2016-2017学年福建省泉州市南安市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）关于x的方程2x﹣m=1的解是x=3，则m的值为（ ） A．5
B．﹣5 C．7
D．﹣7
2．（4分）下列各组中，不是二元一次方程3x+y=7的解的是（ ） A．
B．
C．
D．
3．（4分）由﹣x＜3，得x＞﹣6，其根据是（ ）
A．不等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变 B．不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变 C．不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变 D．乘法分配律
4．（4分）下列图形中，有且只有2条对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）已知方程3x﹣2y=5，把它变形为用含x的代数式表示y，正确的是（ ） A．
B．
C．
D．
6．（4分）下列各多边形，内角和为540°的是（ ）
A． B． C． D．
7．（4分）下列多边形，能用一种图形镶嵌成平面图案的是（ ） A．正五边形
B．正六边形
C．正七边形
D．正八边形
8．（4分）等腰三角形的两条边的长分别是3cm和8cm，则其周长是（ ） A．11cm
B．14cm
C．19cm
D．14cm或19cm
9．（4分）下列各图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（ ）
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A． B． C． D．
10．（4分）如图，已知△ABC≌△DCB，AB=10，∠A=60°，∠ABC=80°，那么下列结论中错误的是（ ）
A．∠D=60° B．∠DBC=40° C．AC=DB D．BE=10
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）“x的3倍与2的差是负数”用不等式表示为 ． 12．（4分）若x、y满足方程组
，则x+y= ．
13．（4分）一个多边形的一个顶点出发有5条对角线，这是一个 边形． 14．（4分）如图，将△ABC沿BC方向向右平移得到△DEF，其中BF=10，EC=4，则平移的距离为 ．
15．（4分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A'B'C，若∠A=45°，∠B'=110°，则∠ACB'= °．
16．（4分）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，D是AB上的点，将△ACD沿直线CD翻折，使点A恰好落在BC上的点E处，则∠BDE= °．
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三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：2+2（4﹣x）=3x．
18．（8分）解方程组：
．
19．（8分）解不等式组：，并把它们的解集在数轴上表示出来．
20．（8分）从甲地到乙地，长途汽车原需行驶7个小时，新开通高速公路后，路程缩短了45千米，车速平均每小时增加30千米，结果只需4个小时即可到达．求甲、乙两地之间走高速公路的路程．请完成下面的解答过程． 解：设甲、乙两地之间高速公路的路程为x千米，根据题意，得．
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21．（8分）如图，在△ABC中，∠B=35°，∠C=65°，AD平分∠BAC，过点D作BC的垂线，交AB于点E，求∠ADE的度数．请完成剩下的解答过程． 解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，且∠B=35°，∠C=65° ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣35°﹣65°=80°．
22．（10分）某中学准备购买一些排球，现商店有A、B两种品牌的排球，已知购买1个A品牌排球和购买2个B品牌排球一共花200元，购买2个A品牌排球比购买3个B品牌排球少花20元．
（1）分别求A品牌排球和B品牌排球的单价；（要求列方程（组）进行解答） （2）学校准备用不超过650元来购买A、B两种品牌的排球共10个（两种排球都要买），问有几种购买方案？（要求列不等式进行解答）
23．（10分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在网格中画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1； （2）在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；
（3）在网格中画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A3B3C3．
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24．（12分）共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式．某企业准备采购一批单车，现甲、乙两厂正在做促销活动，分别给出了不同的优惠方案： 甲厂优惠方案：购买单车的金额超过3万元后，超出3万的部分按a折收费； 乙厂优惠方案：购买单车的金额超过5万元后，超出5万的部分按八折收费； 已知该企业若到甲厂购买单车，当金额是6万元时，实际只需支付了5.7万． （1）填空：a= ；
（2）若该企业到乙厂购买了一批单车，实际支付了9万，则比不打折省了多少钱？（要求列方程进行解答）
（3）如果该企业购买单车的金额超过5万，那么到哪个厂进行采购更合算？
25．（14分）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假
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定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1． （1）填空：∠BAN= °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
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2016-2017学年福建省泉州市南安市七年级（下）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）关于x的方程2x﹣m=1的解是x=3，则m的值为（ ） A．5
B．﹣5 C．7
D．﹣7
【分析】把x=3代入方程，即可得到一个关于m的方程，解方程即可求解． 【解答】解：把x=3代入2x﹣m=1，得 2×3﹣m=1， 解得m=5． 故选：A．
【点评】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．
2．（4分）下列各组中，不是二元一次方程3x+y=7的解的是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】把x看做已知数求出y，分别求出x=1、0、3、1.5时y的值即可判断． 【解答】解：方程3x+y=7， 解得：y=﹣3x+7，
当x=1时，y=4，故A不符合题意； 当x=0时，y=7，故B不符合题意； 当x=3时，y=﹣2，故C不符合题意； 当x=1.5时，y=2.5，故D符合题意； 故选：D．
【点评】本题考查了解二元一次方程，根据要求代入一个未知数的值，求出另一个未知数的值即可，比较简单．
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3．（4分）由﹣x＜3，得x＞﹣6，其根据是（ ）
A．不等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变 B．不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变 C．不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变 D．乘法分配律
【分析】由﹣x＜3，两边同时乘﹣2，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，得x＞﹣6．
【解答】解：由﹣x＜3，得x＞﹣6，其根据是：
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
4．（4分）下列图形中，有且只有2条对称轴的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义即可判断． 【解答】解：A、矩形有两条对称轴，符合题意．
B、平行四边形不是轴对称图形，没有对称轴，不符合题意． C、正方形有4条对称轴，不符合题意． D、圆有无数条对称轴，不符合题意． 故选：A．
【点评】本题考查轴对称图形的定义、矩形、平行四边形、正方形、圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（4分）已知方程3x﹣2y=5，把它变形为用含x的代数式表示y，正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【分析】把x看做已知数求出y即可． 【解答】解：方程3x﹣2y=5， 解得：y=故选：A．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
6．（4分）下列各多边形，内角和为540°的是（ ）
，
A． B． C． D．
【分析】根据n边形的内角和公式为（n﹣2）?180°，即可得到结论． 【解答】解：设这个多边形的边数是n， 则（n﹣2）?180°=540°， 解得n=5， 故选：C．
【点评】本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．
7．（4分）下列多边形，能用一种图形镶嵌成平面图案的是（ ） A．正五边形
B．正六边形
C．正七边形
D．正八边形
【分析】根据几何图形镶嵌成平面的条件：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得出答案．
【解答】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案， ∴正六边形符合题意； 故选：B．
【点评】此题主要考查了平面镶嵌，掌握几何图形镶嵌成平面的条件：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；用一种正多边形镶嵌，只
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有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
8．（4分）等腰三角形的两条边的长分别是3cm和8cm，则其周长是（ ） A．11cm
B．14cm
C．19cm
D．14cm或19cm
【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3，只能为8，然后即可求得等腰三角形的周长．
【解答】解：∵等腰三角形的两条边长分别为3cm，8cm，
∴由三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3，只能为8， ∴等腰三角形的周长=8+8+3=19cm． 故选：C．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形三边关系等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．要求学生应熟练掌握．
9．（4分）下列各图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据旋转图形的性质分别求出各选项图形的最小旋转角，然后解答即可． 【解答】解：A、360°÷3=120°，所以，绕某个点旋转120°后能与自身重合，故本选项不符合题意；
B、360°÷12=30°，30°×4=120°，所以，绕某个点旋转4个30°，即120°后能与自身重合，故本选项不符合题意；
C、360°÷6=60°，60°×2=120°，所以，绕某个点旋转2个60°，即120°后能与自身重合，故本选项不符合题意；
D、360°÷5=72°，所以，绕某个点旋转120°后不能与自身重合，故本选项符合题意． 故选：D．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，
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旋转的角度叫做旋转角．
10．（4分）如图，已知△ABC≌△DCB，AB=10，∠A=60°，∠ABC=80°，那么下列结论中错误的是（ ）
A．∠D=60° B．∠DBC=40° C．AC=DB D．BE=10
【分析】根据三角形的内角和得到∠ACB=40°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠A=60°，∠ABC=80°， ∴∠ACB=40°， ∵△ABC≌△DCB，
∴∠D=∠A=60°，∠DBC=∠ACB=40°，AC=BD， 故A，B，C正确， 故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）“x的3倍与2的差是负数”用不等式表示为 3x﹣2＜0 ．
【分析】首先表示出x的3倍是3x，负数是小于0的数，进而列出不等式即可． 【解答】解：x的3倍是3x， 由题意得：3x﹣2＜0， 故答案为：3x﹣2＜0．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
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12．（4分）若x、y满足方程组【分析】应用代入法，求出方程组【解答】解：
，则x+y= 3 ．
的解，即可求出x+y的值是多少．
由②，可得：y=4﹣2x③， 把③代入①，解得x=1， ∴y=4﹣2×1=2， ∴原方程组的解是∴x+y=1+2=3 故答案为：3．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组问题，要熟练掌握，注意代入法和加减法的应用．
13．（4分）一个多边形的一个顶点出发有5条对角线，这是一个 八 边形． 【分析】根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，列方程求解． 【解答】解：设多边形有n条边， 则n﹣3=5， 解得n=8．
故多边形的边数为8，即它是八边形． 故答案为八．
【点评】本题考查了多边形的对角线，经过n边形的一个顶点所有的对角线有（n﹣3）条，经过n边形的一个顶点的所有对角线把n边形分成（n﹣2）个三角形．
14．（4分）如图，将△ABC沿BC方向向右平移得到△DEF，其中BF=10，EC=4，则平移的距离为 3 ．
，
【分析】根据平移的性质可得BE=CF为平移距离，然后求解即可．
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【解答】解：∵△ABC沿BC方向向右平移得到△DEF， ∴BE=CF， ∵BF=10，EC=4， ∴BE=×（10﹣4）=3， 即平移的距离为3． 故答案为：3．
【点评】本题考查了平移的性质，主要利用了对应顶点的连线的长度等于平移距离．
15．（4分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A'B'C，若∠A=45°，∠B'=110°，则∠ACB'= 25 °．
【分析】根据旋转的性质可得∠B=∠B′，然后利用三角形内角和定理列式求出∠ACB，再根据对应边AC、A′C的夹角为旋转角求出∠BCB′，于是得到结论． 【解答】解：∵△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′， ∴∠B=∠B′=110°，∠BCB′=50°，
在△ABC中，∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣45°﹣110°=25°， ∴∠ACB′=∠BCB′+∠ACB=50°﹣25°=25°． 故答案为：25．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，熟记旋转变换的对应的角相等，以及旋转角的确定是解题的关键．
16．（4分）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，D是AB上的点，将△ACD沿直线CD翻折，使点A恰好落在BC上的点E处，则∠BDE= 10 °．
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【分析】根据三角形没机会定理求出∠B，根据翻转变换的性质、三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=50°， ∴∠B=90°﹣50°=40°，
由翻转变换的性质可知，∠DEC=∠A=50°， ∴∠BDE=∠DEC﹣∠B=10°， 故答案为：10．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、三角形的外角的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：2+2（4﹣x）=3x．
【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：2+8﹣2x=3x， ﹣2x﹣3x=﹣8﹣2， ﹣5x=﹣10， x=2．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．
18．（8分）解方程组：
．
的解是多少即可．
【分析】应用加减法，求出方程组
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【解答】解：
①×2，得 2x﹣6y=4③ ③﹣②，得﹣y=﹣1 即 y=1
将y=1代入①，得：x﹣3=2 解得x=5
∴原方程组的解是
．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组问题，要熟练掌握，注意代入法和加减法的应用．
19．（8分）解不等式组：
，并把它们的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【解答】解：
解不等式①，得x＞﹣2； 解不等式②，得x≤4，
在数轴上表示不等式①、②的解集如图：
∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤4．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）从甲地到乙地，长途汽车原需行驶7个小时，新开通高速公路后，路程缩短了45千米，车速平均每小时增加30千米，结果只需4个小时即可到达．求甲、乙两地之间走高速公路的路程．请完成下面的解答过程．
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解：设甲、乙两地之间高速公路的路程为x千米，根据题意，得．
【分析】等量关系为：高速公路的路程除以相应时间﹣30=普通公路的路程除以相应时间，把相关数值代入可得方程，解出即可． 【解答】解：根据题意，得：解这个方程，得 x=340．
答：甲乙两地之间走高速公路的路程为340千米．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，得到汽车在高速公路行驶和普通公路行驶的速度之间的等量关系是解决本题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠B=35°，∠C=65°，AD平分∠BAC，过点D作BC的垂线，交AB于点E，求∠ADE的度数．请完成剩下的解答过程． 解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，且∠B=35°，∠C=65° ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣35°﹣65°=80°．
，
【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD=BAC=80°=40°，根据三角形的
外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD=35°+40°=75°，根据垂直的定义得到∠EDC=90°，于是得到结论．
【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C=180°，且∠B=35°，∠C=65°， ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣35°﹣65°=80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=
BAC=
80°=40°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=35°+40°=75°， ∵ED⊥BC， ∴∠EDC=90°，
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∴∠ADE=∠EDC﹣∠ADC=90°﹣75°=15°．
【点评】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
22．（10分）某中学准备购买一些排球，现商店有A、B两种品牌的排球，已知购买1个A品牌排球和购买2个B品牌排球一共花200元，购买2个A品牌排球比购买3个B品牌排球少花20元．
（1）分别求A品牌排球和B品牌排球的单价；（要求列方程（组）进行解答） （2）学校准备用不超过650元来购买A、B两种品牌的排球共10个（两种排球都要买），问有几种购买方案？（要求列不等式进行解答）
【分析】（1）设A品牌排球的单价为x元、B品牌排球的单价为y元，根据关键语句“购买1个A品牌排球和购买2个B品牌排球一共花200元，购买2个A品牌排球比购买3个B品牌排球少花20元”可得方程组，解方程组可得答案； （2）设设购买A品牌排球m个，则购买B品牌排球（10﹣m）个，根据关键语句“不超过650元来购买A、B两种品牌的排球共10个”可得不等式，再解不等式即可．
【解答】解：（1）设A品牌排球的单价为x元、B品牌排球的单价为y元， 根据题意，得解这个方程组，得
， ．
答：A、B品牌排球的单价分别为80元、60元；
（2）设购买A品牌排球m个，则购买B品牌排球（10﹣m）个， 根据题意，得 80m+60（10﹣m）≤650， 解得 m≤2.5，
由题意，知 m必须为正整数， ∴m=1或m=2，
∴一共有两种购买方案：
方案一：当m=1，10﹣m=9时，即购买A品牌排球1个，B品牌排球9个； 方案二：当m=2，10﹣m=8时，购买A品牌排球2个，B品牌排球8个． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用，关键是弄清
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题意，根据关键语句算出A品牌排球和B品牌排球的单价．
23．（10分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在网格中画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1； （2）在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；
（3）在网格中画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A3B3C3．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A1B1C1即可； （2）分别作出各点关于直线m的对称点，再顺次连接即可； （3）分别作出各点关于点O的对称点，再顺次连接即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）如图所示，△A3BC3即为所求．
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【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性是解答此题的关键．
24．（12分）共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式．某企业准备采购一批单车，现甲、乙两厂正在做促销活动，分别给出了不同的优惠方案： 甲厂优惠方案：购买单车的金额超过3万元后，超出3万的部分按a折收费； 乙厂优惠方案：购买单车的金额超过5万元后，超出5万的部分按八折收费； 已知该企业若到甲厂购买单车，当金额是6万元时，实际只需支付了5.7万． （1）填空：a= 9 ；
（2）若该企业到乙厂购买了一批单车，实际支付了9万，则比不打折省了多少钱？（要求列方程进行解答）
（3）如果该企业购买单车的金额超过5万，那么到哪个厂进行采购更合算？ 【分析】（1）由“当金额是6万元时，实际只需支付了5.7万”可得方程3+（6﹣3）×
=5.7，再解即可；
（2）设该企业采购单车的金额是x万元，由题意得等量关系：5万元+超过5万元的部分×八折=9，根据等量关系列出方程，再解即可；
（3）设该企业采购单车的金额是y万元，根据题意分三种情况计算：①购买单车的金额超过3万元合算时，②购买单车的金额超过5万元合算时；③花费相同时，分别列出方程和不等式进行计算即可． 【解答】解：（1）3+（6﹣3）×解得：a=9，
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=5.7
故答案为：9；
（2）设该企业采购单车的金额是x万元． 根据题意，得5+0.8（x﹣5）=9， 解得x=10， 10﹣9=1（万元），
答：比不打折省了1万元．
（3）设该企业采购单车的金额是y万元．
当3+0.9（y﹣3）＞5+0.8（y﹣5），即y＞7时，即当该企业购买单车的金额超过7万，到乙厂进行采购合算；
当3+0.9（y﹣3）=5+0.8（y﹣5），即y=7时，即当该企业购买单车的金额等于7万，该企业到甲、乙两厂进行采购所付金额一样；
当3+0.9（y﹣3）＜5+0.8（y﹣5）且y＞5，即5＜y＜7时，即当该企业购买单车的金额超过5万少于7万，该企业到甲厂进行采购合算．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式和方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系和等量关系，列出方程和不等式．
25．（14分）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1． （1）填空：∠BAN= 60 °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说
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明理由．
【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据2t=1?（30+t），可得 t=30；当90＜t＜150时，根据1?（30+t）+（2t﹣180）=180，可得t=110；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC=2t﹣120°，∠BCD=120°﹣∠BCD=t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD=2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化． 【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1， ∴∠BAN=180°×=60°， 故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1， ∵PQ∥MN， ∴∠PBD=∠BDA， ∵AC∥BD， ∴∠CAM=∠BDA， ∴∠CAM=∠PBD ∴2t=1?（30+t），
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解得 t=30；
②当90＜t＜150时，如图2， ∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA=180°， ∵AC∥BD， ∴∠CAN=∠BDA ∴∠PBD+∠CAN=180°
∴1?（30+t）+（2t﹣180）=180， 解得 t=110，
综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化． 理由：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°﹣2t，
∴∠BAC=60°﹣（180°﹣2t）=2t﹣120°， 又∵∠ABC=120°﹣t，
∴∠BCA=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣t，而∠ACD=120°， ∴∠BCD=120°﹣∠BCA=120°﹣（180°﹣t）=t﹣60°， ∴∠BAC：∠BCD=2：1， 即∠BAC=2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
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