高等数学(下)复习试题
一、填空题
???????1. 已知向量a,b的夹角等于，且a?3,b?2，求2a?3b= .
32.在直线方程
x?42m2?yn?z?26?pyx中，直线与坐标面xoy、yoz都平行，则m?. n? p?
dydx3.设lnx?y2?arctan,则 ?___.
4．直线??x?y?3z?0?x?y?z?0与平面x?2y?z?1?0的夹角为___________；
5．求曲面ez?z?xy?3在点(2,1,0)处的法线方程
6．求函数u?x?y?z在点(0,0,1)处沿球面x2?y2?z2?1在这点的外法线方向的方向导数= 。
2227.已知场u(x,y,z)?x2?y2?z2,则u沿场的梯度方向的方向导数是_______________.
abc8.
设f(x,y,z)?x2222?2y?3z?xy?3x?2y?6z, 则gradf(0,0,0)?22______
9. 函数f(x,y)?(6x?x2)(4y?y2)在_______点取得极_________值为___________.
10.方程x?y?z?2x?4y?6z?2?0所确定的函数z?f(x,y)的极大值是___________,极小值是_____________. 11. 设D:x?2y225?1。则??(x?1)d?＝ 。
D412．若曲线积分?(x?4xy)dx?(6xL???1y?5y)dy在
24xoy平面内与路径无关，则?＝ 。 13. 设L为平面上的椭圆
xa22?yb22?1，边界为正向，则曲线积分?3xdx?cosydy＝ 。
L222214．设?：x?y?z?a，则曲面积分 ??(x?y?z)dS＝ 。
2222?15．设?是球面x2?y?z22?2z，cos?,cos?,cos?是?上的外法线向量的方向余
弦，则积分??(xcos??ycos??zcos?)dS＝ 。
?16. 设L为(x?x0)2?(y?y0)2?R2，则?ds＝ 。
L?17．若级数?(un?5)收敛，则limun＝ 。
n?1?3n??18．幂级数?(?1)n?1n(x?2)2n?12n?1的收敛域为 。
?x?3,???x?019．设f(x)是以2?为周期的函数，且f(x)??，则它的傅里叶级数在点
1?2x,0?x???x?2?处收敛于 。
二、选择题（单选题）
1．直线
x?31?y0?z0与平面3y?2z?3的关系是
（A）平行，但直线不在平面上； （B）直线在平面上 ；
（C）垂直相交 ； （D）相交但不垂直 答： （ ） 2． 当a,b为何值时，平面ax?by?6z?7?0与直线
x?22?y?54?z?13垂直。
（A） a?4,b?8； （B） a?4,b??8 ；
（C） a??4,b?8； （D）a??4,b??8 答： （ ） 3．设C为分段光滑的任意闭曲线，?(x)与?(y)为连续函数，则?(x)dx??(y)dy的值
?C（A）与C有关； B）等于0； （C）与?(x)与?4. 设I?(y)的形式有关； D）2?22。 答： （ ）
?1010dy?1?y03xydx，则交换积分次序后I等于
1?y0122（A）?dx?101?x03xydy； （B）
22?dx?3xydy；
01?x02（C）
?dx?1?x023xydy； （D）?dx?0222213xydy 答： （ ）
225．设方程y?F(x?y)?F(x?y)能确定隐函数
y?f(x)（其中F可微），
f(0)?2,F'(2)?12,F'(4)?1，则f'(0)＝ 。
A）
1； B）?1； C）?1； D）?1。 答： （ ）
7743?6．若级数
?c?2)nn(x在x??4处是收敛的，则此级数在x?1处
n?1A）发散；B）绝对收敛；C）条件收敛；D）收敛性不能确定 答： （ 7．若f(x,x2)?x4?2x3?xf'22'22(x,x)?2x?2x?1，则f1(x,x)?
（A）2x2?2x?1 （B）2x2?3x?12x
（C）2x2?3x?1 （D）2x2?2x?1 答：（ ?xy28．函数f?x,y???y,?x,y?x2?4???0,0? 在点?0,0?处 ??0,?x,y???0,0?（Ａ）连续，偏导数存在； （Ｂ）连续，偏导数不存在；
（Ｃ）不连续，偏导数存在； （Ｄ）不连续，偏导数不存在． 答：（ 9. 下列结论正确的是
（Ａ）若函数f(x,y)在(x,y)处偏导数存在，则函数在(x,y)处连续； （Ｂ）若函数f(x,y)在(x,y)处偏导数存在，则函数在(x,y)处可微； （Ｃ）若函数f(x,y)在(x,y)处可微，则函数在(x,y)处偏导数连续；
（Ｄ）若函数f(x,y)在(x,y)处偏导数连续，则函数在(x,y)处可微． 答：（ ?n10. 设k为正常数，则级数?(?1)k?nn?1n2是
nA）发散；B）绝对收敛；C）条件收敛；D）收敛性与k有关 答： （ ? 11. 二次积分?2cos?0d??0f(rcos?,rsin?)rdr可以写成
11?y2（A）?1)dy；
0dx?y?y20f(x,y)dy； （B）
?0dx?0f(x,y11（C）
?10dx?f(x,y)dy； （D）?x?x200dx?0f(x,y)dy 答： （ ）
）
）
）
）
） 12. 二重积分
1?x?y?42?022?022??x22dxdy可表示为二次积分
（A）?32d??rcos?dr； （B）?132rdr?cos?d?；
1（C）
?2?2dx?4?x?24?x2xdy； （D）?dy??1214?y?24?y2xdx 答： （ ）
2?13．级数?n?1(?1)n12n?12p
12 A）当p?时，绝对收敛； B）当p?12时，条件收敛；
12C）当0?p?时，绝对收敛； D）当0?p?时，发散。 答： （ ）
?2,?x,314．设函数f(x)是以2为周期的周期函数，在闭区间(?1,1]上有f(x)??的傅立叶级数在x?1处收敛于（ ） Ａ 1 Ｂ 2 Ｃ
32?1?x?0,0?x?1则f(x) Ｄ ０
三、试解下列各题：
1．求极限 （1）lim(x2?y2)sinx?0y?01xy；（2）
(x,y)?(0,0)limex?y222?12sin(x?y)
22222．设函数u?u(x,y,z)由方程u?z?y?x?0所确定，其中z?xy?ylny?y，
求
?u?x，
?u?x22 。
xzzy3．设函数
z?z(x,y)由方程
?ln所确定，求zx,zy。
4．设f具有二阶连续偏导，z?f(xsiny,x)，求
?z?x，
?z?x22。
25．已知z?xf(yx)?y?(xy)，其中f,?具有二阶连续导数，求
?z?x?y。
四、试解下列各题
1．求曲面z?x?y和平面x?y?2z?2之间的最短距离。
2．求过点(2,1,)的平面，使它与三个坐标面在第一卦限内所围成的立体体积最小。
31223. 在第一卦限内作椭球面 积最小，求切点坐标.
xa22?yb22?zc22使切平面与三个坐标面所围成的四面体体?1的切平面，
4. 在平面xoy上求一点,使它到x?0,y?0及x?2y?16?0三直线的距离平方之和为最小.
五、试解下列各题：
11. 计算I??20dx?2xxey2dy??112dx?ex1y2dy
2. 计算二重积分??Dx?yx?y22dxdy，其中D：x2?y?1,x?y?1。
23．设f(x,y)连续，且f(x,y)?ey2???Df(u,v)dudv，其中D是由y?1，y?x及y轴所
围成区域，求f(x,y)。
4. 计算二重积分??(x2?y2)dxdy，其中D：x?yD22?2x,x?y?4x
225．计算三重积分
????zdv，其中积分区域?是由抛物面x2?y2?3z与球面
x?y?z?4所确定。
6.
222
计算I?????(x?y)dxdydz，其中?是锥面x2?y2?z2，与平面z?a(a?0)所围的立体.
22六、试解下列各题
1．计算I?22?L(esiny?my)dx?(ecosy?m)dy，其中L是由点(a,0)到点(0,0)的上半圆
xx周x?y?ax。
2．计算曲线积分?(2xy?ycosx)dx?(1?2ysinx?3xy)dy，其中L为抛物线2x??yL32222上由点(0,0)到点(?2,1)的一段弧。
223．计算曲线积分?4．计算：I?LLx?yds，其中L为圆周x?y22?x。
?xdx?ydy?zdz：其中L为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段。
x?y225．计算曲线积分?eLds，其中L为圆周x?y22?a，直线y?x及x轴在第一象限内所
2围成的扇形的整个边界。
6．计算曲面积分：??(x?y?z)dS，其中?为球面x2?y2?z2?1上z??12的部分。
7．计算I?侧。 8．计算I???(z?1)dxdy?，其中?为球面x2?y2?z2?1在第一卦限内的部分，方向是球的内
???2xzdydz?yzdzdx?zdxdy，其中?是由曲面z?2x?y22与z?2?x?y22所围立体的外侧。
9．计算??(2x?z)dydz?zdxdy，∑是z?x?y(0?z?1)，其法向量与z轴的正向
22?夹角为锐角。
10．计算??xdydz?ydzdx?zdxdy，其中∑为上半球面z??R?x?y222的上侧。
11．计算??(xcos??ycos??zcos?)dS，其中?为锥面x2?y2?z2(0?z?h)的一部
?222分，cos?,cos?,cos?为此曲面外法线方向向量的方向余弦。 12．计算曲面积分???2?z?x22?ydS，其中?是锥面z?222x?y介于z?0及z?1之间
的部分。
七、试解下列各题
1．判断下列级数的收敛性：
?（１）?n?1cosn?n?n?23?2， （２）?n(?)n?11e?n?1， （３）?(?1)lnn?1nn?1n?， （４）?(?1)n?1n?1n!2n，
2．求幂级数?n?1?n?1n2nxn?1的收敛区域与和函数。
?3．求幂级数?nxn?1?的收敛域与和函数，并求级数?n?1?n(n?1)2n的和。
4．求幂级数?n?0n?1n!x的和函数，并求级数?n?1nn?1n!8的和。
n?5．求幂级数??2n?12n?1n?0x2n的和函数，并指出收敛域。
6．求幂级数?n(n?2)x的收敛域及和函数。
n?1n