考点： 二次函数综合题. 分析： (1)将原点坐标代入抛物线中即可求出 k 的值，也就得出了抛物线的解析式. (2)根据(1)得出的抛物线的解析式可得出 A 点的坐标，也就求出了 OA 的长，根 据△ OAB 的面积可求出 B 点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的 B 点纵坐标代入抛 物线的解析式中即可求出 B 点的坐标，然后根据 B 点在抛物线对称轴的右边来判断 得出的 B 点是否符合要求即可. (3)根据 B 点坐标可求出直线 OB 的解析式，由于 OB⊥OP,由此可求出 P 点的坐 标特点， 代入二次函数解析式可得出 P 点的坐标. 求△ POB 的面积时， 可先求出 OB, OP 的长度即可求出△ BOP 的面积. 解答： 解：①∵函数的图象与 x 轴相交于 O, ∴0=k+1, ∴k=﹣1, ∴y=x ﹣3x, ②假设存在点 B,过点 B 做 BD⊥x 轴于点 D, ∵△AOB 的面积等于 6, ∴AO BD=6, 当 0=x ﹣3x, x(x﹣3)=0,
解得：x=0 或 3, ∴AO=3, ∴BD=4 即 4=x ﹣3x, 解得：x=4 或 x=﹣1(舍去) . 又∵顶点坐标为： 1.5,﹣2.25) ( . ∵2.25<4, ∴x 轴下方不存在 B 点， ∴点 B 的坐标为： (4,4) ; ③∵点 B 的坐标为： (4,4) , ∴∠BOD=45°,BO= =4 ,2 2 2
当∠POB=90°, ∴∠POD=45°, 2 设 P 点横坐标为：﹣x,则纵坐标为：x ﹣3x, 2 即﹣x=x ﹣3x, 解得 x=2 或 x=0, ∴在抛物线上仅存在一点 P (2,﹣2) . ∴OP= =2 ,
使∠POB=90°, ∴△POB 的面积为： PO BO=×4
×2
=8.