八年级数学竞赛（决赛）试题
（竞赛时间：上午9：30—11：30）
一、选择题（每小题5分，共30分）
1.若四个有理数a、b、c、d满足1111a?2006?b?2007?c?2008?d?2009，则
a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．a>c>b>d B．b?d?a?c C．c?a?b?d D．d?b?a?c
2、如图1，已知AB∥EF，∠BAC=p，∠ACD=x，∠CDE=y，∠DEF=q，则用p、q、y来表示x.得（ ） A．x=p+y-q+180° B．x=p+q-y+180° ABC．x=p+q+y D．x=2p+2q-y+90°
CD3、计算(1?111122)(1?32)??(1?92)(1?102)?（ ）
EFA．1021 B．1321 C．920 D．1120
4、若M?10a2?b2?7a?8， N?a2?b2?5a?1，则M?N的值（ ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是正数 D．不能确定
5、不等边三角形ABC的两条高分别是4和12，若第三边上的高也是整数，那么这条高最长的可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6、如果一条直线l经过不同的三点A(a,b),B(b,a),C(a?b,b?a)，那么直线l经过（ ）
A．第二、四象限 B．第一、二象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
二、填空题（每小题5分，共30分）
7、方程2009x?2009?2009的解是 .
8、如图2，AB、CD相交于E，CF、BF分别是∠ACD和∠ABD的
FA平分线，它们相交于点F，若∠A+∠D=130°，
D则∠F= 度.
ECB9、一个自然数n的所有数字之和记为S（n），若n+S（n）=2009，则n= . 10、某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加英语竞赛有120名女生，80名男生，已知该校
总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生
有 人.
11、如图3，C、D是线段AB上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段
ACDBAB的长度是 .
12、若a?x2?2007， b?x2?2008， c?x2?2009，且abc?24,
则
abc?bac?cab?1a?1b?1c的值为 .
以下三、四、五题要求写出解题过程。 三、（本题满分20分）
13、已知a、b、c为三个非负数，且满足3a?2b?c?5， 2a?b?3c?1. ⑴求c的取值范围；
1
⑵设S?3a?b?7c，求S的最大值和最小值.
四、（本题满分20分）
14、如图4，AD是△ABC的角平分线，且∠B=∠ADB，过点C作AD的延长线的垂线，垂足为M.
⑴若?DCM??，试用?表示?BAD； A⑵求证：AB+AC=2AM
CDB
M
1．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分??如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）
（A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007
2．如图，ABCD为正方形，E是CF上一点，若DBEF是菱形，则∠EBC=________。 （A）15° （B）22° (C)30° (D)25°
3．如图，若△ABC的边AB=2，AC=3，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、BC、AC为边的正方形，则图中三个阴影部分面积之和为________。
4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD),∠D=90°,BC=CD=12, ∠ABE=45°。若AE=10，则CE的长为________。
5．已知在ABCD中，点E、F分别在AB、AD上。
（1）若AB=10，AB与CD间距离为8，AE=BE，BF=FC，求△DEF的面积； （2）若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积。
6．如图，P为ABCD内一点，过P点分别作AB、CD的平行线，交平行四边形于E、F、G、H
四点，若S
AHPE=3，S
PFCG=5，求S△PBD。
7．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE∥BC。问S△ABE与S△ACD相等吗？请说明理由。
8．
ABCD中，有一点P，使∠APD=∠ADP。连接AP、BP、DP、CP，求证∠PAD=∠PCB。
9．如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，边BC、AC的垂直平分线FO与GO相交于点O。求证：OF=0.5AH，OG=0.5BH。
10．如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E，E恰为BC的中点，tanB=2。 （1）求证：AD=AE；
（2）如图，点P在线段BE上，作EF⊥DP与点F，连接AF。求证：DF－AF=AF； （3）请你在图中画图探究：当P为线段EC上任意一点（P不与点E重合时），作EF⊥直线DP，垂足为点F，连接AF。线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论。
11．如图，在菱形ABCD与菱形BEFG中，点A，B在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及PG：PC的值。 （1）写出上面问题中PG与PC的位置关系及PG：PC的值；
（2）将菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一直线上，原问题中其他条件不变。你在（1）中得到两个结论，它们是否变化？写出你的猜想并加以证明。
2
（3）若∠ABC=∠BEF=2а（0°＜а＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中其他条件不变，请你直接写出PG：PC的值。
12．在
ABCD中，∠A的平分线分别与BC及DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、
△ABE的外心． (1)求证： O、E、O1三点共线； (2)求证：若∠ABC = 70°，求∠OBD的度数。 13．如图，EFGH的顶点分别在矩形ABCD的四条边上，且HG∥ ADAC。求证：
EFGH的周长为定值。
O．1BEOCF
14．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片还原，使点D与P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点，再将纸片还原。
（1）当x=0时，折痕EF的长为 ；当点与E与A重合时，折痕EF的长为 ； （2）请求出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出x=2时练习的边长：
（3）令EF2
为y，当点E在AD，点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似；若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。
15．有矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合。
（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G，AF=，求DE的长；
（2）如果折痕FG分别与CD、DA交于点F、G，△AED的外接圆与直线BC相切，求证折痕FG的长。
16．在矩形ABCD中，有一内接菱形PQRS。P、Q、R、S分别在AB、BC、CD、AD上，且BP=15，BQ=20，PR=30，QS=40。若矩形ABCD的周长为一个即约分数，分子为m，分母为n，求m+n的值。
17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转а度得到四边形OAB'C'，此时直线OA’、直线B’C’分别与直线BC相交于点P、Q。
（1）四边形OABC的现状是 ，当а=90°时，BP：BQ的值是 ； （2）①如图，当四边形OA’B’C’的顶点B’落在y轴正半轴时，求BP：BQ的值； ②如图，当四边形OA’B’C’的顶点B’落在直线BC上时，求△OPB'的面积； （3）在四边形OA’B’C’旋转过程中，当0＜а°≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=0.5BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
18．若四边形的四条边长a、b、c、d满足a4
+b4
+ c4
+ d4
=4abcd。求证：该四边形是菱形。
19．如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH
交于点P。
（1）若AG=AE，证明：AP=AH；
（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；
（3）若Rt△GBH的周长为1，求矩形EPHD的面积；
（4）若矩形AEGP的面积为矩形PFCH面积的一半，求∠FAH的度数。
20．正方形ABCD中，有一小正方形EFGH。连接AE、BF、CG、DH，取它们各自的中点W、X、Y、Z。求证：四边形WXYZ是正方形。
21．过正方形ABCD的顶点A作线段AE使DC=DE，交DC于G，作DF⊥AE，连接CE。
（1）若∠CDE=60°，AB=1，求DF的长；
（2）作∠CDE平分线，交AE于P，交CE与Q，连接BP，求证：DP+BP=AP； （3）若AD=2，DF=1，求PQ的长。
3
22．如同，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F。（1）EF+0.5AC =AB；
（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与点A1运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动。如图，AF1平分∠B A1 C1，交BD于F1，过F1作F1E1⊥A1 C1，垂足为E1，试猜想F1E1，0.5 A1 C1与AB之间的数量关系，并证明你的猜想。
（3）在（2）的条件下，当A1 C1=3，C1 E1=2时，求BD的长。
23．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于O。
求证：CO=CD。
24．如图，在等腰梯形ABCD中，G为对角线交点，△ADG、△GBC为正三角形。F、E、H为AG、
BG、DC的中点。
（1）求证：△EFH为正三角形；（2）若AD=2，BG=3，求S△EFH； （3）若S△EFG：S△AGB=7：8，求AD：BC。
参考答案
1．B；2．C；３．由等底等高得三个部分面积等，所以∠BAC=90°时,S总和为９；4．6；
5．(1)略（2）8；6．1；7．略；8．过P作BC平行线，交AB于Z，交CD于X，用“边角边”证明△APZ 、△PCX相似；9．取CH中点为V，连接GV、FV，得OGVF为一个平行四边形；10．（2009北京模拟）（1）略；（2）作∠DAG=∠FAE，交BC于G；（3）略；11．（2008北京）（1）PG⊥PC，PG：PC=（2）没变，延长GP交AD于H，证△CDH≌△CBG（3）PG：PC=tan（90°－а）；12．（2006全国初中数学联合竞赛决赛）（1）用相似三角形（2）35°,在AD上截取AX=AB，∠XBC=70°，用相似三角形证明∠XBD=∠OBC；13．设AC与EH、FG交于Z、X，通过角的转化证明∠AEH=∠FGC，再证明△AEZ≌△GCX；14．（1）3，（2）1≤x≤3，1.25（3）作EH⊥BC，得△DAP∽△EHF，所以y=9x2
+9，得△EAP∽△PBF，x=3－；15．（2006南京）（1）（2）列方程，FG=；16．即
约分数为
，m+n=677；17．（2009宁波）（1）略（2）①
②18.75（3）P在线段OA’上，P（－
1.75，6），P在OA’延长线上,P(－9－1.5
，6)；18．得a4
—2a2b2
+b4
+c4
—2c2d2
+d4
=4abcd—2a2b
2
—2c2d2
→（a2
—b2
）+（c2
—d2
）=﹣2（a2b2
—c2d2
）；19．（第一二三为2009广东）（1）略（2）把△
DAH顺时针旋转90°（3）0.5（4）45°，方法为（2）中的逆式；20．把BYFHWC逆时针旋转90°；
21．（1）略（2）证∠DPF=∠ABD=45°，根据四点共圆得∠APB=∠ADB=45°，再作BP垂线构理可证??
1、矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则 ∠BOE=________°
DC
DS2S4OS1BFS3D4
EEBFBECC
2、菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB的周长为3?3，∠ABC=60o，则菱形ABCD的面积为__________
13、如图，矩形ABCD长为a，宽为b，若s1=s2=2(s3+s4)，则s4等于（ ）
33AE（A）8ab （B）4ab21 （C）3ab （D）2ab
G4、菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF=_________°
CDFB5、点M、N分别在正方形ABCD的边CD、BC上，，已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，求∠MAN的度数。
6、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，求证：EF=DF.
E
AFD
BC
7、如图，在平行四边形ABCD中，BC = 2AB，E为BC的中点，求∠AED的度数； A
D E BC
8、如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE = AC，DCF以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为92，求正方形边长；
ABE
10、如图1，正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H。 （1）求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE。
（2）当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由。
11、如图，正方形ABCD中，过D做DE∥AC，∠ACE =30°，CE交AD于点F，求证：AE = AF；
E AFD BC
12、如图，在⊿ABC中，∠BAC =90?，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于
G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形；
CD F G B
AE12题
13、如图，正方形ABCD中，F在CD上，AE平分∠BAF，E为BC中点，求证：AF = BC + CF MC
N
AB
14、已知ΔABC 中，E、F 分别为 AB、AC 的中点，CD 平分∠BCA 交EF 于 D， 求证：AD⊥DC
15、已知：平行四边形ABCD 中，AB+BC=11cm，∠A=150°，平行四边形ABCD的面积是15cm2，求AB，BC。
5
16、如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、 △BCE、△ACF，猜想：四边形ADEF是什么四边形，试证明你的结论.
17、已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足. 求证：AP=EF.
18、如图,△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE.
(1)求证：△ACD≌△CBF.
(2)点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°.
19、如图，在Rt⊿ABC中，∠C =90?，AC = AB，AB = 30，矩形DEFG的一边DE在AB上，顶点G、F分别在AC、BC上，若DG：GF = 1：4，求矩形DEFG的面积是；
C
GF
ADEB
20、如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，AE为∠BAD的平分线，
交GC的延长线于E，求证：BD = C AD41 356GO 2BHC
1、如图,平行四边形ABCD中,P是四边形内任意一点,
E?ABP,?BCP,?CDP,?ADP的面积分别为S1,S2,S3,S4,则一定成立的
是 ( )
A．S1?S2?S3?S4 B．S1?S2?S3?S4 C．S1?S2?S3?S4 D．S1?S3?S2?S4
2、如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s．连结PQ，AQ，CP.设点P、Q运动的时间为t（s）.
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形． （2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形．
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
3、在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F． （1）求证：四边形BFDE为平行四边形；
（2）若四边形BFDE为菱形，且AB=2，求BC的长．
4、李倩同学在学习中善于总结解决问题的方法，并把总结出的结果灵活运用到做题中．例如，总结出“图形中有角平分线＋平行线，通常会出现等腰三角形”后，老师出了这样一道题：
（1）如图1，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AE平分∠FAD，与CD交于点E，与BC的延长线交于点M，E是CD的中点，请问 AF＝FC＋AD成立吗？
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（2）若把矩形ABCD变成平行四边形ABCD（如图2），其它条件不变，你的结论还正确吗？说明理由．
5、如图，E为正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE＝BC＝1．
(1)求∠DCE的度数；
(2)点P在EC上，作PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，求PM＋PN的值．
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