（2005江苏理17）
已知a,b为常数，若f(x)?x2?4x?3,f(ax?b)?x2?10x?24，则5a?b? 。 （2005江苏理21）22.（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）
已知a?R，函数f(x)?x2|x?a|， （Ⅰ）当a?2时，求使f(x)?x成立的x的集合； （Ⅱ）求函数y?f(x)在区间[1,2]上的最小值。
22.[分析]:本题是一道函数与导数综合运用问题,第一问对x进行讨论,得出方程,进而求出
x的值;第二问对a进行讨论,结合函数的一阶导数值判断函数在区间上的单调性,进而求出函数的最小值. （22）（Ⅰ）由题意，f(x)?x2|x?2|
当x?2时，由f(x)?x2(2?x)?x，解得x?0或x?1； 当x?2时，由f(x)?x2(x?2)?x，解得x?1?2 综上，所求解集为{0,1,1?2} (Ⅱ)设此最小值为m ①当a?1时，在区间[1，2]上，f(x)?x3?ax2，
2因为f'(x)?3x?2ax?3x(x?2a)?0，x?(1,2)， 3则f(x)是区间[1，2]上的增函数，所以m?f(1)?1?a ②当1?a?2时，在区间[1，2]上，f(x)?x|x?a|?0，由f(a)?0知
2m?f(a)?0 23③当a?2时，在区间[1，2]上，f(x)?ax?x
2f'(x)?2ax?3x2?3x(a?x)
3若a?3，在区间（1，2）上，f'(x)?0，则f(x)是区间[1，2]上的增函数， 所以m?f(1)?a?1 若2?a?3，则1?当1?x?2a?2 322a时，f'(x)?0，则f(x)是区间[1，a]上的增函数， 33当
22a?x?2时，f'(x)?0，则f(x)是区间[a，2]上的减函数， 33因此当2?a?3时，m?f(1)?a?1或m?f(2)?4(a?2) 当2?a?当
7时，4(a?2)?a?1，故m?f(2)?4(a?2)， 37?a?3时，4(a?2)?a?1，故m?f(1)?a?1 3?1?a?0??总上所述，所求函数的最小值m??4(a?2)???a?1?a?11?a?272?a?
37a?3（2005辽宁理5）函数y?ln(x?
x2?1)的反函数是（ ）
ex?e?x（D）y??
2ex?e?xex?e?xex?e?x（A）y?（B）y?? （C）y?
222【答案】C
【解答】由y?ln(x?x2?1)，得ey?x?x2?1，即ey?x?x2?1，
2yye2y?1ey?e?y两边平方，化简得e?2xe?1，故x?，即x?， ye2
ex?e?x∴y?ln(x?x?1)的反函数是y?．
22【点拨】求反函数设法解出x ．
1?a2?0，则a的取值范围是（ ） （2005辽宁理6）若log2a1?a
（A）(1,??) 2（B）(1,??)
（C）(1,1) 2（D）(0,)
12【答案】C
【解答】法一：代特殊值验证
1?0?a??0?2a?1??2?2 法二：①当?，即?时，无解； 1?a2?0?1?a?1?log2a1?a??1?a?1?a??2a?1?1?2?2?a?1，故选C． ②当?，即时，?1?a22?0?0?1?a?1?log2a1?a??1?a?【点拨】解含参数对数不等式时，须注意分类讨论参数．
（2005辽宁理7）在R上定义运算?：x?y?x(1?y)，若不等式(x?a)?(x?a)?1对任意实数x成立，则（ ）
（A）?1?a?1 （B）0?a?2 （B）?13?a? 22（D）?31?a? 22【答案】C
【解答】∵(x?a)?(x?a)?(x?a)(1?x?a)，∴不等式(x?a)?(x?a)?1对任意实
22数x成立，则(x?a)(1?x?a)?1对任意实数x成立，即使x?x?a?a?1?0对任意实
数x成立，所以??1?4(?a2?a?1)?0，解得?13?a?，故选C． 22【点拨】熟悉一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系．
（2005辽宁理12）一给定函数y?f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1?(0,1)，由关系式an?1?f(an)得到的数列{an}满足an?1?an(n?N)，则该函数的图象是（ ）
y 1 x O 1
（A） 【答案】A
*y 1 y 1 y 1 x O 1
O
1 （C）
x O
（D）
1 x （B）
【解答】由an?1?f(an)，an?1?an，得f(an)?an，即f(x)?x，故选A ． 【点拨】分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断.
（2005辽宁理22）（本小题满分12分）
函数y?f(x)在区间(0,??)内可导，导函数f?(x)是减函数，且f?(x)?0．设
x0?(0,??)，y?kx?m是曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程，并设函数
?AB?PF,AB?CF,．
b2（Ⅰ）用b、a?、b表示m；
c2（Ⅱ）证明：当x?(0,??)，g(x)?f(x)；
32（Ⅲ）若关于x的不等式x?1?ax?b?x3在[0,??)上恒成立，其中a,b为实数，
22求b的取值范围及a与b所满足的关系．
22．本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想
判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分
（Ⅰ）解：m?f(x0)?x0f?(x0). ……2分
（Ⅱ）证明：令h(x)?g(x)?f(x),则h?(x)?f?(x0)?f?(x),h?(x0)?0.
因为f?(x)递减，所以h?(x)递增，因此，当x?x0时,h?(x)?0；当
?)x?x?. 00时,h(x所以x0是h(x)唯一的极值点，且是极小值点，可知h(x)的最小值为0，因此h(x)?0,即g(x)?f(x). ……6分
（Ⅲ）解法一：0?b?1，a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x2?1?ax?b,即x2?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是
a?2(1?b).
1232 另一方面，由于f(x)?x3满足前述题设中关于函数y?f(x)的条件，利用（II）的结
22323果可知，ax?b?x3的充要条件是：过点（0，b）与曲线y?x3相切的直线的斜率大
22于a，该切线的方程为y?(2b)
?12x?b.
132于是ax?b?x3的充要条件是a?(2b)2. ……10分
232 综上，不等式x?1?ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
22
(2b)?12?a?2(1?b). ①
?1212显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式(2b)有解、解不等式②得?2(1?b). ②
122?22?2?b?. ③ 44因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系. ……12分
（Ⅲ）解法二：0?b?1,a?0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. x2?1?ax?b,即x2?ax?(1?b)?0对任意x?[0,??)成立的充要条件是 a?2(1?b).
……8分
2323令?(x)?ax?b?x3，于是ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
2212
?(x)?0. 由??(x)?a?x?13?0得x?a?3.
当0?x?a?3时??(x)?0;当x?a?3时，??(x)?0，所以，当x?a?3时，?(x)取最
?3小值.因此?(x)?0成立的充要条件是?(a)?0，即a?(2b).
………10分
?1232综上，不等式x?1?ax?b?x3对任意x?[0,??)成立的充要条件是
22
(2b)?12?a?2(1?b). ①
1212显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式
(2b)?12?2(1?b) ②
2?22?2?b?. 44有解、解不等式②得
因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系. ……12分
2??sin(?x),?1?x?0（2005山东理6）函数f(x)??x?1，若f(1)?f(a)?2，则a的所有可
??e,x?0能值为（ ）
（A）1 （B）?222 （C）1,? （D）1, 222