例4 （2009上海卷理13题）
某地街道呈现东西和南北方向的网格状，相邻街距都是1。两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2,2），（3,1），（3,4），（-2,3），（4,5）（6，6）为报刊零售点。请确定一个格点（除报刊零售点外）为发行点，使6个报刊零售点沿街道到发行站的路程和最短，则发行点的坐标为（ ）
解析: 设格点为（x,y）,则 格点到各零售点的距离之和为
︱x＋2︱＋︱x＋2︱＋︱x－3︱＋︱x－3︱＋︱x－4︱＋︱x－6︱ ＋︱y－1︱＋︱y－2︱＋︱y－3︱＋︱y－4︱＋︱y－5︱＋︱y－6︱ x系列共6项，中间两项都为3，
当且仅当 x＝3时，这一部分和值达到最小； y系列共6项，中间两项为3和4，
当且仅当 y∈〔3,4〕时，这一部分和值达到最小。
所以（x,y）可取点（3，3）或（3,4），由题意舍去（3,4），所以只能选 （3，3）。
例5 求y＝︱2x－1︱＋︱2x －2︱＋︱2x－3︱＋︱2x－4︱＋︱2x－5︱的最小值
x
解析: 令t＝2，则y＝︱t－1︱＋︱t －2︱＋︱t－3︱＋︱t－4︱＋︱t－5︱, 共5项，中项为3，当t＝3即 x＝㏒23，ymin＝6
例6 求y＝︱㏒2X＋1︱＋︱㏒2X－1︱＋︱㏒2X－2︱＋︱㏒2X－4︱＋︱㏒2X－6︱的最小值
解析： 令t＝㏒2X，则
y＝︱t＋1︱＋︱t －1︱＋︱t－2︱＋︱t－4︱＋︱t－6︱ 共 5项，中项为2，，当且仅当t＝2即 x＝4时，ymin＝7。
例7求 y＝︱x2＋2x－1︱＋︱x2＋2x －2︱＋︱x2＋2x－3︱的最小值。
2
解析： 令t＝x＋2x，则y＝︱t－1︱＋︱t －2︱＋︱t－3︱ 共3项，中项为2，当且仅当t＝2即x2＋2x＝2时，y有最小值， 对x2＋2x＝2求解，得x＝－1±，此时ymin＝2.
练习 （1）求y＝︱x＋1︱＋︱2x－6︱＋︱3x－6︱的最小值 （2）求y＝︱x－6︱＋︱x－6︱的最小值
中间分析： （1） y =︱x＋1︱＋︱x－2︱+︱x－2︱＋︱x－2︱+︱x－3︱+︱x－3︱,共6项，
两项都为2，代人2即可。
（2） y =〔︱x－6︱＋︱x－6︱+︱x－12︱〕,中项为6，代人6即可。