专题七 开放探究题
1．在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下6个说法：
①如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形； ②如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
③如果再加上条件“∠DAB＝∠DCB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形； ④如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形； ⑤如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
⑥如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形． 其中正确的说法有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________．
3．如图Z7－3，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件是__________．
图Z7－3
4．(2012年吉林)如图Z7－4，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∠ACB＝40°，点P在边BC上，则∠PAB的度数可能为______________(写出一个符合条件的度数即可)．
图Z7－4
5．(2012年广东湛江)请写出一个二元一次方程组__________________，使它的解是??x＝2，? ?y＝－1.?
6．如图Z7－5，P是四边形ABCD的边DC上的一个动点，当四边形ABCD满足条件__________________时，△PBA的面积始终保持不变(注：只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
[来源:学科网ZXXK]
图Z7－5
2
7．已知x－ax－24在整数范围内可以分解因式，则整数a的值是____________(只需填一个)．
1
8．如图Z7－6，已知在等腰三角形ABC中，∠A＝∠C，底边BC为⊙O的直径，两腰
2
AB，AC分别与⊙O交于点D，E，有下列序号的四个结论：①AD＝AE；②DE∥BC；③∠A＝∠CBE；④BE⊥AC.其中结论正确的序号是__________(填序号)．
图Z7－6
9．某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40 km，摩托车的速度为45 km/h，运货汽车的速度为35 km/h，
(涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字)？”请将这道作业题补充完整，并列方程
解答．
[来源:Zxxk.Com]
10.如图Z7－7，已知△ABC内接于⊙O，
(1)当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角？
(2)在满足(1)的条件下，过点C作直线交AB于D点，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD?
(3)画出符合(1)、(2)题意的两种图形，使图形的CD＝2 cm.
图Z7－7
[来源:学|科|网]
11．(2012年山东临沂)如图Z7－8，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB位置，
(1)求点B的坐标；
(2)求经过点A，O，B的抛物线的解析式；
(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P，O，B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
图Z7－8
专题七 开放探究题 【专题演练】 1．B
2．AB＝BC或BC＝CD或CD＝DA或DA＝AB3．∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C或＝
??x＋y＝1，
4．45°(答案不唯一) 5.?
?x－y＝3?
[来源:学科网ZXXK]
ADAEACAB
(答案不唯一)
6．DC∥AB或AD∥BC，且AD＝BC
7．±23，±10，±5，±2 8.①②④
9．解：这是一道开放性的相遇问题，要求考生先设计问题，再进行解答，仅举一例如下：若两车分别从两地同时开出，相向而行，经几个小时两车相遇．设经x小时两车相遇，依题意，可得
1
45x＋35x＝40，解得x＝.
2
答：经过半小时两车相遇．
10．解：(1)当点O在AB上(即O为AB的中点)时，∠ACB是直角． (2)∵∠ACB是直角，
∴当CD⊥AB时，△ABC∽△CBD∽△ACD.
(3)作直径AB为5的⊙O，在AB上取一点D，使AD＝1，BD＝4，过点D作CD⊥AB交⊙O于点C，连接AC，BC，图D62即为所求．
[来源:Zxxk.Com]
图D62
11．解：(1)如图D64，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，
∵OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB位置，∴∠BOC＝60°，OB＝4.
3
∴BC＝4×sin60°＝4×＝2 3，
21
OC＝4×cos60°＝4×＝2.
2∵点B在第三象限，∴点B(－2，－2 3)．
(2)由函数图象，得抛物线通过(－2，－2 3)，(0,0)，(4,0)三点，设抛物线的解析
?4a－2b＝－2 3，2
式为y＝ax＋bx，由待定系数法，得?
?16a＋4b＝0，
322 3x＋x. 63
3
?a＝－，?6解得?
2 3b＝??3.
∴此抛物线解析式为y＝－
图D63
(3)存在．理由：如图D63，抛物线的对称轴是x＝－，解得x＝2.设直线x＝2与x2a轴的交点为D.设点P(2，y)，
222
①若OP＝OB，则2＋|y|＝4，解得y＝±2 3，即
点P的坐标为(2,2 3)或(2，－2 3)，又点B(－2，－2 3)，
b
∴当P点为(2,2 3)时，点P，O，B共线，不合题意，舍去，故点P的坐标为(2，－2 3)；
222
②若BO＝BP，则4＋|y＋2 3|＝4，解得y＝－2 3，点P的坐标为(2，－2 3)．
2222
③若PO＝PB，则2＋|y|＝4＋|y＋2 3|，解得y＝－2 3，点P的坐标为(2，－2 3)．
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为(2，－2 3)．