第5讲 函数、导数与不等式（上）
题一：已知函数y?（ ）
A. f?1??ef?0? B. f?1??ef?0? C. f?1??ef?0? D.不能确定
题二： 设f?x?,g?x?是定义在R上的可导函数，且ff?x??x?fx，则f1与ef0的大小关系是
f 满足,x?R????????ex?xgx?fxg?x?0，则当????????a?x?b时有（ ）
A. f?x?g(x)?f(b)g(b) B. f?x?g(a)?f(a)g(x) C. f?x?g(b)?f(b)g(x) D. f?x?g(x)?f(a)g(a)
题三：已知函数f(x)=x3-ax2-1(a≠0). （I） 求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)当a>0时，若过原点（0，0）与函数f(x)的图象相切的直线恰有三条，求实数a的取值范围．
fx）=x?题四：设函数（处的切线方程为y=1
（Ⅰ）确定b、c的值
133a2x?bx?c，其中a＞0，曲线y?（fx）f0）在点P（0，（）2fx）（Ⅱ）设曲线y?（在点（x1，（）及（x2，（）处的切线都过点（0,2） fx1）fx2）证明：当x1?x2时，f'(x1)?f'(x2)
fx）（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线y?（的三条不同切线，求a的取值范围。
题五：已知函数f(x)?x?3ax?(3?6a)x?12a?4(a?R) (Ⅰ)证明：曲线y?f(x)在x?0的切线过点(2,2)；
（Ⅱ）若f(x)在x?x0处取得极小值，x0?(1,3),求a的取值范围。
题六：已知函数f(x)=x+相等的正数x1、x2，证明：
2322+alnx(x>0)，f(x)的导函数是f'(x)．对任意两个不x
f(x1)+f(x2)x+x2>f(1)；
22（II）当a￡4时， f'(x1)-f'(x2)>x1-x2．
（I）当a￡0时，
第5讲 函数、导数与不等式（上）
题一：选B.
?xxf??x??f?x?f?x??f?x?e?f?x?e?详解: 设函数y?g?x??求导得g?x?? 2xxx??ee??e????因为
f?1?f?0??f??x??f?x?，则g?x??0?g?1???g?0???f?1??ef?0?
e1
题二：选A。 详解:设
F?x??f?x?g?x?，由已知有F??x??0?F?x?在定义
R上是减函数，
x?b则
F?x??F?b?，即f?x?g?x??f?b?g?b?。
题三：a的取值范围为（3，+∞）. 详解:（Ⅰ）若af'(x)?3x2?2ax,由3x2?2ax?0得x?0或x?2a， 32a2a,或x?0时，f'(x)?0,所以当a?0时，f(x)在(??,0),(,??)上为332a2a)上为减函数；,或x?0时，f'(x)?0,所以当a?0时，f(x)增函数，在(0,若a?0，当x?332a2a),(0,??)上为增函数；,0)上为减函数. 在(??,，在(33?0，当x?（Ⅱ）依题意设切点为（x0,y0），则切线方程为∵切点在切线和∴2x032y?(3x0?2ax0)x，
232y?f(x)的图象上，则y0?(3x0?2ax0)x0，y0?x0?ax0?1，
322由题意知满足条件的切线恰有三条，则方程2x?ax?1?0有三个不同的解，?ax0?1?0，
3令g(x)?2x∵a?ax2?1,g'(x)?6x2?2ax，由g'(x)?0得x?0或x?a， 3aa?0，分析可知f(x)在(??,0),(,??)上为增函数，在(0,)上为减函数；
33aa3
又当x?0时，g(x)的极大值为1，恒大于0，当x?时，g(x)的极小值为1?，
327
a3?0即可，∴a?3.故a的取值范围为（3，+∞）. ∴只需1?27
题四：见详解
详解:（Ⅰ）由f（x）=
13a2x?x?bx?c 322得：f（0）=c，f’（x）=x?ax?b，f’（0）=b。
又由曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1， 得到f（0）=1，f’（0）=0。 故b=0，c=1。 （Ⅱ）f（x）=
13a2x?x?1，f’（x）=x2?ax。 32由于点（t，f（t））处的切线方程为
y-f（t）=f’（t）（x-t），而点（0,2）在切线上，所以2-f（t）= f’（t）（-t），
23a2t?t?1?0， 3223a2即t满足的方程为t?t?1?0。
32化简得
下面用反证法证明。 假设f’（x1）=f'(x2) ，
由于曲线y=f（x）在点(x1,f(x1)) 及(x2,f(x2)) 处的切线都过点（0,2）， 则下列等式成立：
?23a2?3x1?2x1?1?0??23a2?x2?x2?1?02?32?x1?ax1?x22?ax2??由（3）得x1?x2(1)(2) (3)?a
23a2由(1)-(2)得x?x1x2?x2?421(4)
3a2a23a23a22222?x1?x1x2?x2?(x1?x2)?x1x2?a?x1(a?x1)?(x1?)??又4244∴x1
?aa，此时x2?，与x1?x2矛盾，所以f(x1)?f(x2)。 22（Ⅲ）由（Ⅱ）知，过点(0,2)可作
y?f(x)的三条切线，等价于方程2?f(t)?f?(t)(0?t)有三个相
异的实根，即等价于方程设g(t)23a2t?t?1?0有三个相异的实根。 32?23a2t?t?1，则g?(t)?2t2?at。 32
令g?(t)?2t列表如下：
2?at＝0得x?0,x?a(a?0) 2t g?(t) g(t) g(t)?(??.0) ＋ 0 0 a(0,) 2－ a20 a(,??) 2＋ ↗ 极大值1 ↘ a3极小值1? 24↗ 由
23a22at?t?1的单调性知，要使g(t)?t3?t2?1=03232有三个相异的实根，当且仅当
a31??0，即a?233。
24∴a的取值范围是(2
题五：a的取值范围是(?详解: (Ⅰ) 曲线
33,??)。
5,?2?1)。 2f?(x)?3x2?6ax?(3?6a)，f?(0)?3?6a，又f(0)?12a?4
y?f(x)在x?0的切线方程是：y?(12a?4)?(3?6a)x，在上式中令x?2，得y?2，
y?f(x)在x?0的切线过点(2,2)；所以曲线
（Ⅱ）由(ii)当af?(x)?0得x2?2ax?1?2a?0，（i）当?2?1?a?2?1时，f(x)没有极小值；
?2?1或a??2?1时，由f?(x)?0得
x1??a?a2?2a?1,x2??a?a2?2a?1 故x0?x2。由题设知1??a?a2?2a?1?3，当a?2?1时，不等式
1??a?a2?2a?1?3无解；
52?1时，解不等式1??a?a2?2a?1?3得??a??2?1
25综合(i)(ii)得a的取值范围是(?,?2?1)。
2当a??
题六：见详解
详解:（Ⅰ）由
2?alnx 得 xf?x1??f?x2?12?11?a??x1?x22???????lnx1?lnx2?22?x1x2?2x?x1??x12?x22??12?alnx1x2 2x1x2f?x??x2?x?x4?x?x??x?x?f?12???12???aln12
2?2??2?x1?x222x?x2? ① 11而?x12?x22????x12?x22??2x1x2???1???24??2?2又
?x1?x2?x1x2?2??x12?x22??2x1x2?4x1x2 ∴
∴lnx1?x24?x1x2x1?x2?0
②
∵x1?x22x1x2?lnx1?x22 ∵a∴alnx1x2?alnx1?x2 ③ 22x?x214?x?x?由①、②、③得 ?x12?x22??1?alnx1x2??12???alnx1x2 2x1x2?2?x1?x2f?x1??f?x2??x?x?即?f?12?
2?2?22a2（Ⅱ）证法一：由f?x??x??alnx，得f'?x??2x?2?
xxx2?x1?x2??a2a??2a?∴f'?x1??f'?x2???2x1??x?x?2????2x?????122x12x1??x22x2?x12x22x1x2?
f'?x1??f'?x2??x1?x2?2?2?x1?x2?a??1 22x1x2x1x22?x1?x2?a下面证明对任意两个不相等的正数x1,x2,有2???1恒成立
x12x22x1x22?x1?x2?2?x1?x2?4即证a?x1x2?成立 ∵x1x2??x1x2?x1x2x1x2x1x2设t令u
?x1x2,u?x??t2?'44?t?0?，则u'?x??2t?2tt
?x??0得t?32，列表如下：
t u'?t? ?0,2? 332 3?4 32,??? _ 0 极小值3? u?t? 332?x1?x2??a u?t??34?108?4?a ∴x1x2?x1x2∴对任意两个不相等的正数x1,x2，恒有
f'?x1??f'?x2??x1?x2