高等数学
一、 计算题（共 200 小题，100 分） 1、
f(x)?sinx?sin5x?2sin3x ?2sin3xcos2x?2sin3x ??2sin3x(1?cos2x) ??4sin2x?sin3x
而limf(x)?4sin2x?sin3xx?0x3?limx?0x3??12 所以取A??12，n?3，即g(x)??12x3 则当x?0时，f(x)~g(x)
x)?ln(1?x2)?ln(1?x22、f(2
1?x ?12ln1(?x2)?ln1(?x2)?x2 1x2而limf(x)2)ln(1?1?x2)x?0x2?limln(1?x2x2?limx?0x2
x?0?132?1?2
所以取A?32，n?2，即g(x)?322x
则当x?0时，f(x)~g(x) 113?x)?3??1?(x?3)?23、原式?lim??1?2(x?3x?3 3 ?lim1?(x?3)?1(3?x)?1 x?3x?3?lim1?2x?3x?31(x?3)1?2(3?x) ?lim2x?3x?3?lim3x?3x?3
4分
7分
10分
3分
8分
10分
5分
8分
?12 2?31 ??614、原式?limn?axx?0x ?an
1135、原式?lim(1?4x)2?1(1?6x)?1 x?0x?limx?0x1?(?4x)1?6x ?lim2x?0x?lim3x?0x
?(?2)?2??4
6、原式?lim1?5x?13x?1 x?0x2?2x?lim1?x?0x2?2x1?5x1?(?3x) ?lim2x?0(x?2)?lim2x2) x?0x(x?53?lim2x?0x?2?lim2x?0x?2 ?534?4 ?27、
证??arctan(1?x)，??arctan(1?x)则当x?0时，?
???0 且(???)?arctantan??tan?(1?x)?(1?x)1?tan?tan??arctan1?(1?x)(1?x)arctan(1?x)?arctan(1?x)~(1?x)?(1?x)1?(1?x)(1?x)
因此，原式?lim(1?x)?(1?x)x?0x?1?(1?x)(1?x)? 10分
7分 10分
5分
8分 10分
5分
8分
10分
3分
7分
?lim2xx?0x(1?1?x2) ?lim22?x2 x?0?1n28、原式?lim2?n??(1?tann)2
1tan2?n2?? ?lim2?tan2??n(?22n) n??(1?tann)?2 ?e2
9x1、limn?1?liman??(n?1)!nnn??xn??(n?1)n?1?nan?n! ?lima n??(1?1n)n?ae
xm?1?xn?110、原式?limx?1x?1x?1xm?1x1 n?x?1?x?1 ?m?nm?n
11、原式?1x?x?xxlim???x?1?x
?0?1?0
lnx6?ln(1?53?712、原式?limxx6)x??lnx2?ln(1?34x?x2)10分
4分
7分
10分
4分
7分
10分
7分
10分
8分 10分
8分
ln(1?5x3?7x6)3? ?lnx2?lim
x?ln(1?3?421?xx)lnx2 ?3
lne2x(3?2e2x)13、原式?
xlim???lne3x(2?3e3x) ?lim2x?ln(3?2e?2x)3x?ln(2?3e?3x x???)2?1?2x ?xln(3?2e) xlim1
???3??3xxln(2?3e) ?23
证s11n?(n?1)2?(n?2)2???1(2n)214、 s1?111n?n2n2???n2?n
s111n?(2n)2?(2n)2???(2n)2?14n即有114n?sn?n 而lim1n??4n?0，lim1n??n?0因此lim?n???1?1?1??(n?1)2(n?2)2??(2n)2?? ?03230?nsinn!n?1?n2?1315、
n?1n 即?1323n?nsinn!1n?1?3n而lim(1)n???3n?0，lim1n??3n?0
10分
5分
8分
10分
6分
10分
7分
32因此limnsinn!n??n?1?0
证s?1?1???1nn2?1n2?2n2?n16、有s111n?n?n?n???1n?1
又有s1?1nn????1n2??nn2?nn2?nn2?n即：nn2?s?nn?1
而limnn???1，limn2?nn??1?1所以lim111
n??sn?limn??(n2??1n2???)?2n2?n ?1 17、因为0?2nn!?21?22?2n?4n 而lim4n??n?0所以lim2n
n??n!?018、原式?limtanx(tanx?3)(tanx?3)x??sin(? 33?x) ?limtanx(tanx?3)?limtanx?3
x??3x??3sin(?3?x)sin(x??3) ?6limx??? 3cosx?cos?3?sin(3?x) ?6?(?1)11
2?2 ??24
10分
6分
10分
6分
10分
4分
8分
10分