2018年抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试（理科数学）
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1．设集合A?{x?N|x2?3}，B?{x|?1?x?3}，则集合AA．{?1，0，1} B．{0，1} C．{?1，0} 2．已知i是虚数单位，则计算
B为
D．{x|?1?x?3}
1?2i的结果是 2?i44A．1?i B．?i C．i D． i
553．在等差数列{an}中，已知a3?a10?10，则数列{an}的前12项和为
A．30 B．60 C．90 D．120
4．下面给出的是某校高二（2）班50名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据图中所提供的信息，则下列结论正确的是
A. 成绩是50分或100分的人数是0 B. 成绩为75分的人数为20 C. 成绩为60分的频率为0.18 D. 成绩落在60—80分的人数为29 5．在(2x?O 50 55 75 100 x成绩（分）
y 频率/组距 0.040 0.018 116)的展开式中，含项的系数为
xxA.?60 B. 160 C. 60 D. 64
?y≥2x?2?6．若实数x，y满足?y≥?x?1，则z?3x?y的最大值是
?y≤x?1?A. ?2 B. ?1 C. 5 D. 3 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.64 B.32 C.96 D.48
8．执行右面的程序框图，则输出的S的值是
·1·
1 3 4 6 开始 S?0,i?1 S?S?(?1)i?1?i2 i?i?1 是 A. 210 B. 210 C. 420 D. 420
9．学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛， 下面是他们的一段对话．甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”； 丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”．
已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确．根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是
A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 丁和戊 D. 甲和丁
10．在三棱锥D?ABC中，已知AD?平面ABC，且?ABC为正三角形，AD?AB?3， 则三棱锥D?ABC的外接球的表面积为
A．10? B．9? C．8? D．7?
x2y211．已知F1，F2分别是双曲线2?2?1(a?0，b?0)的左、右焦点，以线段F1F2为斜边作等腰Rt?F1MF2，
ab如果线段MF1的中点恰好在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于
A．2 B．3 C．2 D．6
12．已知函数f(x)?aln(x?1)?x2，在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p?q，若不等式
f(p?1)?f(q?1)?1恒成立，则实数a的取值范围是
p?q A．（15，??) B．[15，??) C．（??，6） D．（??，6]
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量a=(1，x)，b=（1，x），若2a?b与b垂直，则|a|的值为 ． 14．已知函数f(x)?3sin?x?cos?x(??0) 的最小正周期为?，则当x?[0，是
215．若直线l:y?x?b与抛物线C:x?4y相切于点A，则以点A为圆心且与抛物线C的准线相切的圆的标准方
?]时函数f(x)的一个零点2程为
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1?1，an?1?Sn?2，则满足
Sn1?的n的最小值 S2n10三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
·2·
17．（本小题满分12分）
在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin2A?asin(A?C)?0. （Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a?3，?ABC的面积为18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD， ?BAD?60，
1133，求?的值．
bc2PD?AD?AB?2，CD?4，E为PC的中点．
（Ⅰ）证明：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线PB与平面BDE所成角的正弦值． 19．（本小题满分12分）
P ED A B
C
PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标
准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取18天的数据值绘制成茎叶图如下图所示（十位为茎，个位为叶）．
（Ⅰ）在这18个数据中随机抽取3个数据，求其空气质量达到一级的概率；
（Ⅱ）在这18个数据中随机抽取3个数据，用?表示个数，求?的分布列及数学期望；
（Ⅲ）以这18天的PM2.5日均值来估计一年的一年（按360天计算）中约有多少天的空气质量为二级．
PM 2.5的日均值（微克/立方米）
作为样本，将监测
2 7 6
3 9 6 4 3 4 3 2 5 5 6 5 7 8 7 8 7 3 2 9 3 5 4
中恰有2个数据为
其中不超标数据的．
空气质量情况，则
135x2y220． 已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)经过点A（，），且两个焦点F1，F2的坐标依次为（1，0）和
2ab4（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设E，F是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，直线OE的斜率为k1，直线OF的斜率为k2，求当
k1?k2为何值时，直线EF与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．
21．（本小题满分12分）o
y·3·
F1 ．F2x已知函数f(x)?lnx?a2x?(a?1)x. 2（Ⅰ）若函数f(x)在区间（2，??）内单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2（0?x1?x2）是函数g(x)?f(x)?x的两个极值点，证明：g(x1)?g(x2)?立.
已知曲线C1的参数方程为?a?lna恒成2?x?3cos?（?为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴
y?sin??为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?cos(??)?2．
（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程及曲线C1上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值； （Ⅱ）若曲线C2与曲线C1相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求EA?EB的值． 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)?|x?3|?|x?2|．（Ⅰ）若不等式f(x)≥|m?1|恒成立，求实数m的最大值M； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数a，b，c满足a?2b?c?M，求证：
?411?≥1． a?bb?c·4·
2018年抚顺市高中毕业生模拟考试数学参考答案与评分标准 （理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
B C B D C C A B D D A B 二、填空题（每小题5分，共20分） 13、2； 14、三、解答题
17．解：（Ⅰ）由bsin2A?asin(A?C)?0得bsin2A?asinB?bsinA……3分 又0?A??，所以sinA?0，得2cosA?1，所以A?5?； 15、(x?2)2?(y?1)2?4； 16、4． 12?3 ……6分
（Ⅱ）由?ABC的面积为
?1?3333及A?得bcsin?，即bc?6 ……8分
3232222又a?3，从而由余弦定理得b?c?2bccosA?9，所以b?c?33 ……10分
所以
11b?c3 ……12分 ???bcbc218．（Ⅰ）证明：设F为PD的中点，连接EF，FA．
因为EF为?PDC的中位线，所以EF∥CD，且EF=
1CD?2． 2又AB∥CD，AB=2，所以AB∥EF，故四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF．
?又 AF?平面PAD，BE?平面PAD，所以BE∥平面PAD ……4分
（Ⅱ）解：设G为AB的中点，因为AD=AB，?BAD?60，所以?ABD为等边三角形，故DG⊥AB ；因为AB∥CD，所以DG⊥DC；又PD?平面ABCD，所以PD，DG，CD两两垂直 ……6分
0,0,2)以D为坐标原点，DG为x轴、DC为y轴、DP为z轴建立空间直角坐标系D?xyz，则P(E(0,2,1) ，DE?(0,2,1)，DB?(3,1,0)
，B(3,1,0)，
??n?DE?0设n?(x,y,z)为平面DBE的一个法向量，则? ，即
??n?DB?0令y?1，则n?(???2y?z?0， ?3x?y?0??3,1,?2)…… 9分 3n?PB6， ?|n|?|PB|4F 又PB?(3,1,?2) ，所以cos?n,PB??6即直线PB与平面BDE所成角的正弦值为……12分
4·5·
G
1C274?C1419．解：（Ⅰ）概率P?……3分 ?368C18（Ⅱ）由题意，?服从超几何分布：其中N?18,M?10,n?3，
03k3?kC?C7C?C108， ?的可能取值为0、1、2、3.由P(??k)?1038，得P(??0)??3102C18C181213C10?C235C10?C815C105……6分 8，，P(??1)??P(??2)??P(??3)??33310234C1834C18C18所以?的分布列为：
? P 0 71021 351022 15343 534 得期望E(?)?0?7?1?35?2?15?3?5?5或用公式E(?)?Mn?5……9分
10210234343N3（Ⅲ）由题意，一年中空气质量为二级的概率P?611?， ?360?120， 1833所以一年（按360天计算）中约有120天的空气质量为二级……12分
20．解：(Ⅰ)由椭圆定义得2a?(1?1)2?(35?0)2?(1?1)2?(35?0)2?4，
2424x2y2??1 ……4分 即a?2，又c?1，所以b?3，得椭圆C的标准方程为432(Ⅱ）设直线EF的方程为y?kx?b，E(x1,y1),F(x2,y2)，
直线EF的方程与椭圆方程联立，消去y得(3?4k2)x2?8kbx?4b2?12?0，
8kb4b2?12当判别式??3?4k?b?0时，得x1?x2??，x1x2? ……6分
3?4k23?4k222设k1?k2?m，因为点E,F在直线y?kx?b上，得(kx1?b)(kx2?b)?mx1x2， 整理得(k2?m)x1x2?bk(x1?x2)?b2?0，
4b2?128kb12k2?12m22?bk(?)?b?0，化简得b?即(k?m)……8分 223?4k3?4k3?4m2b212k2?12m原点O到直线EF的距离d?，d?， ?2221?k(3?4m)k?3?4m1?k2b由已知有d是定值，所以有
1?m?，解得m??1 ……10分
3?4m3?4m即当k1?k2??1时，直线EF与以原点为圆心的定圆相切，
·6·
此时d?121222，定圆的标准方程为x?y? ……12分
7721．（Ⅰ）解：f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)? 若满足题意，只要f?(x)?1?ax?(a?1)……1分 x1?ax?(a?1)≥0在(2,??)恒成立即可， xx?11即a(x?1)≥恒成立，又x?(2,??)，所以a≥……4分
x2a21ax2?ax?1（Ⅱ）证明：g(x)?f(x)?x?lnx?x?ax，则g(x)的定义域为(0,??)，g?(x)??ax?a?，
2xx若g(x)有两个极值点x1,x2?0?x1?x2?，
2则方程ax?ax?1?0的判别式??a?4a?0,且x1?x2?1,x1x2?21?0， a得a?4,又0?x1?x2,?x1?x1x2?所以g(x1)?g(x2)?lnx1?设h(t)?lnt?ln(at)?211,即0?x1?……7分 aaa2a2ax1?ax1?lnx2?x2?ax2?lnx1?ln(ax1)??ax1， 222a?at，其中t?x1?(0,1)，由h?(t)?2?a?0得t?2……9分 2taa又
221212?a)内单调递减，即h(t)的最大值为???0，所以h(t)在区间(0,)内单调递增，在区间(,aaaaaa2aah()?2ln2?lna??2??lna， a22a从而g?x1??g?x2???lna恒成立……12分
222．解：（Ⅰ）由?cos(???4)?2得?(22cos??sin?)?2， 22即曲线C2的直角坐标方程为x?y?2?0……2分 根据题意得|OP|?9cos2??sin2??8cos2??1，
因此曲线C1上的动点P到原点O的距离|OP|的最大值为|OP|max?3……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线x?y?2?0与x轴交点E的坐标为?2,0?，曲线C2的参数方程
??x?为:???y?2222t?2tx2?t为参数?，曲线C1的直角坐标方程为9?y2?1……7分
联立得5t?22t?5?0……8分
2·7·
又|EA|?|EB|?|t1|?|t2|， 所以|EA|?|EB|?|t1?t2|?(t1?t2)2?4t1t2?63……10分 523．解：（Ⅰ）若f(x)≥|m?1|恒成立，即f(x)min≥|m?1|……2分
由绝对值的三角不等式|x?3|?|x?2|≥|x?3?x?2|?5，得f?x?min?5 即|m?1|≤5，解得?6≤m≤4，所以M=4 ……5分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a?2b?c?4，得(a?b)?(b?c)?4……6分
11111??[(a?b)?(b?c)](?) a?bb?c4a?bb?c1b?ca?b1?(2??)≥(2?2)?1 4a?bb?c411?≥1 ……10分 即
a?bb?c所以有
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