考 学院第 学年度第 学期 考生《实变函数》试卷四
生答专业________班级_______姓名 学号 题号 一 二 三 四 五 总分
答题得分 注 意 事 项 1、本试卷共6页。 2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。 题不得 分 不得 一.单项选择题（3分×5=15分） 1．设P为Cantor集，则 （A）P? ?0 (B) mP?1 (C) P?P (D) P?P '?2. 下列说法不正确的是( ) 得超 (A) P0的任一领域内都有E中无穷多个点，则P0是E的聚点 (B) P0的任一领域内至少有一个E中异于P0的点，则P0是E的聚点 (C) 存在E中点列?Pn?，使Pn?P0，则P0是E的聚点 (D) 内点必是聚点 3.设f(x)在E上L可积,则下面不成立的是( ) 超此此线 (A)f(x)在E上可测 (B)f(x)在E上a.e.有限 （第1页，共12页） 线 (C)f(x)在E上有界 (D)f(x)在E上L可积
4. 设{En}是一列可测集，E1?E2???En??，则有（ ）。
?????（A）m??En??limmEn (B) m??En?mEn ??limn?1n??n?1n???????? （C）m??En?mEn;（D）以上都不对 ??limn?1n????5.设f(x)为[a,b]上的有界变差函数,则下面不成立的是( ) (A)f(x)在[a,b]上L可积 (B)f(x)在[a,b]上R可积 (C)f'(x)在[a,b]上L可积 (D)f(x)在[a,b]上绝对连续
得 分 11二. 填空题(3分×5=15分)
1、设An?[,2?],n?1,2,?，则limAn?_________。
nnn??2、设E?R,若E??E,则E是 集；若E?E，则E是 __集；若
'E?E，则E是________集.
0??3、设?Si?是一列可测集，则m??Si?i?1??______???mS
ii?14、鲁津定理：______________________________________________________
_______________________________________________________________ 5、设f(x)为?a,b?上的有限函数，如果对于?a,b?的一切划分，使
________________________________，则称f(x)为?a,b?上的有界变差函数。
（第2页，共12页）
得 分 三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不 成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)
1、A为可数集，B为至多可数集，则A?B是可数集.
2、若mE?0，则mE?0.
3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数
4．设f(x)在可测集E上可积分，若?x?E,f(x)?0，则?f(x)?0
E
（第3页，共12页）
得 分 四.解答题(8分×2=16分)
1、设
?xx为无理数f(x)?? ，则f(x)在?0,1?上是否R?可积，是否L?可积，
1,x为有理数?若可积，求出积分值。
2、（8分）求lim?n?0ln(x?n)ne?xcosxdx
.
（第4页，共12页）
得 分 五.证明题(6分×3+ 8?2 =34分)
1、（6分）设f(x)是???,???上的实值连续函数，则对于任意常数
a,E?{x|f(x)?a}是闭集。
2.(6分) 设??0,?开集G?E,使m*(G?E)??，则E是可测集。
3. （6分）设{fn(x)}为E上可积函数列，limfn(x)?f(x)a.e.于E，且
n?
E|fn(x)|dx?k，k为常数，则f(x)在E上可积.
（第5页，共12页）