试卷类型：B
2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（理科）
2013.4 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟
注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或
签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏
涂、错涂、多涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式V?13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．对于任意向量a、b、c，下列命题中正确的是
A．a?b?ab B．a?b?a?b C．?a?b?c?a?b?c? D．a?a?a 2．直线y?kx?1与圆x?y?2y?0的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离
文3（理1）．若1?i（i是虚数单位）是关于x的方程x?2px?q?0（p、q?R）的一个解，则p?q?
A．?3 B．?1 C．1 D．3
4．已知函数y?f?x?的图象如图1所示，则其导函数y?f??x?的图象可能是
y y x O
A．
O B．
x O C．
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x O D．
x O 图1
x y y y
2222 D．取决于k的值
5．若函数y?cos??x??????????N?的一个对称中心是?，0?，则?的最小值为
66*?????A．1 B．2 C．4 D．8
6．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两 部分，则截面的面积为
1A．? B．?
49C．? D．4?
44 6 图2
7．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元． 年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即 使用多少年的年平均费用最少）是
A．8年 B．10年 C．12年 D．15年
8．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max?x1,x2,…,xn?，最小数为min?x1,x2,…,xn?，则maxmin?x?1，x?x?1，?x?6??
2??A．
34 B．1 C．3 D．
72
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n? ． 10．已知 ?为锐角，且cos???????3 ??，则 sin?? ．
4?511．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成 个没有重复数字且能被5整除的五位
数（结果用数值表示）． 12．已知函数
N?f??x?2?x2x点集M???，x，
?yf?，y??f?x??≤2??x，y?f?x??f?y?≥0?，则M?N所构成平面区域的面积为 ．
13．数列{an}的项是由1或2构成，且首项为1，在第k个1和第k?1个1之间有2k?1个2，即数列{an}为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列{an}的前n项和为Sn，则S20? ；S2013? ．
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（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）
在△ABC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE?交BC于点F，则
BFFC13延长AEBD，
的值为 ．
15．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，已知点A?1,????点P是曲线?sin??4cos?上任意一点，设点P到?，
2?2直线?cos??1?0的距离为d，则PA?d的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O，使得发射点
到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB?80m，BC?70m，CA?50m．假定A、B、C、O四点在同一平面内． （1）求?BAC的大小； （2）求点O到直线BC的距离．
17．（本小题满分12分）
已知正方形ABCD的边长为2， E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．（1）在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足|PH|?2的概率；
（2）从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的
距离为?，求随机变量?的分布列与数学期望E?．
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18．（本小题满分14分）
等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足
ADDB?CE1．将△ADE沿DE?（如图3）
EA2A A1折起到△A1DE的位置，使二面角
A1?DE?B成直二面角，连结A1B、A1C D E B C B D E 图4 C （如图4）．
（1）求证：A1D?平面BCED；
图3 （2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60?？若存在，求出PB的长，若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分14分）
已知a?0，设命题p：函数f?x??x?2ax?1?2a在区间?0,1?上与x轴有两个不
2同的交点；命题q：g?x??x?a?ax在区间?0,???上有最小值．若??p??q是真命题，求实数a的取值范围． 20．（本小题满分14分）
经过点F?0,1?且与直线y??1相切的动圆的圆心轨迹为M．点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD（两端点除外）上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M在点D处的切线平行，设直线l与轨迹M交于点B、C． （1）求轨迹M的方程； （2）证明：?BAD??CAD； （3）若点D到直线AB的距离等于
方程．
21．（本小题满分14分）
设an是函数f?x??x?nx?1?n?N*?的零点．
3222AD，且△ABC的面积为20，求直线BC的
（1）证明：0?an?1； （2）证明：
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nn?1?a1?a2???an?32．
2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几
种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答
未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C A B C B D
二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分
30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．
9．54 10．210 11．216 12．2? 13．36；3981 14．
14
15．2
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）
解：（1）在△ABC中，因为AB?80m，BC?70m，CA?50m，
由余弦定理cos?BAC?AB?AC?BC2?AB?AC222得
………………………………………………………2分
?80?50?702?80?50222?12． ………………………………………
……………3分
因
为
?BAC为△ABC的内角，所以
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