，如镁，铝等：以
范德瓦尔斯结合的为具有满壳层结构的惰性气体元素，如氩，氖等。 3、 电子比热与温度成线性关系：。知道这两者的关系后可以得到关于费米面的电子态密度。 4、 能带论建立的假定为：绝热近似、平均场近似和周期势场近似。 5、 声子是晶格简谐振动的能量子，是假想粒子，反映晶格原子集体运动状态的激发单元，是玻色子。 二、
1、 最近邻的原子个数为8，最近邻原子间距为原子排列如下： 。 2、 (100) 面的
基矢的表达式为：根据 三、
(见上图) 。原胞为基矢所围的正方形。 3、
。
。 4、 第一布里渊区的面积：
1、在ε到ε+dε能量区间中，k态数目为。
利用抛物线的色散关系，
可得在ε到ε+dε能量区间中电子态的数目(已考虑自旋方向) 为： 因此，电子态密度为： 有： 。 2、 在绝对零度时，费米面以下的状态全被电子占据，因此
。
。 3、绝对零度时，每个电子的平
所以，绝对零度时的费米能均能量为：
。 四、
1、 s态波函数具有球对称，由紧束缚近似方法，得
对于位于原点的原子，其最近邻的两个原子的坐标为a和-a，于是 为 2、 对于一维情况，在周期边界条件下，每个波矢占据的长度。位于k到k+dk内电子态的数目(已含入自旋) 为： 。
3、 五、
1、 根据爱因斯坦模型，假设晶体中的各原子的振动可以看作是相互独立的，所有原子都具有相同的振动频率ω0假设一维单原子链有N个原子，其振动能量为： 2、 一维情况下，q空间的密度为，其中L=N a为原子链
长度。
所以，