二次函数性质的再研究
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2013·汉中质检)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )．
1
A．y＝x(x∈R，且x≠0) C．y＝x(x∈R)
?1?B．y＝?2?x(x∈R)
??D．y＝－x3(x∈R)
解析 对于f(x)＝－x3，∵f(－x)＝－(－x)3＝－(－x3)＝－f(x)，∴f(x)＝－x3是奇函数，又∵y＝x3在R上是增函数，∴y＝－x3在R上是减函数． 答案 D
2．(2013·九江模拟)如图所示，给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是
( )．
11
A．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x2，④y＝x－1 1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x2，④y＝x－1 1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x2，④y＝x－1 1
D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
2
解析 因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确． 答案 B
3．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为
( )．
A．[2－2，2＋2] C．[1,3]
B．(2－2，2＋2) D．(1,3)
解析 f(a)＝g(b)?ea－1＝－b2＋4b－3?ea＝－b2＋4b－2成立，故－b2＋4b－2>0，解得2－2 ?2x，x>0， 4．已知函数f(x)＝?若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 ( )． ?x＋1，x≤0，A．－3 B．－1 C．1 D．3 ?a>0，?a≤0，?解析 f(a)＋f(1)＝0?f(a)＋2＝0?或?解得a＝ ?2a＋2＝0?a＋1＋2＝0，－3. 答案 A 二、填空题(每小题5分，共10分) f?4??1?5．若f(x)是幂函数，且满足＝3.则f?2?＝________. ??f?2? f?4?4α 解析 设f(x)＝x，由＝3，得2α＝3，解得α＝log23，故f(x)＝xlog23，所 f?2? α 11?1??1?以f?2?＝?2?log23＝2－log23＝2log23＝3. ????1答案 3 6．若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________． ?a>0，? 解析 由已知得?4ac－16 ＝0??4a答案 a>0，ac＝4 三、解答题(共25分) 7．(12分)设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x<1时，y?11? ＝f(x)的表达式是幂函数，且经过点?2，8?.求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的 ??表达式． ?a>0，?? ac－4＝0.? ?11?解 设在[－1,1)上，f(x)＝x，由点?2，8?在函数图像上，求得n＝3. ?? n 令x∈[2k－1,2k＋1)，则x－2k∈[－1,1)， ∴f(x－2k)＝(x－2k)3.又f(x)周期为2， ∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)． 8．(13分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)． (1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值； (2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围． 解 (1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)， ∴f(x)在[1，a]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a] ?f?1?＝a，?1－2a＋5＝a， ∴?即?2解得a＝2. 2 f?a?＝1，a－2a＋5＝1，??(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2. 又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1， ∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2. ∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4， ∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3，又a≥2，∴2≤a≤3.