实验三 回归分析
1.为了分析X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线来照射细菌，每次照射6分钟用平板计数法估计尚存活的细菌数，照射次数记为 t，照射后的细菌数y如表1所示。
表1 X射线照射次数与残留细菌数
试求：①给出y与t的二次函数回归模型；②在同一坐标系内做出原始数据与拟合结果的散点图；③预测t=16时残留的细菌数；④根据问题实际意义，你认为选择多项式函数是否合适？⑤给出非线性回归模型，并预测照射16次后细菌残留数目。
解：(1)实验程序： t=1:15;
y=[352 211 197 160 142 106 104 60 56 38 36 32 21 19 15];
rstool(t',y','purequadratic')
结果如图1所示：
3503002502001501005004681012
图1
在Matlab工作区中输入命令：beta，rmse
beta =347.8967 -51.1394 1.9897 rmse =22.2649
所以y与t的二次回归模型函数：y?347.8967?51.1394t?1.9897t2 （2）画出同一坐标散点图，如图2所示，程序如下： [p,s]=polyfit(t,y,2); Y=polyconf(p,t,y); plot(t,y,'k+',t,Y,'r')
1
400350300250200150100500051015
图2 散点图
(3)当t=16时，计算程序如下： [p,s]=polyfit(t,y,2); Y=polyconf(p,16); 结果是：Y =39.0396
即说明预测残留的细菌数y=39.0396个；
(4)用二次函数计算出细菌残留数为39.0396，显然与实际不相符合。根据实际问题的意义可知：尽管二次多项式拟合效果较好，但是用于预测并不理想。因此，如何根据原始数据散点图的规律，选择适当的回归曲线是非常重要的，因此有必要研究非线性回归分析。
(5)由(2)散点图可知，可以假设将要拟合的的非线性模型为y?aeb/t对将要拟合的非线性模型y?aeb/t，建立的M-文件volum.m如下： function yhat=volum(beta,t) yhat=beta(1)*exp(beta(2).*t);
%输入数据 t=1:15;
y=[352 211 197 160 142 106 104 60 56 38 36 32 21 19 15]; beta0=[150,0]';
%求回归系数
[beta,r,J]=nlinfit(t',y','volum',beta0); beta
y=nlpredci('volum',16,beta,r,J)
y?400.0905e-0.2240t，得结果：beta =400.0905 -0.2240，y =11.1014，即回归模型为：
那么根据此模型我们可以知道：当t=16时，残留的细菌数y=11.1014，很显然这样的结果会更令人满意！
2
2.某销售公司将库存占用资金情况、广告投入的费用、员工薪酬以及销售额等方面的数据作了汇总（表 2）,该公司试图根据这些数据找到销售额与其他变量之间的关系，以便进行销售额预测并为工作决策提供参考依据。(1)建立销售额的回归模型；(2)如果未来某月库存资金额为150万元，广告投入预算为45万元，员工薪酬总额为27万元，试根据建立的回归模型预测该月的销售额。
表2 库存资金额、广告投入、员工薪酬、销售额汇总表（单位：万元）
月份 库存资金额(x1) 广告投入(x2) 员工薪酬总额(x3) 销售额(y)
1 75.2 30.6 21.1 1090.4 2 77.6 31.3 21.4 1133.0 3 80.7 33.9 22.9 1242.1 4 76.0 29.6 21.4 1003.2 5 79.5 32.5 21.5 1283.2 6 81.8 27.9 21.7 1012.2 7 67.7 24.8 21.5 1098.8 8 98.3 23.6 21.0 826.3 9 74.0 33.9 22.4 1003.3 10 151.0 27.7 24.7 1554.6 11 90.8 45.5 23.2 1199.0 12 102.3 42.6 24.3 1483.1 13 115.6 40.0 23.1 1407.1 14 125.0 45.8 29.1 1551.3 15 137.8 51.7 24.6 1601.2 16 175.6 67.2 27.5 2311.7 17 155.2 65.0 26.5 2126.7 18 174.3 65.4 26.8 2256.5
解：首先，作出因变量与各自变量的样本散点图，如图3所示，程序如下：
x1=[75.2 77.6 80.7 76.0 79.5 81.8 67.7 98.3 74.0 151.0 90.8 102.3 115.6 125.0 137.8 175.6 155.2 174.3];
x2=[30.6 31.3 33.9 29.6 32.5 27.9 24.8 23.6 33.9 27.7 45.5 42.6 40.0 45.8 51.7 67.2 65.0 65.4];
x3=[21.1 21.4 22.9 21.4 21.5 21.7 21.5 21.0 22.4 24.7 23.2 24.3 23.1 29.1 24.6 27.5 26.5 26.8];
y=[1090.4 1133.0 1242.1 1003.2 1283.2 1012.2 1098.8 826.3 1003.3 1554.6 1199.0 1483.1 1407.1 1551.3 1601.2 2311.7 2126.7 2256.5]; subplot(1,3,1),plot(x1,y,'g*'); subplot(1,3,2),plot(x2,y,'k+'); subplot(1,3,3),plot(x3,y,'ro');
3
2400220020001800160014001200100080024002200200018001600140012001000800240022002000180016001400120010008002001002000501002530
图3 因变量y与各自变量的样本散点图
从图上可以看出这些点大致分布在一条直线旁边，因此有较好的线性关系，
????x???x???x，建立M-文件输???可以采用线性回归。设回归方程为：y0112233入如下程序：
x1=[75.2 77.6 80.7 76.0 79.5 81.8 67.7 98.3 74.0 151.0 90.8 102.3 115.6 125.0 137.8 175.6 155.2 174.3];
x2=[30.6 31.3 33.9 29.6 32.5 27.9 24.8 23.6 33.9 27.7 45.5 42.6 40.0 45.8 51.7 67.2 65.0 65.4];
x3=[21.1 21.4 22.9 21.4 21.5 21.7 21.5 21.0 22.4 24.7 23.2 24.3 23.1 29.1 24.6 27.5 26.5 26.8];
y=[1090.4 1133.0 1242.1 1003.2 1283.2 1012.2 1098.8 826.3 1003.3 1554.6 1199.0 1483.1 1407.1 1551.3 1601.2 2311.7 2126.7 2256.5]; n=18;m=3;
x=[ones(n,1),x1',x2',x3'];
[b,bint,r,rint,s]=regress(y',x,0.05); b,bint,r,rint,s
运行后即得到结果如表3所示
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表3 对初步回归模型的计算结果
回归系数 回归系数的估计值 -53.9075 5.7252 15.2879 9.5698 回归系数的置信区间 [-1011.2，903.4] [2.0，9.4] [6.4，24.2] [-44.9，64.1] ?0 ?1 ?2 ?3 R2?1,F?59,p?0.0001，s2?17271
残差列向量r =[44.0394 59.3264 96.5750 -35.3239 179.3461 -36.4116 180.2202 -244.3408 -99.0812 84.1521 -184.5600 67.5082 -33.4048 -89.1104 -159.6274 69.7451 44.7425 56.2050]T
对应残差的(1??)置信区间rint如下：
[-228.8318，316.9105]、 [-214.8092，333.4620] [-173.5015，366.6515]、 [-311.2066，240.5589] [-75.9312，434.6233]、 [-313.1813， 240.3581] [-69.6357，430.0762]、 [-449.7576，-38.9240] [-365.7729，167.6105]、 [-69.8815，238.1857] [-428.0384，58.9185]、 [-208.3399，343.3563] [-312.3682， 245.5587]、[-199.0870，20.8662] [-415.9094，96.6547]、 [-172.6973，312.1875] [-207.2697，296.7547]、 [-186.8695，299.2794]。
??-53.9075?5.7252x1?15.2879x2?9.5698x3，因此得到初步的回归方程为：y当未来某月库存资金额为150万元，广告投入预算为45万元，员工薪酬总额为
27万元，那么根据所建立的回归模型可以预测出该月的销售额为1751.2万元。
3.葛洲坝机组发电耗水率的主要影响因素为库水位、出库流量。现从数据库中将 2005年10月某天15时-16时06分范围内的出库流量、库水位对应的耗水率读取处理，数据如表4所示，试利用多元线性回归分析方法建立耗水率与出库流量、库水位的模型。（表4数据来源：余波，多元线性回归分析在机组发电耗水率中的应用，计算机与现代化，2008（2））
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