上海交大数学专业考研真题
上海交通大学
2003年硕士研究生入学考试试题
试卷名称：高等代数
1
1（15分）设A 2
1
0 12
0
0 ，求A100. 1
2（15分）以P2 2表示数域P上的2阶矩阵的集合。假设a1,a2,a3,a4为两两互异的数
而
且
他
们
的
和
不
等
于
零
。
试
证
明
1
A1 a2
1a1 1 ,A2 4 a2a1 2a2 1
,A3 4 a2a2 3a3 1
,A4 4 a2a3 4a4
是P上线性空间4 a4
的一组基。
3（15分）证明：阶实对称矩阵A的秩为r, r n ，当且仅当A可以写成A CbC其中B为n r阶满秩矩阵，C为r阶可逆实对称阵。 4（15
分）假设
f0x
T
，
xf x x
4
101
2
f2x
x
15
3
f3x
20
x
4
f4x
25
被
432
x x x x 1整除。证明：fi x , i 0,1,2,3,4 被x 1整除。
5（15分）设A为阶反对称实矩阵，B diag a1,a2,...,an ,其中ai 0，证明A B 0。
6（15分）n阶方阵A满足等式A A2，当且仅当n r A r E A 。
7（20分）设A，B都是n阶实方阵，并设 为BA的非零特征值；以V 表示BA关
BAAB
也是AB的特征值；于 的特征子空间。（1）证明：（1）证明：维数 V =维数 V 。
BA
8（20分）设A，B都是n阶正定方阵。试证明：AB的特征值为实数。 9（20分）记V P
n n
, ，但，P为数域。假设A V有特征值 i i 1,2,...n
T
i i 1,2,...n, 均不是A的特征值。试证明：V的变换 :X XA AX为同构。