柯西不等式的几种变形形式
(?aibi)?(?ai2i?1i?1nn2?bi)，当且仅当bi=?ai (1?i?n)时取等号
2i?1nn柯西不等式的几种变形形式
1.设ai?R,bi>0 (i=1,2,…,n)则
ai??bi?1in2(?ai)2i?1n，当且仅当bi=?ai (1?i?n)时取等号
i?bi?12.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则
ai??i?1bin(?ai)2n?abi?1i?1n，当且仅当b1=b2=…=bn时取
ii等号
nai2例1.已知a1,a2,a3,…,an，b1,b2,…,bn为正数，求证：(?aibi)(?)?(?ai)
i?1i?1bii?1nnnnai2ai2)?(?aibi?)?(?ai)2 证明：左边=?(aibi)?(bibii?1i?1i?1i?1n2n?a例2.对实数a1,a2,…,an,求证：
i?1nin??ai?1n2in
na证明：左边=?(1?i)?12?12???12ni?1n?(i?1nai2)?n?ai?12in
例3.在?ABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：
1112??)?36R 222sinAsinBsinCabc2??)?36R2 证明：左边?(sinAsinBsinC121212100例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：(a?)?(b?)?(c?)?
abc31222121212证明：左边=(1?1?1)[(a?)?(b?)?(c?)]
3abc1111211112 ?[1?(a?)?1?(b?)?1?(c?)]?[1?(??)] 3abc3abc(a2?b2?c2)(
- 1 -
=[1?(a?b?c)(?131a11211112?)]?[1?(a??b??c?)] bc3abc=(1?9)?132100 3例5.若n是不小于2的正整数，试证：证明：1?4111112 ?1????????72342n?12n211111111111???????(1?????)?2(????) 2342n?12n232n242n111????? n?1n?22n所以求证式等价于由柯西不等式有
41112 ??????7n?1n?22n2(111????)[(n?1)?(n?2)???2n]?n2 n?1n?22n111n22n???????于是：
n?1n?22n(n?1)?(n?2)???2n3n?1又由柯西不等式有
23?1n?4 7111111?????(12?22???12)[????] n?1n?22n(n?1)2(n?2)2(2n)2 ?xi?1ni?1，求证：?i?1nnxi1?xi??n?1i?11nxi 证明：不等式左端即 ?i?1nxi1?xi??i?1n11?xi??1?xi (1) i?1∵ ?i?1nn1n21?n?，取yi?1?xi，则 ?yi1?xii?1?yii?1n2?i?1n (2) 1?xi由柯西不等式有 ?i?1n1?xi?(?1)[?(1?xi)]?n(n?1) (3) i?1i?1n12n12 - 2 - 及 ?i?1nxi?n 综合(1)、(2)、(3)、(4)式得： ?nxinnn?n2?1?xi i?11?x?1ii?11?x??1?xi?ii?1?n1?x?i?1ii?1n2n?n(n?1)?n(n?1)?n1n?1?n?1?xi i?1- 3 - 三、排序不等式 设a1?a2?…?an,b1?b2?…?bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列，则有： a1bn+ a2bn?1+…+ anb1?a1br1+ a2br2+…+ anbrn? a1b1+ a2b2+…+ anbn 反序和?乱序和?同序和 例1.对a,b,c?R,比较a+b+c与ab+bc+ca的大小 解：取两组数a,b,c；a,b,c，则有a+b+c?ab+bc+ca 例2.正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1,a2,…an，则有 / / / 2 2 2 3 3 3 2 2 2 + 3 3 3 2 2 2 a1a1/?a2a2/???anan/?n 证明：取两组数a1,a2,…,an； 111,,?, a1a2an其反序和为 aa1a2????n?n，原不等式的左边为乱序和，有a1a2ana1a1/?a2a2/???anan/?n a12b12c12???a10?b10?c10 例3.已知a,b,c?R求证： bccaab+ 证明：不妨设a?b?c>0,则则 111121212 ??>0且a?b?c>0 bccaaba12b12c12a12b12c12a11b11c11a11b11c11????????????a10?b10?c10 bccaababbcabbcaabc例4.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证： a12n?1a1a2?????????n?1 23na2a3an证明：设b1,b2,…,bn?1是a1,a2,…,an?1的一个排列，且b1 c1,c2,…,cn?1是a2,a3,…,an的一个排列,且c1 则 111????且b1?1,b2?2,…,bn?1?n?1；c1?2,c2?3,…,cn?1?n c1c2cn?1利用排序不等式有： - 4 - aba1a2bb12n?1 ????n?1?1?2???n?1?????a2a3anc1c2cn?123na2?b2b2?c2c2?a2a3b3c3?????例5.设a,b,c?R,求证：a?b?c? 2c2a2bbccaab+ 证明：不妨设a?b?c,则由排序不等式有： 111??，a2?b2?c2>0 cbc1c2a2b2b2c2a22121212121a??b??c?????? a??b??c?? abcabcabcabc2a2?b2b2?c2c2?a2??两式相加得a?b?c? 2c2a2b又因为：a?b?c>0, 3 3 3 111???0 bccaaba3b3c3b3c3a3b2c2a2????????故 bccaabbccaabcaba3b3c3c3a3b3c2a2b2???????? bccaabbccaabbcaa2?b2b2?c2c2?a2a3b3c3?????两式相加得 2c2a2bbccaab1n1n1n例6.切比雪不等式：若a1?a2?…?an且b1?b2?…?bn,则?aibi?(?ai)?(?bi) ni?1ni?1ni?11n1n1na1?a2?…?an且b1?b2?…?bn,则?aibi?(?ai)?(?bi) ni?1ni?1ni?1证明：由排序不等式有： a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbn a1b1+a2b2+…+anbn? a1b2+a2b3+…+anb1 a1b1+a2b2+…+anbn? a1b3+a2b4+…+anb2 ………………………………………… a1b1+a2b2+…+anbn? a1bn+a2b1+…+anbn?1 将以上式子相加得： n(a1b1+a2b2+…+anbn)? a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn) - 5 - 1n1n1n∴?aibi?(?ai)?(?bi) ni?1ni?1ni?1 - 6 -