数学自主招生训练题（4）
1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A.54 B.60 C.66 D.72
5 2 3 4 侧视图 正视图
俯视图
2. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则
同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A.72 B.120 C.144 D.3 3. 已知?ABC的内角A、B、C满足sin2A?sin(A?B?C)?sin(C?A?B)?1，面2积S满足1?S?2，记a、b、c分别为A、B、C所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A.bc(b?c)?8
B.ab(a?b)?162
C.6?abc?12 D.12?abc?24
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.
5.在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|?|b|?1，a·b?0，点Q满足
1212?? B.?? C.?2? D.?2?
3333
OQ?2(a?b)，曲线C?{P|OP?acos??bsin?,0???2?}，区域??
{P|0?r?PQ?R,r?R}，若C??为两段分离的曲线，则
（A）1?r?R?3 （B）1?r?3?R （C） r?1?R?3 （D）1?r?3?R
yQr
Ox
C
6.若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（ ） A．B． C． D． 7.若a，b是函数f（x）=x﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于( ） A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 8.已知
，则
A． 13 62R，若P点是△ABC所在平面内一点，且
的最大值等于（ ）
C． 19 D． 21 B． 15 1??2x9.在?x? 的展开式中，的系数为 . ?4x?? 10.在?ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知?ABC的面积为
1315 ，b?c?2,cosA??, 则a 的值为 . 411.在等腰梯形ABCD 中,已知AB//DC,AB?2,BC?1,?ABC?60 ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且BE??BC,DF?为 .
12.平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：
2
1DC，则AEAF的最小值9?﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：
x=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 ．
13．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点． （Ⅰ）求证：BD∥平面FGH； （Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．
n
14．设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3+3． （Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．
15.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．
16．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，左、右焦
点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设椭圆E：
+
=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于
A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q． （i） 求|
|的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．
2
17．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x﹣x），其中a∈R， （Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若?x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．