第五章 电磁波的辐射
1. 若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分,写出E和B的这两部分在真空中所满足的方程式,并证明电场的无旋部分对应于库仑场。
解: 首先将电磁场分成两部分:
????E?EL?ET(1)?????BL?BT(2)?B??? ?J?J?J(3)LT?其中角标L表示纵场角标T表示横场。所以有:
????E?0?????B?0????J?0??????E?0????B?0??????J?0LLLT?T(4)(5)(6)(7)(8)(9)
将 （1）（3） 代入电荷守恒定律有: ?????????J??0???(JL?J?)??0 （10）
?t?t由（9）得:
?????JL??0?
?t将（1）（2）（3）代入真空中的麦氏方程组得
???????(EL?E?)???0????(B?B)?????(EL??E)???L??t??????(B?B)?0?L?????E?E?????L???(B?B)??J??J???????L?0L0?00?t00?t?(11)(12)(13) (14)由(11) 及(7)式得:
????EL? ?0 (15)
由(13)及(8)式得:
?由（5）、（16）及横场定义（8）知BL?0
???BL?0 (16)
将(16)及(4)式代入(12)得
???B???E????t (17) 将(5)式代入(10)式得:
????????JL?(?0??EL)?0 ???(JL??0EL)?0 (18)
?t?t由（8）式及（4）式得
????????JL????0EL?0 ???(JL??0EL)?0 (19)
?t?t由（18）（19）式得
???EL?0JL??0?0?常矢 （20）
?t将（5）式及（20）式代入（14）式得
???????E?J??B??J????0L??0?0?tEL (21)
?tTT0?00?常矢应归入JT, 于是
????J???E?0 (22)
?t（此式也可由（18）及横场定义直接得到。）
????E??B??J????t (23)
0L00LTT0T00??以上（15）（16）（17）（22）式及（23）式为E和B的横场和纵场，所满足的方程式，由最后
?????E???? ????B???E?????t?说明E为由空间全部电荷所激发的场，所以为库仑
?场；而E是由全部磁场所激发的，为有旋场。
L0??L?2. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若P=0,J?0,则E和B可完全有矢势A决定。
?????若取??0，这时A满足哪两个方程？
解：在各项同性均匀介质中，?＝常数，?＝常数，达朗贝尔方程为：
???2?1?2A1??)???0J??A?22??(??A?2?c?tc?t????2?????A?????t?0?
(1)
(2)????若??0,J?0,则方程中只含有A和?，若A定，则?可由方程求出。在A和?全定后，
由
???AE?????
?t??B???A
可求出E和B。 若
?????0,J?0,??0
由（1）（2）可得
???21?A?A??0?22 c?t?????A?0??z?3. 证明沿Z轴方向传播的平面电磁波可用矢势A(??)表示，其中??t?，A垂直于
cZ轴方向.
解：平面电磁波在没有电荷电流分布的空间传播，因而势方程P187（1.9）变为波方程 ：
?2??21?A?A??0?22c?t??21?2?????22?0
c?t???1???0???A?2?tc?
其平面波解为
??i(k??z?A?A0e?wt)???e由
??i(k?x?wt)
?1????A?2?0
c?t得
c2???0?k?A0
???只要给定A0，则平面波完全可用矢势
??i(k??x?A?A0e?wt)
表示，
若平面波沿Z方向，则：
z???i??(t?)????i(k??z?A?A0e?wt)=A0e?c?
由
??ikz???ikzzz??A?0???(A0e)?(?e)?A0?ikzez?k?0
?A垂直于Z轴。
?4. 设真空中矢势A(x,t)可用复数傅立叶展开为 ?????A(x,t)＝?a(t)e?a(t)e，其中a(t)是a(t)的
k???ik?x*???ik?xkk?*kk?da(t)??（1）证明a(t)满足谐振子方程?kca(t)?0
dt??（2）当选取规范??A?0,??0时，证明k?a?0
????(3) 把E和B用a(t)和a(t)表示出来。
? 解：（1）由正交分解的特性，A可写为
??A(x,t)??a(t)e
2k22k复共轭。
2kk*kkik?xk???k若采用洛仑兹规范
??A??0
?1??即 ??A??0
c?t?则真空中A的齐次波动方程为：
??1?A?A??0
c?t22222所以
?（2）若??A?0，??0时
???(?a(t)e)?0
??ik?xk???kca?0 a22所以
??k?a?0
k(3) 电磁波在真空中传播，
??1??由??A??0? ?ike?a??0
c?tc?c?????k?Ae??k?ae
??????B???A?ik?A,
?????E?????A??ik??i?A
?t??ik?xk22??i(k?x?wt)2??ik?x0k
5. 设A?和?是满足洛仑兹规范的矢势和标势
（1） 引入一矢量函数E?(x,t)(赫兹矢量），若令????E?,证明
A???1?Ec2?t
（2）若令?????P?, 证明Z满足方程
?2Z??1?2E?2?c2?t??c?0P,
写出在真空中的推迟
（3）证明A?和B?可通过E?用下列公式表出
E????(??E?)?c2???1?0P, B?c2?t??E? 解：(1) 由洛仑兹规范：
??A??1??c2?t?0 .
由
????E?
代入得
? ??A??1?(??E)?1?E?c2?t?0???(A?c2?t)?0 所以
A??1?E?c2?t???Q? 由必须满足协变性，即规范不变性， 所以
??Q??0
由A?必须满足方程① 所以后面不能有??
只有
A??1?E?c2?t
①
（2）由达朗贝尔方程
?2???????A?? ② ?t?将
?????P? ?????E?
A??1?E?c2?t
代入得：
?2(???E?)??1?E???t??(c2?t)???P?
??(?2E?)???1?2E?P?c2?t2?????
???2??(?2E?)?1?E?2??c2?t2???c??0?P 所以
?2E??1?2E?c2?t2??c2???0P???E 由后面
E????(??E?)?c2??0P，
所以P?后面不能随意加常矢
两边不能随意加梯度场.所以只有
??Q??0
所以
?2E??1?2E?2?c2?t2??c?0P
由于此方程与
??2A??1?2A?c2?t2???0J
相似
可由书PP191\\203或做如下代换
③
????2A?E ?0??0c ，J?P
得解为
??rP(x,t?)2??0ccE?dv （v为场源） ?4?r(3)
由
????AE???????t????????E????1?E?A?2c?t??2???21?E2??E?22??c?0Pc?t?(1)(2)(3)(4)
将（2）（3）代入（1）得
??2????1?E1?E)??(??E)?22 （5）:E???(??E)?(2
?tc?tc?t将（4）代入（5）式得
???2?2E??(??E)??E?c?0P
由
???2?(??E)??(??E)??E
得：
???2 E???(??E)?c?0P （6）
由
???B???A????1?EA??c2?t?
得：
(7)(8)???1?E1?B???(2)?2??E
c?tc?t
6. 两个质量，电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不
会发生
解： 设两粒子运行得方向为轴方向，由题意有
q1??q2?q0
由
??p???xd?，
所以
??由书P197/3.15式得
则
由牛顿的三定律得
所以
同理
所以电偶极辐射为零. 由磁矩m?的定义有
又由
由题意
p?(q1z1?q2z2)ez?q0(z1?z2)ez
A?(x)??0eikR?4?RP??ikR
0e4?Rq0(z??z?)e?12z＝
?ikR0e4?Rq(vv?01?2)ez B????A??1??? 4??3eikRP??n0cR＝
14??3ReikRq0(v?1?v???2)ez?n
0cv?1?v?2 B=0
E??14??3eikR(P????n?)?n?0 0cR m??1?2?x??J??dv?
J???qv?，
m??1??2?z?z??1ez?q1v1ez2ez?q2v2ez??0
?k?0eikRA??(?n?m)?0
4?R所以磁偶极辐射为0.
7. 设有一球对称的电荷分布，以频率w沿径向作简谐振动，求辐射场，并对结果给以物理解释.
解：本题为球对称问题，所以用球坐标. 由题意：电荷分布为球对称性， 所以有：
???(r) ① 取微元，在某时刻（r?,??,??）处有 dg??(r?)dv???(r?)r?2sin???dr?d??d??
P??qixi
i2=?(r?)(r?sin??cos??ex?r?sin??sin??ey?r?cos??ez)rsin?dr?d??d??
???? ＝
3232??????????(r)rsin??sin??dr?d??d??ey +?(r)rsin?cos?drd?d?ex????3 ＋?(r?)r?sin??cos??dr?d??d??ez
?? 由
?2?2
?sin0??d???cos??d??0
02??
?sin02??d???sin??d??d???0
02?? 所以
?sin??cos??d??d???0
00? P?0
所以不会发生辐射
8. 一飞轮半径为R，并有电荷均匀分布在其边缘上，总电量为Q，设此飞轮以恒定角度?旋转，求辐射场。
解：使用柱坐标。由题意
QQ? ??， I?
2?R2?所以
??P???rdl ?????(Rcos?e?Rsin?e)Rd?Q?Q??? ＝?Rsin?ed?＝0 ?Rcos?ed?＋
2?2?所以没有电偶极辐射
?Q?????I? m??x??dl???Re?Re?d?
24?Q??Q?R? ＝R?2??e?e
4?2所以
????0， mlLLLxy220x0y20rzz所以没有磁偶极辐射。更高级辐射也为零，故飞轮没有辐射。
注：稳定的电荷和电流分布只能产生稳定的电场与磁场，不会发生辐射。
9用电荷守恒定律，验证A和?的推迟势满足洛伦兹条件
解：
?1????A?2c?t??rJ(x',t?)?2dV']?1?[1???[0?4?rc2?t4??0??rJ(x',t?)?02dV'?11?? ?4??rc24??0?(x',t?)???r r2dV']??r?(x',t?)?2dV' ??tr????rrJ(x',t?)?(x',t?)?2??2]dV' (c=1) ?0?[??4?r?tr?0?0??0?1??[J???]dV' ?4?r?tr??01???[?J??'?]dV' 4??r?tr??0J1????[??'()??'?J?]dV' 4??rr?tr?????0?01J?[??'()]dV'?[(?'?J?)]dV' ??4?r4?r?t第一项化为面积分，由于积分区域V’包括所有电流在内，没有电流通过区域的界面S，因
而这面积分为零。 第二项由于
????'?J??0
?t所以恒为0。 所以
?1????A??0
c?t?
10半径为R0的均匀永磁体，磁化强度为M0，球以恒定角速度?绕通过球心而垂直?
于M0的轴旋转，设R0???c，求辐射场和能流。
?
解：坐标原点取在球心，Z轴为小球的转动轴。因为M0以角速度?垂直于Z轴转动，因此，
它可以分解为x方向和y方向两个相位差为
???M0?M0(ex?iey)e?i?t
小球的总磁矩为
?的线振动： 23?4?R0M0???m??M0dV?(ex?iey)e?i?t
33?4??2R0M0?????m?(ex?iey)e?i?t
3于是我们得到这旋转磁化球的辐射场
??0eikR??????e)?e(m B?kk 24?cR ?3?0?2R0M03c2R??(cos?e??ie?)ei(kR??t??)
???E?cB?eR
?平均辐射能流为
26??0?4R0M0?2S?(1?cos?)eR 3218cR3?0?2R0M0?3cR?(ie??co?se?)ei(kR??t??)
11. 带电粒子e作半径为a的非相对论性圆周运动，回旋频率为?，求远处的辐射电磁场和辐射能流。 解：
???P?ea(cos?te?sin?te)
????（也可以写成复数形式：P?ea(e?ie)e）
xy?itxy所以
????P??ea(?sin?tex?cos?tey)? ?????ea[cos（?t?）ex?sin（?t?）ey)]=e?22???????2?P???ea(cos?tex?sin?tey)?e?
?B??1???eP?n4??cRikR3031?4??cR03????)en?(?PikRikR2
1???ee?[?ea(cos?te?sin?te)] ?4??cRrxy0利用
????e?sin?cos?e?cos?cos?e??sin?e? ????e?sin?sin?e?cos?sin?e??cos?e? ???e?cos?e?sin?e?
xryrzr??ea????B?ee?[cos?t(sin?cos?e?cos?cos?e??sin?e?)
4??cR2ikR3rr0????sin?t(sin?sin?e?cos?sin?e??cos?e?)]r??0?2eaikR????B?e[cos?t(cos?cos?e??sin?e?)?sin?t(cos?sin?e??cos?e?)]4?cR?0?2eaikR???e[e?cos?cos(???t)?e?sin(???t)]4?cR????0?2eaikR??E?cB?er?e[e?cos?cos(???t)?e?sin(???t)]4?R?1???0?4e2a2ikR?222S?E?B?e[cos?cos(???t)?sin(???t)]er22?016?cr??0?4e2a2?2S?[cos??1]er 2232?cr??12. 设有一电矩振幅为P0，频率为?的电偶极子距理想导体平面为a/2处, P0平行于导
体平面，设a???，求R???处电磁场和辐射能流。 解：
????0d2p1(t')?B1(r,t)??er 24?crdt'?0d2???i?t' ?[pe(?e)]?e0xr
4?crdt'2r)??0?2p0?i?(t?c??eex?er
4?cr?p2产生的辐射场为：
????0d2p2(t')?B2(r,t)??er2
4?crdt'2因
r??a
故
r2≌r1 ,er2?er1
于是得
????0d2p2(t')??er2 B2(r,t)?24?crdt'?0d2??i?t'?[pee]?e ?0xr 4?crdt'2?0?2p0?iwt1??reex?er ??4?crpt???r?r2c?t???12r'r?2r?r'2?() cr2 ?t?1r1(r?r'cos?)?t??acos?》 ccc???B?B1?B2
i?0?3p0aei(kr?wt)??cos?(sin?e?cos?cos?e ????) r4?c2???E?cB?er
i?0?3p0aei(kr?wt)??cos?(?cos?cos?e??sin?e?) ?4?cr?1??s?E?B
?0?0?6p02a2?2222 ?cos??(cos?cos??sin?)er 22216?cr
??i(kx?wt)13 设有线偏振平面波E?E0e照射到一个绝缘介质球上，引起介质球极化，极化
质量P是随时间变化的，因而产生辐射，设波长远大于球半径，球介质球所产生的辐射场和能流。
解： 由所给条件可解出外场E0使介质球产生的极距为：
???4??0(???0)s??iwtP?R0E0e
??2?0则由书P197得
2?4??(???)????iwt??300REe P?
00?＋2?0?B??E?能流为：
4??0(???0)?2s??iwtikR1?REeesin?e00?
??2?04??0c3R4??0(???0)?2s??iwtikR1?REeesin?e00? 3??2?04??0cR?1??s?E?B
?0