。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 专题8.4 直线、平面平行垂直的判定及其性质
【考纲解读】 要 备注 求 内 容 ABC B C A 点、线、面之间的位置关系 直线与平面垂直的判定及性质 1．以立体几何的定义、公理、定理为出发点，认识和 √理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理． √ 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位 置关系的简单命题． 【直击考点】
题组一 常识题
1． 已知直线a，b和平面α，且a⊥α，b∥α，则a与b的位置关系为________．
【解析】因为a⊥α，所以a垂直于α内的任意直线．因为b∥α，所以b可以平移至α内，所以a⊥b. 2．给出下列条件：①l与平面α内的两条直线垂直；②l与平面α内的无数条直线垂直；③l与平面α内的某一条直线垂直；④l与平面α内的任意一条直线垂直．
其中能判定直线l⊥平面α的有________(填序号)．
【解析】只有④能满足直线l与平面α内的两条相交直线垂直，故④满足题意．
3． 若PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则所形成的平面中一定互相垂直的平面有________对．
【解析】如图所示，由于PD⊥平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC.故一定互相垂直的平面有7对．
1
题组二 常错题
4．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的____________条件．
5．如图所示，O为正方体ABCD - A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是________(填序号)．
①A1D；②AA1；③A1D1；④A1C1.
【解析】连接B1D1，由题易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1?平面DD1B1B，∴A1C1⊥B1O. 6．已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为________________________． 【解析】在同一个平面内，由题设条件可得a∥c；在空间中，直线a与c的位置关系不确定，平行、相交、异面都有可能． 题组三 常考题
7．已知平面α，β交于直线l，若直线n⊥β，则n与l的位置关系为________． 【解析】由平面α，β交于直线l，得到l?β，又
n⊥β，所以n⊥l.
8．在如图所示的四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，则DE与平面PBC的位置关系为________．
【解析】因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.由底面ABCD为矩形，得BC⊥CD，又PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.又DE?平面PCD，所以BC⊥DE.因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.又PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.
9．如图，在四棱锥P - ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC，则平面PAB与平面PAC的位置关
2
系为________．
【知识清单】
考点1 直线与平面垂直的判定与性质
直线与平面垂直
定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．定理：
文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线和一个平aα判定面内的两条相交直线都bα?定理 l⊥a?垂直，那么该直线与此平?l⊥αl⊥b? 面垂直. a∩b＝A??如果两条直线同垂直于性质一个平面，那么这两条直 a⊥α??定理 b⊥α????a∥b 线平行.
考点2 平面与平面垂直的判定与性质
1平面与平面垂直
定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 定理：
文字语言 图形语言 符号语言
3
判 定 定 理 性 质 定 理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. ABβ????β⊥α ?AB⊥α? ?α∩β＝MN???ABABβ??AB⊥MN⊥α α⊥β考点3 线面、面面垂直的综合应用
1．直线与平面垂直
(1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法．
②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． (2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一直线的两平面平行． 2．斜线和平面所成的角
斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角． 3．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法
②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的性质
如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
【考点深度剖析】
近年来，高考题由考查知识向考查能力方向转变，题目新颖多变，灵活性强．立体几何试题一般都是综合直线和平面，以及简单几何体的内容于一体，经常是以简单几何体作为载体，全面考查线面关系．
【重点难点突破】
考点1 直线与平面垂直的判定与性质
【1-1】设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件
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【答案】充分不必要
【解析】当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.
但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α. 即l⊥α是l⊥m且l⊥n的充分不必要条件．. 【1-2】(2014·常州模拟)给出下列命题：
(1)若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；
(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； (3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m，则另一条直线也与直线m垂直；
(4)若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中所有真命题的序号为________． 【答案】(1)(3)(4)
【1-3】设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．
【答案】①③④?②(或②③④?①)
【解析】逐一判断．若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③?④错误；同理①②④?③也错误；①③④?②与②③④?①均正确． 【思想方法】
证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．
【温馨提醒】证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键． 考点2 平面与平面垂直的判定与性质
【2-1】(2014·合肥模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题
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