定积分的几何应用例题与习题
2直角坐标方程，并求曲线?、切线L与x轴所围图形的面积。1、曲线?的极坐标方程??1?cos?,(0????),求该曲线在???4所对应的点处的切线L的2、设直线y?ax与抛物线y?x2所围成的面积为S1,它们与直线x?1所围成的面积为S2,并且a?1(1)试确定a的值，使S1?S2达到最小，并求出最小值；（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。3、设xoy平面上有正方形D??(x,y)0?x?1,0?y?1?及直线L:x?y?t(t?0)x若S(t)表示正方形D位于直线l左下部分的面积,试求?S(t)dt(x?0)0
4、求由曲线y?e?xsinx(x?0)与x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积Vx
3????x?acost5、求由曲线?(a?0,?t?)与直线y=x 及y轴所围成的图形342??y?asint
绕x轴旋转所得立体的全表面积。(S=(112?)?a2)540ex?e?x6.曲线y?与直线x?0,x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形，该曲边梯2形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t),侧面积为S(t)，在x?t处的底面积为F(t)(1)求S(t)S(t)的值；(2)计算极限limt???F(t)V(t)S(t)S(t)?2,lim??1t???V(t)F(t)7、求由摆线x=a(t?sint),y=a(1?cost)的一拱(0?t?2?)与横轴所围成的平面图形的面积，及该平面图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。（1）A?3?a2,(2)Vx?5?2a3,(3)Vy?6?3a38、设平面图形A由x2?y2?2x及y?x所确定，求图形A绕直线x?2旋转一周所得旋转体的体积。V?
?22??239.设函数f(x),g(x)可微，且f'(x)?g(x),g'(x)?f(x),f(0)?0,g(x)?0.f(x)求：(1)F(x)?;(2)作出函数曲线y?F(x)的图形；(3)计算由曲线y?F(x)及直线g(x)x?0,x?b(b?0)和y?1围成的面积.2. 2xe?1 (2) 当x?0时，F''(x)?0,曲线上凸；当x?0时，F''(x)?0,曲线下凹，(1) F(x)?1?所以(0,0)为拐点，且y??1为其水平渐近线. (3)S??(1?F(x))dx??0bb0
2dx?2b?ln2?ln(2b?1).e2x?110.已知曲线y?ax,(a?0)与曲线y?lnx在点(x0,y0)处有公共切线，求（）常数1a及切点(x0,y0)；（2）两曲线与x轴围成的平面图形的面积；（3）两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx（）1a?1,切点（e2,1)ex2
(3)Vx?11(2)S?e2?62?211.对于指数曲线y?e(1)试在原点与x(x?0)之间找一点???x(0?x?1),使这点左右两边有阴影部分的面积相等，并写出?的表达式。（2）求lim????x?0x2x2
??xe?2e?2x(e?1)x2,x?0lim???1212、抛物线y?ax2?bx?c通过点(0,0)，且当0?x?1时，y?0,它和直线x?1及y?0所围的4图形的面积是，问这个图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为最小值时，a，b与c的9值应为多少?5a??,b?2,c?0313、过点P(1,0)作抛物线y?x?2的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形（如图），求此图形绕x轴旋转所成旋转体的体积。V?
?614.设曲线y?ax2(a?0,x?0)与y?1?x2交于点A，过坐标原点o和点A的直线与曲线y?ax2围成一平面图形，问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？a?4,V最大?15、设曲线方程为y?e?x(x?0)
(1)把曲线y?e?x，x轴，y轴和直线x??(??0)所围成平面图形绕x轴旋转一周，
得一旋转体，求此旋转体体积V(?)；并求满足V(a)?325?18751limV(?)的a ； ?2??? (2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求
出该面积.
（1）a?1ln2. 212?1?2e?2e?1 . 2
?1 （2）（1，e），最大面积 S?16.求由曲线y?lnx直线x?1,x?3及曲线上方任一直线围成面积的最小值（Amin?2?2ln2?3ln3)
17.过点（1，5）作曲线?：y?x3的切线L,(1)求L的方程；（2）求?与L所围平面图形D的面积；27264???y?3x?2;S?;V?x?47???18.求由x2?y2?2x与y?x所围区域绕x?2旋转一周所得旋转体的体积。??22???V?2?3???
（3）求图形D的x?0的部分绕x轴旋转一周所得立体的体积。19.求由曲线y?sin（x0?x??)和x轴所围成的平面图形绕直线x??旋转所生成的旋转体的体积。解：V=?2?(??x)sinxdx?2?20b120.已知a,b满足?xdx?,(a?0?b),求曲线y?x2?ax与直线y?bx所围区域的面积的a2 最大值与最小值
??22?21（此题用多元函数条件极值做，S最大??，?，S（?1，0）?））最小?22??36??