第2节 功
理解领悟 做功过程反映了能量的变化过程。就本章知识结构来说，“功”是为进一步得出“能”这个更为广泛、更为重要的概念服务的。因此，“功”是本章的重要内容。本节知识是初中学习的继续和提高。
本节课的重点是理解功的概念，掌握功的计算。难点是对正功和负功的理解。 基础级 1. 做功的两个不可缺少的因素
物理中的“功”不同于人类活动和生产劳动中的“做工”、“工作”和“劳动”等物理中的做功是特定的物理过程。理解功的概念，首先要知道做功的两个不可缺少的因素：力和物体在力的方向上发生的位移。只有两者同时不为0，力才对物体做了功。
例如，人提着水桶在水平路面上行走，人提水桶的力对水桶就不做功，因为提水桶的力沿竖直方向，而水桶在竖直方向上无位移。
再如，在光滑水平面上用绳子拉着物体绕固定端做匀速圆周运动，绳子的拉力对物体也不做功，因为绳子的拉力方向和物体的运动方向始终垂直，也就是说，在拉力方向上物体无位移。
2. 功的计算
F l 如图5—6所示，当力的方向与物体位移的方向一致时,功等于力的大小F与位移的大小l的乘积，即 图5－6
W=Fl。 F2 F 当力的方向与物体位移的方向成某一角度时，我们可以将力Fl α F1 沿位移l的方向和垂直于位移l的方向分解为两个分力F1、F2，如
图5－7 图5—7所示。其中，分力F2与位移l垂直，做功为0，因此力F对l1 物体所做的功等于分力F1对物体所做的功，即 F l W=F1l= (Fcosα) l=Flcosα。 α 我们也可以换一种思路：将位移l沿力F的方向和垂直于力F的方向分解为两个分位移l1、l2，如图5—8所示，同样可以得出力l2 F对物体所做的功为 W=Fl1=F (l cosα) =Flcosα。 图5－8
可见，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与
位移夹角的余弦的乘积。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。 3. 对功的公式的理解
对功的公式W=Flcosα，应从以下几方面加强理解：
① 公式中的F是恒力，即公式W=Flcosα并不是普遍适用的，它只适用于大小和方向均不变的恒力做功。例如，如图5—9所示，
图5—9 被压缩的弹簧将物体弹出的过程中，弹力所做的功就是变力做功，力
F的大小时刻在变化，这时W=Flcosα就不适用了。
② 公式中的l是指力的作用点的位移。如果研究对象是一个可当成质点的物体，则l亦即物体的位移（物体上各点的位移都和力的作用点的位移相同）。如果研究对象是一个物体系，力的作用点的位移与物体系各物体的位移不相同时，则必须用力的作用点的位移代入公式计算该力对物体系做的功。
③ 公式中的是α指力的方向和位移方向的夹角，即代表力和位移的两个矢量的箭头所指方向间的夹角，而不是问题中某一个以α命名的角。
④ 公式中F和l分别指“力的大小”和“位移的大小”，即公式中F和l恒取正值。
1
而W是可正可负的（当然也可能为0），从公式容易看出，W的正负完全取决于的cosα正负，也就是α的大小。
⑤ 对公式W=Flcosα，可以理解为功W等于力在位移方向上的分量Fcosα与位移l的乘积，也可以理解为功W等于力F和位移在力的方向上的分量lcosα的乘积。
⑥ 由公式可以看出，某个力对物体所做的功只跟这个力、力的作用点的位移以及力与位移间的夹角有关，而跟物体是否还受到其他力的作用无关，跟物体的运动状态也无关。同时应注意F与l必须具备同时性，即l必须是力F作用过程中物体的位移。如果力消失后物体继续运动，力所做的功就只跟力作用的那段位移有关，跟其余的位移无关。 4. 关于正功与负功
功是标量，只有大小，没有方向，但功有正负。若力和位移的夹角为α，当0°≤α＜90°时，W＞0，即力对物体做正功；当α=90°时，W=0，即力对物体不做功；当90°＜α≤180°时，W＜0，即力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功（正功）。
功的正值与负值不是代表不同的方向，也不表示功的大小，而是表示所做功的性质，反映力对物体产生位移所起的作用，反映不同的做功效果。在物体发生位移的过程中，各个力的作用不同。对这个物体发生位移起推动作用的力（即动力）做正功；反之，在对物体产生位移起阻碍作用的力（即阻力）做负功，也就是这个物体克服阻力做功。我们不能说“正功与负功方向相反”，也不能说“正功大于负功”。 5. 功为什么不是矢量？
功有正负，而为什么功不是矢量、没有方向呢？让我们来看一个例子： 如图5—10所示，在光滑水平面上，物体受两个沿水平方向、互相垂直的大小分别为F1=3N和F2=4N的恒力，从静止开始运动l=10m。求每个力做的功和合力做的总功。
解：合力F合?F12?F22?32?42N=5N，
F1 53° 37° 合力方向即合位移方向容易求得与F1、F2的夹角分别为53°和37°。
所以W1=F1lcosα1=3×10×cos53°=18J， W2=F2lcosα2=4×10×cos37°=32J，
F合F2 图5—10
l W合?F合l?5?10J=50J= W1+ W2≠W12?W22。
可见，功的合成不符合平行四边形定则，所以，功不是矢量。 6. 几个力的总功的计算
计算几个力的总功，通常有以下两种不同的处理方法：
① 几个力的总功等于各个力所做功的代数和。若以W1、W2、W3、……Wn分别表示力F1、F2、F3、……Fn所做的功（含正功与负功），则这些力所做的总功为
W总=W1+W2+W3+……+Wn。
② 几个力的总功等于这几个力的合力的功。若以W合表示合力的功，则这些力所做的总功为 W总=W合
需要指出的是，方法②仅适用于几个力同时作用于物体的情况，因为只有当这几个力同时作用于物体上时，才能求出它们的合力；方法①则不管几个力同时作用，还是作用时间有先后，均是适用的。
不难证明，当几个力同时作用于物体时，上述两种计算总功的方法是等效的。设物体由静止开始在力F1、F2、F3、……Fn作用下发生了位移l，则物体位移的方向与这些力的合力的方向是一致的。以α1、α2、α3、……αn分别表示各个力与合力间的夹角（亦即与位移间的夹角）则有 W1= F1lcosα1，W2= F2lcosα2，W3= F3lcosα3，……Wn= Fnlcosαn， 从而， W1+W2+W3+……+Wn= F1lcosα1+ F2lcosα2+ F3lcosα3+……+ Fnlcosαn
2
=l (F1cosα1+ F2cosα2+ F3cosα3+……+ Fncosαn) =lF合=W合。 7. 对教材中“例题”的说明
本例题求总功采用的是上述方法①，我们也可以采用方法②来求总功：
W=F合l=(Fx－F阻)l=(Fcos37°－F阻)l=(500×0.8－100)×5N=1 500J。
发展级 8. 关于功的相对性
我们知道，同一个客观的运动，相对于不同的参考系，位移是不同的，因此对不同的参考系，同一过程中算出的功也会不同，也就是说，功具有相对性。为了避免这种“不确定性”，一般在中学物理中我们约定：计算功都以地面为参考系，而不随便取其他物体为参考系。 9. 如何计算变力的功？
公式W=Flcosα只适用于大小和方向均不变的恒力做功。那么，在某些问题中力的大小或方向发生变化，或者大小和方向同时发生变化，此时如何来求变力所做的功呢？计算变力的功常见的有以下几种方法：
① 转换研究对象求解 在有些问题中，我们可以通过转换研究对象的方法，将变力所做的功转化为恒力做功问题处理。请参阅本节“应用链接”例5。
② 运用累积思想求解 例如，一个物体在变力作用下做曲线运动，我们可以将曲线分成很多小段，每小段都足够小，可以认为是直线，且力的变化很小，可以认为是恒定的。这样，对每小段来说，就可以用W=Flcosα计算功，所以求变力做功的方法是：把物体通过各个小段所做的功累加在一起，就等于变力在整个过程中所做的功。请参阅本节“应用链接”例6。
③ 应用动能定理求解 这种求变力的功的方法我们将在本章第七节中再作介绍。 10. 关于作用力与反作用力做的功
有时会遇到讨论作用力做的功和反作用力做的功的大小问题。作用力与反作用力总是大小相等、方向相反，并且作用在不同的物体上。比较作用力与反作用力的功的数值，关键是看两个物体的位移情况如何，而物体的位移情况由具体的相互作用情景而定。当相互作用的两个物体的位移大小相等时，作用力与反作用力做功的绝对值相等；当相互作用的两个物体的位移大小不等时，作用力与反作用力做功的绝对值亦不等。作用力与反作用力可以同时做正功，也可以同时做负功，还可以一个做正功而另一个做负功，或者一个做功而另一个不做功。你能就以上各种情况分别举出实例加以说明吗？ 11. 关于摩擦力做的功
摩擦力做功有以下特点：
① 静摩擦力和滑动摩擦力都可以对物体做正功，也可以做负功，还可以不做功。 例如：汽车载着集装箱加速前进，集装箱与汽车间无相对滑动，则汽车施于集装箱的静摩擦力对集装箱作正功，集装箱施于汽车的静摩擦力对汽车做负功；物体在水平转台上随转台一起匀速转动，物体与转台间无相对滑动，则转台施于物体的静摩擦力对物体就不做功。
又如，将工件放到运转中的传送带上，传送带施于工件的滑动摩擦力将对工件做正功，而工件施于传送带的滑动摩擦力将对传送带做负功；物体在粗糙地面上滑动，物体施于地面的滑动摩擦力对地面就不做功。
② 一对静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能。一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两种情况同时发生：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能。
③ 相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做的功的总和等于0；一对滑动摩擦力所做的功的总和总是负值，其绝对值恰好等于滑动摩擦力与相等位移的乘积，即恰等于系统损失的机械能。
3
应用链接 本节知识的应用主要涉及对功和正功、负功概念的理解，以及功的计算。 基础级 例1 如图5—11所示，小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力（ ）
图5－11
A. 垂直于接触面，做功为0 B. 垂直于接触面，做功不为0 C. 不垂直于接触面，做功为0 D. 不垂直于接触面，做功不为0
提示 通常情况下，斜面对物体既有支持力，又有摩擦力，由于本题的斜面光滑，所以斜面对物体只有支持力的作用。讨论斜面对小物块的支持力是否做功，关键是看小物块是否在此力的方向上发生了位移。
F 解析 小物块在下滑过程中受到斜面的支持力，由于支持力属于弹
力，其方向总是垂直于接触面指向3被支持的物体，所以此时斜面对
l 小物块的作用力应垂直于接触面。如图5—12所示，小物块下滑过程中斜面向右运动，小物块相对地面的位移与斜面不平行，所以小物块
图5－12
所受支持力与物块位移方向不垂直，支持力做功不为0。正确选项为B。
点悟 斜面静止时，小物块的位移方向平行于斜面，支持力与位移方向垂直，故支持力不做功。本题指明“斜面位于光滑的水平地面上”，所以小物块下滑时实际参与了两种运动，一是相对于斜面的滑动，二是跟随斜面向右的运动，使得支持力与小物块的对地位移不垂直。斜面向右运动的这一因素并不影响支持力的方向，但影响支持力是否做功。要学会具体问题具体分析，不能套用斜面静止这一特殊情景中的结论。
例2 质量m=3kg的物体，受到与斜面平行向下的拉力F=10N，沿固定斜面下滑距离
l=2m。斜面倾角θ=30°，物体与斜面间的动摩擦因数μ=2
3。求各力对物体所做的功，3以及力对物体所做的总功。（g取10m/s）
提示 物体所受的各个力均为恒力，可用功的公式进行计算。
解析 如图5—13所示，物体受到重力、拉力、斜面的支持力和摩擦力的作用，做单向直线运动，其位移的大小与移动的距离相等。所以，重力所做的功为
FN Ff WG=mglcosα=mglcos(90°－θ) F =3×10×2×cos60°J=30J, l mg 拉力所做的功 WF=Fl=10×2J=20J。
支持力与物体运动方向垂直，它所做的功 图5－13
WN=0。
滑动摩擦力的方向与位移方向相反，做功为
Wf??(?mgcos?)l??33J=－30J。 ?3?10?2?32总功 W= WG +WF+WN+Wf=30J+20J+(－30)J=20J。
点悟 本题在计算重力做功时，要画图分析出重力与位移的夹角α，然后根据功的公式计算；也可把重力进行分解，则重力沿斜面方向的分力mgsin30°，可得重力的功为mglsin30°。计算摩擦力的功时，对正负号的处理容易出错，要引起注意。计算总功时，也可用合力来求。
4
例3 如图5—14，作用于绳端的拉力F恒定不变，方向与水平F 方绳的夹角为θ，绳子跨过装在物块前端的定滑轮，拉动物块在水
θ 平地面上运动。在物块移动距离s的过程中，拉力F做的功是多少？
提示 恒力的功可用公式W=Flcosα求解，注意公式中的l是图5－14 力的作用点对地的位移。
解析 如图5—15所示，当物块沿水平方向移动距离s时，水平绳缩短了s，斜绳加长了s。根据几何关系，拉力F与力的作用点的位移l的夹角为?? l?2scos所以，拉力F做的功为
?2，位移的大小为
?2。
W?Flcos??F?2scos?2?cos??2Fscos2()?Fs(1?cos?)。 22?点悟 本题利用功的公式直接计算拉力F的功时，要注意公式中的l是力的作用点的位
移，而不是物体的位移，关键是根据几何知识找到力的作用点的位F 移l，以及F与l的夹角α。本题也可采用等效法计算，即把拉力
θ s F 做的功等效于两段绳子对物体做的功，这时公式中的位移应是物体的位移。如图5—16所示，有 图5－16 W=W1+W2=Fs+Fscosθ=Fs(1+cosθ)。
显然，本题用等效法求解要简单得多。
B 例4 如图5—17所示的水平传送装置，AB间距为l，传送带A v 以v匀速运转。把一质量为m的零件无初速地放在传送带的A处，已知零件与传送带之间的动摩擦因数为μ，试求从A到B的过程中，图5—17 摩擦力对零件所做的功。
提示 要求摩擦力对零件做的功，关键是要弄清零件在摩擦力方向上的位移是多少。由于题中没有给出各物理量之间的定量关系，故存在两种可能。
解析 当零件与传送带之间存在摩擦力时，摩擦力的大小为
F=μmg。
分两种情况进行讨论：
（1）零件在到达B处时的速度小于或刚好等于传送带的速度v，零件在从A到B的过程中一直受摩擦力作用，则摩擦力对零件所做的功
W=Fl=μmgl。
（2）零件在到达B处之前已经达到传送带的速度v，零件只是在达到速度v之前的一段时间内受摩擦力作用，此后零件与传送带以相同的速度v运动，零件就不受摩擦力作用，既无滑动摩擦力存在，也无静摩擦力存在，则摩擦力对零件所做的功
v212W’= Fl’=μmg=mv。
2?g2 点悟 本题将两种运动情况隐含在一起，如果不进行细致的运动过程分析，就有可能漏掉一种解。物体在运动过程中，不一定始终受某个力的作用，在计算该力所做的功时，要注意力和位移的同时性。 发展级 例5 如图5—18所示，人拉着细绳的一端由A走到B，使质量为m的物体匀速上升。已知A、B两点间的水平距离为s，细线与水平方
A
s B 5 图5－18
向的夹角已在图中标出，不计滑轮的摩擦，求人的拉力所做的功。
提示 人的拉力应沿细线拉伸的方向，在题给过程中是个变力，无法直接用功的公式求此变力的功，需设法转换研究对象，转换为恒力的功计算。
解析 人的拉力的功等于细绳对物体拉力的功。在物体匀速上
F 升的过程中，细线对物体的拉力
FT=mg， l 物体上升的高度 h=(2cos30?1)s?(3?1)s， 从而细线对物体拉力的功 WT?FTh?(3?1)mgs。 所以，人的拉力所做的功为(3?1)mgs。
点悟 本题为变力做功的例子，我们通过转换研究对象的方法，将其转化为了恒力做功问题处理。
例6 用水平拉力拉着滑块沿半径为r的水平圆轨道匀速运动一周，已知滑块的质量为m，滑块与轨道间的动摩擦因数为μ。求此过程中拉力所做的功。
提示 在滑块沿水平圆轨道匀速运动的过程中，拉力的大小不变，但方向时刻改变，拉力的功是变力做功，可运用累积思想求解。
提示 滑块沿水平圆轨道匀速运动，故拉力的大小
F=Ff =μmg。
把圆轨道分成l1、l2、l3、……ln很多个小段，每一段小到可以看成直线段，从而拉力在每一小段上的方向可认为不变，则拉力在每一小段上所做的功分别为
W1=－μmg l1，W2=－μmg l2，W3=－μmg l3，……Wn=－μmg ln。
所以，在滑块沿水平圆轨道匀速运动一周的过程中，拉力所做的功为
W= W1+ W2+ W3+……+ Wn=－μmg (l1+ l2+ l3+……+ ln) =－μmg·(2πr) =－2πμmgr。
点悟 微元累积思想是处理变力做功问题的有效方法。另外，当力的大小不变而方向总是与运动方向相同或相反时，可把公式W=Flcosα做变通处理：两者同向时，W=Fl；两者反向时，W=－Fl，式中的l则是物体运动的路程。
课本习题解读 [p.6问题与练习]
1. 三种情况下力对物体做的功分别为：
图甲，W甲=Flcosα1=Flcos(180°－θ)=Flcos (180°－150°)=10×2×17.32J；
0F α θ s s θ 图5－15
3J≈2图乙，W乙=Flcosα2=Flcos(180°－θ)=Flcos (180°－30°)=－10×2×17.32J；
3J≈－2 6
向的夹角已在图中标出，不计滑轮的摩擦，求人的拉力所做的功。
提示 人的拉力应沿细线拉伸的方向，在题给过程中是个变力，无法直接用功的公式求此变力的功，需设法转换研究对象，转换为恒力的功计算。
解析 人的拉力的功等于细绳对物体拉力的功。在物体匀速上
F 升的过程中，细线对物体的拉力
FT=mg， l 物体上升的高度 h=(2cos30?1)s?(3?1)s， 从而细线对物体拉力的功 WT?FTh?(3?1)mgs。 所以，人的拉力所做的功为(3?1)mgs。
点悟 本题为变力做功的例子，我们通过转换研究对象的方法，将其转化为了恒力做功问题处理。
例6 用水平拉力拉着滑块沿半径为r的水平圆轨道匀速运动一周，已知滑块的质量为m，滑块与轨道间的动摩擦因数为μ。求此过程中拉力所做的功。
提示 在滑块沿水平圆轨道匀速运动的过程中，拉力的大小不变，但方向时刻改变，拉力的功是变力做功，可运用累积思想求解。
提示 滑块沿水平圆轨道匀速运动，故拉力的大小
F=Ff =μmg。
把圆轨道分成l1、l2、l3、……ln很多个小段，每一段小到可以看成直线段，从而拉力在每一小段上的方向可认为不变，则拉力在每一小段上所做的功分别为
W1=－μmg l1，W2=－μmg l2，W3=－μmg l3，……Wn=－μmg ln。
所以，在滑块沿水平圆轨道匀速运动一周的过程中，拉力所做的功为
W= W1+ W2+ W3+……+ Wn=－μmg (l1+ l2+ l3+……+ ln) =－μmg·(2πr) =－2πμmgr。
点悟 微元累积思想是处理变力做功问题的有效方法。另外，当力的大小不变而方向总是与运动方向相同或相反时，可把公式W=Flcosα做变通处理：两者同向时，W=Fl；两者反向时，W=－Fl，式中的l则是物体运动的路程。
课本习题解读 [p.6问题与练习]
1. 三种情况下力对物体做的功分别为：
图甲，W甲=Flcosα1=Flcos(180°－θ)=Flcos (180°－150°)=10×2×17.32J；
0F α θ s s θ 图5－15
3J≈2图乙，W乙=Flcosα2=Flcos(180°－θ)=Flcos (180°－30°)=－10×2×17.32J；
3J≈－2 6