课题：圆的方程
考纲要求：
① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程； ② 会用适当的方法求圆的方程.
教材复习
1.圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0).特殊地，当a?b?0时，圆心在原点的圆的方程为：x2?y2?r2.
?DE?2.圆的一般方程x?y?Dx?Ey?F?0，圆心为点??,??，半径r?2??222D2?E2?4F，
2其中D2?E2?4F?0.
3.二元二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0，表示圆的方程的充要条件是：
2①x项y2项的系数相同且不为0，即A?C?0；②没有xy项，即B?0； ③D2?E2?4AF?0.
x?a?rcos?4.圆C：(x?a)2?(y?b)2?r2的参数方程为?(?为参数).特殊地，??y?b?rsin?x2?y2?r2的参数方程为??x?rcos?(?为参数).
?y?rsin?5.圆系方程：过圆C1：x2?y2?D1x?E1y?F1?0与圆C2：x2?y2?D2x?E2y?F2?0
交点的圆系方程是x2?y2?D1x?E1y?F1???x2?y2?D2x?E2y?F2??0（不含圆C2）, 当???1时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.
6.①圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2，点M(x0,y0)
?M在圆上；(x0?a)2?(y0?b)2?r2?M在 ；
(x0?a)2?(y0?b)2?r2?M在 . ②点M(x0,y0)与圆x2?y2?Dx?Ey?F?0的位置关系：
M在圆内? M在圆上? M在圆外?
22（设f(x0,y0)?x0?y0?Dx0?Ey0?F）
基本知识方法
1.求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法：
① 几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量：圆心和半径；
② 代数法：用待定系数法设出圆的一般方程或标准方程，依据已知条件列出方程组求解. 2.求轨迹方程的一般步骤：①建系设点；②列出轨迹点所满足的等式；③列出方程；④化简；⑤证明作答，并删去多余或补上遗漏点.
典例分析：
考点一 求圆的方程
问题1． 求满足下列各条件圆的方程：?1?(2013吉林质检)以两点A(?3,?1)，B(5,5)2222为直径端点的圆的方程是A.?x?1???y?2??100B.?x?1???y?2??100
C.?x?1???y?2??25 D.?x?1???y?2??25
2222
?2?与x,y轴均相切且过点(1,8)的圆；
?3?求经过A(5,2)，B(3,?2)两点，圆心在直线2x?y?3上的圆的方程；
?4?经过两已知圆C1：x2?y2?4x?2y?0和C2：x2?y2?2y?4?0的交点，
且圆心在直线l：2x?4y?1上的圆的方程.
则圆?5?(2010全国新课标)过点A?4,1?的圆C与直线x?y?1?0相切于点B?2,1?，
C的方程是
?6?一圆与y轴相切，圆心在直线x?3y?0上，且直线y?x截圆所得弦长为2
7.
考点二 圆的标准方程与一般方程
问题2．方程x2?y2?ax?2ay?2a2?a?1?0表示圆，则a的取值范围是
A.a??2 B.?22?a?0 C.?2?a?0 D.?2?a? 33
问题3．已知曲线C:x2?y2?2kx?(4k?10)y?10k?20?0，其中k??1；
?1?求证：曲线C都是圆，并且圆心在同一条直线上；
?2?证明：曲线C过定点；?3?若曲线C与x轴相切，求k的值；
考点三 轨迹问题 问题4．（06盐城二模）已知OP??2?2cos?,2?2sin??（??R，O为坐标原点），
向量OQ满足OP?OQ?0，则动点Q的轨迹方程是
问题5．（03北京春）设A??c,0?，B?c,0?（c?0）为两定点，动点P到点A的距离与
到点B的距离的比为定值a（a?0），求P点的轨迹.
考点四 与圆有关的最值问题
问题6．已知实数x、y满足方程x2?y2?4x?1?0.?1?求
y的最大值和最小值； x?2?求y?x的最小值；?3?求x2?y2的最大值和最小值.
问题7．平面上两点A??1,0?、B?1,0?，在圆C：?x?3?2??y?4?2?4上取一点P，
22求使AP?BP取得最小值时点P的坐标.
考点五 圆的对称性和与圆有关的对称问题
问题8．?1?（99全国文）曲线x2?y2?22x?22y?0关于
A.直线x?2轴对称； B.直线y??x轴对称；
C.点?2,2中心对称； D.点?2,0中心对称.
?????2?（2014届高三吉林质检）圆x2?y2?2x?6y?5a?0关于直线y?x?2b
成轴对称图形，则a?b的范围是A.???,4? B.???,0? C.??4,??? D.?4,???；
问题9．求圆x2?y2?1关于直线x?y?1?0的对称圆的方程.
课后作业：
1.圆x2?y2?4x?6y?11?0的圆心和半径分别是
A.?2,?3?；2 B.?2,?3?；2 C.??2,3?；1； D.??2,3?；2 2.点(2a,a?1)在圆x2?(y?1)2?5的内部，则a的取值范围是
A.?1?a?1 B. 0?a?1
C.–
11?a?1 D.??a?1 553. 以两点A??3,?1?和B?5,5?为直径端点的圆的方程是
A.(x?1)2?(y?2)2?100 B.(x?1)2?(y?2)2?100 C.(x?1)2?(y?2)2?25 D.(x?1)2?(y?2)2?25
4.（07南京市质检）已知圆x2?y2?2x?4y?4?0关于直线y?2x?b成轴对称， 则b?
5.圆x2?y2?2x?6y?9?0关于直线2x?y?5?0对称的圆的方程是
A.(x?7)?(y?1)?1
22B.(x?7)2?(y?2)2?1 D.(x?6)2?(y?2)2?1
C.(x?6)2?(y?2)2?1
6.直线x?2y?2k?0与直线2x?3y?k?0的交点在圆x2?y2?25上，则k?
走向高考：
10. （09上海）点P?4,?2?与圆x2?y2?4上任一点连线的中点轨迹方程是 A.(x?2)2?(y?1)2?1 B.(x?2)2?(y?1)2?4 C.(x?4)2?(y?2)2?4 D.(x?2)2?(y?1)2?1
11.(05重庆)圆(x?2)2?y2?5关于原点?0,0?对称的圆的方程为
22A.?x?2??y2?5 B.x2??y?2??5 C.(x?2)2?(y?2)2?5 D.x2?(y?2)2?5
12.圆x2?y2?2x?6y?9?0关于直线2x?y?5?0对称的圆的方程是
22B.(x?7)2?(y?2)2?1 A.(x?7)?(y?1)?1
C.(x?6)2?(y?2)2?1 D.(x?6)2?(y?2)2?1
13. (05重庆文)若x2?y2?4，则x?y的最大值是
14.（2010福建）以抛物线y2?4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为
A.x2?y2?2x?0 B.x2?y2?x?0 C.x2?y2?x?0 D.x2?y2?2x?0
?x?1?2cos?15.(05上海)将参数方程?(?为参数)化为普通方程,所得方程是
y?2sin??