第三章 多维随机变量及其分布
一、
联合分布函数与边缘分布函数
1. 设（X1,X2,…,Xn）为n维随机变量，则称Rn上的n元函数
F（x1,x2,…,xn）=P(X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn),（x1,x2,…,xn）? Rn为（X1,X2,…,Xn）的联合分布函数。
特别地，二维随机变量（X,Y），其联合分布函数为：
F（x,y）= P(X≤x,Y≤y), (x,y) ? R2,其中P(X≤x,Y≤y)表示积事件(X≤x)∩(Y≤y)发生的概率，R2表示整个二维平面。
2. n维随机变量（X1,X2,…,Xn）中每个变量Xi的分布函数FX（xi）称为边缘分布函数，
ii=1,2,…,n。
二、 联合分布函数与边缘分布函数之间的关系
设F（x,y）为（X,Y）的联合分布函数，关于X和Y的边缘分布函数分别是FX（x）和FY（y）,则有FX（x）=F(x,+?), FY（y）=F(+?,y) 。
三、 联合分布函数的性质
1. 0≤F(x,y)≤1;
2. F(x,y)分别关于x和y单调不减；
3. F(x,y)分别关于x和y右连续；
4. F(x,+?) =F(+?,y)=0 ，F(+?，+?)=1； 5. 对于任意实数x1 F（x2, y2）-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1)≥0 四、 二维离散型随机变量 1. 若二维随机变量（X,Y）的每一个分量X和Y都是离散型的，则称（X，Y）为二维离散 型随机变量。 2. 设（X,Y）的一切可能取值为（xi,yi），i=1,2,…;j=1,2,…,则称 pij=P(X= xi,Y= yi), i,j=1,2,… 为（X,Y）的联合分布律，或联合概率分布。 3. 联合分布律的性质 13 （1）pij≥0； （2） ?i?jpij=1 . 4． （X,Y）的分量X和Y的分布律称为其边缘分布律。它与联合分布律的关系为： pi?= P(X= xi)= ?P(X= xi,Y= yj)= ?pij , jj p?j= P(Y= yj)= ?P(X= xi,Y= yj)= ?pij . ii 五、 二维连续型随机变量 1. 设（X,Y）的联合分布函数为F（x,y），如果存在非负可积函数f（x,y），使得对任意 实数x,y，有： F(x,y)= ?x??y???f(u,v)du dv, 则称（X,Y）为二维连续性随机变量，f(x,y)为其联合密度函数，常记为（X,Y）～f(x,y)。 2. 联合密度函数f(x,y)的性质 (1) f(x,y)≥0 ; (2) ??????????f(x,y)dx dy= 1 ; 反之，任意满足上述两条性质的二元函数f(x,y)必定可作为某二维随机变量的联 合密度函数。 3. 二维连续型随机变量的性质 设（X,Y）的分布函数为F(x,y),密度函数为f(x,y)，则 （1）F(x,y)为二元连续函数； （2）对于任何平面曲线L，有 P[(X,Y)?L]?0； （3）对于平面区域D，有 P[(X,Y)?D]?2??Df(x,y)dxdy； （4）对于f(x,y)的连续点（x，y），有 ?F(x,y)?x?y?f(x,y)。 4. 边缘分布 设(X,Y)~f(x,y)，则X，Y的分布函数可表示为 FX(x)? FY(y)??(???yx??????f(u,y)dy)du， f(x,v)dx)dv。 ????(?? 它们分别称为（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布函数，而 fX(x)? fY(y)?????????f(x,y)dy， f(x,y)dx。 ?? 分别称为（X，Y）关于X和关于Y的边缘密度函数。 六、 1. 随机变量的独立性 一般情形 （1） 设n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的联合分布函数为F(x1,x2,....,xn)，边缘分布 14 函数，即Xi的分布函数为FX(x)，i?1,2,.,n，若对任意实数x1,x2,....,xn，有 i F(x1,x2,....,xn)?FX(x1),FX(x2),...,FX(xn)， 12n 则称随机变量X1,X2,...,Xn相互独立。 （2） 设X1,X2,...,Xn,...为随机变量序列，若对于任意的n?2，X1,X2,...,Xn相互独 立，则称X1,X2,...,Xn,...为相互独立随机变量序列。 （3） 设m维随机变量（X1,X2,...,Xm）的联合分布函数为F(x1,x2,...,xm)，n维随 机变量(Y1,Y2,...,Yn)的联合分布函数为F(y1,y2,...yn)，m+n维随机变量（X1,X2,...,Xm；Y1,Y2,...,Yn）的联合分布函数为F(x1,x2,...,xm;y1,y2,...yn)，若对于任意实数x1,x2,...,xm;y1,y2,...yn，有 F(x1,x2,...,xm;y1,y2,...yn)?F(x1,x2,...,xm)F(y1,y2,...yn)， 则称(X1,X2,...,Xm)与(Y1,Y2,...,Yn)相互独立。 2. 离散型情形 设(X1,X2,...,Xn)为n维离散型随机变量，若对一切可能的值x1,x2,....,xn，有 P(X1?x1,X2?x2,...Xn?xn)?P(X1?x1)P(X2?x2)....P(Xn?xn) 则称X1,X2,...,Xn相互独立。 特别的，对于二维离散型随机变量（X，Y），X与Y相互独立的充要条件为 pij?pi??p?j， 对任何i,j?1,2,.... 3. 连续型情形 设(X1,X2,...,Xn)为n维连续型随机变量，若对任意实数x1,x2,....,xn，有 f(x1,x2,....,xn)?fX(x1)fX(x2).....fX(xn)， 12ni?1,2,...,n，其中f(x1,x2,....,xn)为联合密度，fX(xi)为Xi的密度，则称X1,X2,...,Xni相互独立。 特别的，对于二维连续型随机变量（X，Y），X与Y相互独立的充要条件为 f(x,y)?fX(x)fY(y)。 15 习题 1.若（X，Y）的分布律为 1 X Y 2 3 16131 2 19 118 ? ? 则?,?应满足的条件是_______,若X与Y独立，则??______,??______. 2.给定X的概率分布如下表，则X的分布函数FX(x)?______,Y?2X?1的分布函数FY(y)?______. X P -1 1/2 1 1/2 3.用(X,Y)的联合分布函数F(x,y)表示下述概率： 1）P{a?X?b,Y?c}?___________; 2）P{X?a,Y?b}?__________; 3）P{0?Y?a}?__________; 4）P{X?a,Y?b}?__________. ?ke?3x?4y，x?0,y?04.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)??则 ，其他0?k?_____,F(x,y)?_____,P{0?x?1,0?y?2}?_____. ?e?x,x?05.随机变量X的概率密度为fX(x)?则随机变量Y?2X?1的概率密度为_____. ?0,x?06.设(?,?)在矩形域0?x?2,0?y?1内服从均匀分布，则(?,?)的联合概率密度函数 f(x,y)?_______. 16 7.设随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)??P{X?0.5,Y?0.6}为（ ） ?1,0?x?1,0?y?1?0，其他则概率 （A）0.5； （B）0.3； （C） 78； （D）0.4. 8.随机变量X与Y相互独立，其概率分布如下表 X P 0 1/3 1 2/3 Y P 0 1/3 1 2/3 则下列式子正确的是（ ） （A）X?Y； （B）P{X?Y}?1 （C）P{X?Y}?59； （D）P{X?Y}?0 9.设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为 X -1 1 P 1/2 1/2 则下列式子正确的是（ ） Y P -1 1/2 1 1/2 （A）X?Y； （B）P{X?Y}?0; （C）P{X?Y}?12; （D）P{X?Y}?1. 10．从含有3个正品，2个次品的5个产品中依次抽取两个，每次抽取一个后不放回，设X 表示“第一次取到次品个数”，Y表示“第二次取到次品个数”，求（X，Y）的联合分布。 11.设随机变量X和Y的联合分布律为 Y 1 2 （1）求a，b应满足的条件； （2）若X与Y相互独立，求a，b的值。 ?0，x?0或y?0或x?y?1F(x,y)?12.设有二元函数问F(x,y)是否可作为二维随机?1，其他?X 1 1/8 b 2 a 1/4 3 1/24 1/8 变量(?,?)的分布函数。 ?(1?e?2x)(1?e?2y)0?x??,0?y??13.设随机变量（X，Y）的分布函数为F(x,y)??求 其他0?P{X?1,Y?1} 17