北京市海淀区2015-2016学年九年级（上）期中数学复习试卷（圆）
一、填空题
1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为
上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD= 度．
2．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE= ．
3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接
OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是 ．
4．（2015秋?海淀区期中）已知AB是直径，∠C等于15度，∠BAD的度数= ．
5．（2015秋?海淀区期中）如图，PA，PB分别与相⊙O切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是 ．
1
6．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（ ）
A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内 C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外
7．已知⊙O的半径是5，OP的长为7，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
8．已知扇形的半径为3，扇形的圆心角是120°，则该扇形面积为 ．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于 ．
10．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 cm．
11．（2014秋?海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．
2
12．（2014秋?陇西县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30． （1）求证：CG是⊙O的切线； （2）若CD=6，求GF的长．
13．（2015秋?海淀区期中）已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB．
14．（2015秋?海淀区期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点． 求证：直线EF是半圆O的切线．
15．（2015秋?海淀区期中）已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为∠BAC的度数．
，，求
16．（2015秋?海淀区期中）已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．
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2015-2016学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（圆）
参考答案与试题解析
一、填空题
1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为
上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD= 度．
【考点】垂径定理；圆周角定理．
【分析】本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求解． 【解答】解：由垂径定理可知等的性质可知∠ABD=∠CEA=28度． 故答案为：28．
【点评】本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
2．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE= ．
，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】根据垂径定理可以得到CE的长，在直角△OCE中，根据勾股定理即可求得． 【解答】解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E． ∴CE=CD=4． 在直角△OCE中，OE=则AE=OA﹣OE=5﹣3=2． 故答案为：2．
4
==3．
【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．
3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接
OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是 ．
【考点】切线的性质．
【分析】根据切线的性质求出∠OCD，求出∠COD，求出∠A=∠OCA，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵CD切⊙O于C， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD=90°， ∵∠D=50°，
∴∠COD=180°﹣90°﹣50°=40°， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA，
∵∠A+∠OCA=∠COD=40°， ∴∠A=20°． 故答案为：20°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题型较好，难度也适中，是一道比较好的题目．
5
4．（2015秋?海淀区期中）已知AB是直径，∠C等于15度，∠BAD的度数= ．
【考点】圆周角定理．
【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠B=∠C=15°，根据直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：连接BD， ∠B=∠C=15°， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣15°=75°， 故答案为：75°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
5．（2015秋?海淀区期中）如图，PA，PB分别与相⊙O切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是 ．
【考点】切线的性质．
【分析】利用切线长定理得出PA=PB，再利用等边三角形的判定得出△PAB是等边三角形，即可得出答案．
【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
6
∴PA=PB， ∵∠APB=60°， ∴△PAB是等边三角形， ∴AB=PA=5， 故答案为：5．
【点评】此题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，得出△PAB是等边三角形是解题关键．
6．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（ ）
A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内 C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外 【考点】点与圆的位置关系．
【分析】先找出与点A的距离为2的点1和5，再根据“点与圆的位置关系的判定方法”即可解．
【解答】解：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，
∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上； 当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内； 当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外． 由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误． 故选：A．
【点评】本题考查点与圆的位置关系的判定方法．若用d、r分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
7．已知⊙O的半径是5，OP的长为7，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【考点】点与圆的位置关系．
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：∵⊙O的半径是5，OP的长为7，5＜7，
7
∴点P在圆外． 故选C．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
8．已知扇形的半径为3，扇形的圆心角是120°，则该扇形面积为 ． 【考点】扇形面积的计算．
【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，其半径为3， ∴S扇形=
故答案为：3π．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于 ．
=3π．
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】由∠BOD=138°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，又由圆的内接四边四边形的性质，求得∠BCD的度数，继而求得∠DCE的度数 【解答】解：∵∠BOD=138°， ∴∠A=∠BOD=69°， ∴∠BCD=180°﹣∠A=111°， ∴∠DCE=180°﹣∠BCD=69°． 故答案为：69°．
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【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用．
10．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 cm．
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】解答此题应进行分类讨论，点P可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部． 【解答】解：当点P在圆内时，则直径=6+2=8cm，因而半径是4cm； 当点P在圆外时，直径=6﹣2=4cm，因而半径是2cm． 所以⊙O的半径为4或2cm． 故答案为：4或2．
【点评】考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是首先要进行分类讨论，其次是理解最长距离和最短距离和或差的意义．
11．（2014秋?海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】先根据圆内接四边形的性质推出∠ADC=50°，再根据圆周角定理推出∠AOC=100°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出∠OAC的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC=180°， ∵∠ABC=130°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°， ∴∠AOC=2∠ADC=100°．
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∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=40°．
【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键在于求出∠AOC的度数．
12．（2014秋?陇西县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30． （1）求证：CG是⊙O的切线； （2）若CD=6，求GF的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；
（2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出FG的长即可．
【解答】（1）证明：连接OC． ∵OC=OD，∠D=30°， ∴∠OCD=∠D=30°． ∵∠G=30°，
∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°． ∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°． ∴OC⊥CG．
又∵OC是⊙O的半径．
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∴CG是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CE=CD=3．
∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°， ∴EO=CO，CO2=EO2+CE2． 设EO=x，则CO=2x． ∴（2x）2=x2+32． 解得x=∴CO=2∴FO=2
（舍负值）． ． ．
在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°， ∴GO=2CO=4
． ．
∴GF=GO﹣FO=2
【点评】此题主要考查了切线的判定，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
13．（2015秋?海淀区期中）已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB．
【考点】切线的性质．
11
【分析】由PA与PB为圆的两条切线，根据切线长定理得到PA=PB，且PO平分两切线的夹角，进而得到三角形PAB为等腰三角形，根据三线合一得到PC为高，PC为中线，可得出OP垂直平分线段AB，得证．
【解答】证明：∵PA，PB分别为⊙O的切线， ∴PA=PB，PO为∠APB的平分线， ∴PO⊥AB，C为AB的中点， 则OP垂直平分线段AB．
【点评】此题考查了切线的性质，涉及的知识有：切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线长定理是解本题的关键．
14．（2015秋?海淀区期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点． 求证：直线EF是半圆O的切线．
【考点】切线的判定．
【分析】连接OF，CF，利用等边对等角即可证得OF⊥EF，从而证得EF是圆的切线． 【解答】证明：连接OF，CF． ∵AC是直径， ∴∠AFC=90°， ∴∠BFC=90°， 又∵E是BC的中点， ∴EF=EC， ∴∠EFC=∠ECF， ∵OC=OF， ∴∠OFC=∠FCO，
12
∵∠ACB=∠FCO+∠ECF=90°， ∴∠EFC+∠OFC=90°，即∠EFO=90°， ∴OF⊥EF， ∴EF是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决本题的关键是正确作出辅助线．
15．（2015秋?海淀区期中）已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为∠BAC的度数．
【考点】垂径定理；解直角三角形．
【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E． ∵OE⊥AC，OD⊥AB， ∴AE=AC=
，AD=AB=
，
，
，求
∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，
∴∠AOE=60°，∠AOD=45°，
∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，
∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°． ∴∠BAC=15°或75°．
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【点评】本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解．
16．（2015秋?海淀区期中）已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离． 【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】分情况进行讨论，（1）如图，AB和CD再圆心的同侧，连接OB，OD，作OM⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出ON⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON的长度，根据图形即可求出MN=OM﹣ON，通过计算即可求出MN的长度，（2）AB和CD在圆心两侧，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出MN⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON的长度，根据图形即可求出MN=OM+ON，通过计算即可求出MN的长度． 【解答】解：（1）如图1，连接OB，OD，做OM⊥AB交CD于点N， ∵AB∥CD， ∴ON⊥CD，
∵AB=40cm，CD=48cm， ∴BM=20cm，DN=24cm， ∵⊙O的半径为25cm， ∴OB=OD=25cm， ∴OM=15cm，ON=7cm， ∵MN=OM﹣ON， ∴MN=8cm，
（2）如图2，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N， ∵AB∥CD， ∴ON⊥CD，
∵AB=40cm，CD=48cm，
14
∴BM=20cm，DN=24cm， ∵⊙O的半径为25cm， ∴OB=OD=25cm， ∴OM=15cm，ON=7cm， ∵MN=OM+ON， ∴MN=22cm．
∴平行弦AB，CD之间的距离为8cm或22cm．
【点评】本题主要考查垂径定理和勾股定理的运用，平行线间的距离的定义，平行线的性质等知识点，关键在于根据题意分情况进行讨论，正确的做出图形，认真的做出辅助线构建直角三角形，熟练运用垂径定理和勾股定理推出OM和ON的长度，利用数形结合的思想即可求出结果．
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