辽宁省实验中学2017—2018学年度上学期期中阶段测试
高一数学试卷
考试时间：120分钟 试题满分：150分 命题人：郭秀玲 马祥 校对人：郭秀玲 马祥
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每题四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1、设集合U?{x?N|x?4},A?{1,2},B?{2,3}，则(CUA)(CUB)=( )
(A){0,4} (B){4} (C) {1,2,3} (D)? 2、下列函数中，既是偶函数，又在(??,0)上为减函数的是( ) (A)y?2x(B)y?3、已知函数y?x (C)y??x2(D)y?lg|x|
2，当自变量x?[0,1]时，因变量y的取值范围为( ) x2?1 (A)[1,2] (B)[0,1] (C)[2,3] (D)[0,2] 4、已知函数f(x)?x?3，则函数f(x?1)的定义域为( ) x (A)xx??4,x??1 (B)xx??2,x?1(C)xx??2,x?0 (D)xx??4,x?1 5、函数f(x)?ax?1?xa?1(a?0且a?1)的图象恒经过定点( ) (A)(1,1) (B)(1,2) (C)(1,3) (D)(0,2) 6、用二分法求方程ln(x?1)?????????2的近似解时，可以取的一个区间是( ) x (A)(1,2) (B)(2,e) (C)(3,4) (D)(0,1) 7、函数f(x)?log2(x?x2)的单调减区间为( )
3 (A) (??,) (B) (,1) (C) (,??) (D) (0,)
8、设集合A?(x,y)x?R,y?0，B?R，点(x,y)在映射f:A?B的作用下的象是可能是( ) 2x?y，则对于B中的数5，与之对应的A中的元素不．．．
(A)(1,3) (B)(log23,2) (C)(0,5) (D)(2,1)
12121212??
?x1?x29、在平面直角坐标下，函数f(x)?的图象( )
x?2?x?2 (A) 关于x轴对称 (B) 关于y轴对称 (C) 关于原点对称 (D) 关于直线y?x轴对称 10、已知a?ln3，b?log52，c?3?12，则( )
(A)a?b?c (B)b?c?a (C)c?b?a (D)c?a?b
11、设集合A?m?R幂函数f(x)?(m2?3m?3)xm真子集的个数为( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 无数
12、已知函数f(x)?(m?2)x2?(n?8)x?1(m,n?R)在区间[,2]上单调递增，则下列结论成立的是( )
(A)lg(m?n)?1 (B)lg(m?n)?2 (C)lg(4m?n)?2lg4 (D)lg(4m?n)?4lg2
?2?m?2的图象不过原点?，则集合A的
12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
??813、集合?y?Ny?,x?N,x?1?用列举法可表示为________________
x?1??14、已知函数f(x)?a?b的图象经过点(1,3)，其反函数fx?1(x)的图象经过点(2,0)，则
f?1(x)?_____________
?x15、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?3，则
f(?2?log35)?___________
16、关于x的方程2值为__________
x?1?22?x?a（其中a?22）的两根分别为x1,x2，则log3(x1?x2)的
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、(本小题满分10分) 已知集合A?x2?a?x?2?a，B?x(x?1)(x?4)?0，全集U?R.
???? (1) 当a?3时，求A?B，A??CUB?； (2) 若A?B??，求实数a的取值范围。
18、(本小题满分12分) 已知A,B,C是函数f(x)?ex图象上的三点，它们的横坐标依次为
t,t?2,t?4，其中e?2.71828为自然对数的底数。
(1) 求?ABC面积S关于t的函数关系式S?g(t)；
(2) 用单调性的定义证明函数y?g(t)?g(?t)在[0,??)上是增函数。
19、(本小题满分12分) 在我们学习过的函数中有很多函数具有美好的性质，例如奇函数
f(x)满足：在其定义域D内，对任意的x?D，总有f(x)?f(?x)?0. 现给出如下10
个函数：
⑴f(x)?1； ⑵f(x)?2x； ⑶f(x)?x； ⑷f(x)?3?x；
232x?11⑸f(x)?lgx； ⑹f(x)?x； ⑺y?x?； ⑻y?lg(x2?1?x)；
2?1x2⑼f(x)?x?[x]，[x]表示不超过x的最大整数； ⑽D(x)???0,x为有理数；
1,x为无理数?则上述函数中，对其定义域中的任意实数x,y，满足如下关系式的序号为（在横线上填上相应函数的序号，无须证明）：
(I)f(x)?f(?x)：___________ (II)f(x)?f(?x)?0：___________ (III)f(x?y)?f(x)?f(y)：__________ (IV)f(x?y)?f(x)f(y)：__________ (V)f(xy)?f(x)?f(y)：____________ (VI)f(x?1)?f(x)：_______________
20、(本小题满分12分) 已知定义在R上的函数f(x)与g(x)，满足如下两个条件：
①f(x)为奇函数，g(x)为偶函数； ②f(x)?g(x)?x(x?1). (1) 求f(x)与g(x)的解析式；
?f(x),x?0 (2) 设函数h(x)??，若实数x满足不等式h(x2)?h(3?2x)，求实数x的取值
?g(x),x?0范围。
21、(本小题满分12分) 已知函数f(x)?ln都有f(x)?f()?lnx.
(1) 求实数a,b的值，并指出函数f(x)的定义域；
(2) 若关于x的方程 f(x)?ln(x?m) 无实数解，求实数m的取值范围。
22、(本小题满分12分) 已知a?R，函数f(x)?(2x?a)2?(2?x?a)2，x?[?1,1]. (1) 求f(x)的最大值；
(2) 若关于x的方程f(x)?2a2有实数解，求实数a的取值范围。
2x满足：f(1)?0，且对任意正实数x，ax?b1x
辽宁省实验中学2017—2018学年度上学期期中阶段测试
高一数学试卷 参考答案
一、选择题： 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 A 7 D 8 C 9 C 10 B 11 C 12 D 二、填空题：
13、?1,2,4,8? 14、log2(x?1),x?1 15、?三、解答题：
17、解：首先B?(??,1]?[4,??)，CUB?(1,4).
(1) 当a?3时，A?[?1,5]，于是A?B?[?1,1]?[4,5]，
516、1 9A??CUB??[?1,5].........................................5分
(2) ①当2?a?2?a即a?0时，A??，符合A?B??； ②2?a?2?a，即a?0时，要使得A?B??，应有
?2?a?1?a?1， ?2?a?4?又a?0，所以0?a?1.
综上，若A?B??，a的取值范围为a?1. .......................................................10分
18、解：(1) 由题意，可知
111S?g(t)??4(et?et?4)??2(et?et?2)??2(et?2?et?4)
222?(e2?1)2et.......................................................5分
(2) 由(1)，知y?g(t)?g(?t)?(e?1)(e?e).
考虑函数h(t)?e?e，任取t1,t2?[0,??)，且?t?t2?t1?0，则
t?t22t?t?h(t)?h(t2)?h(t1)?et2?e?t2?et1?e?t1?(et2?et1)(1?因为t2?t1?0，所以et2?et1，et1?t2)
et1?t21tt?1，从而e2?e1?0,1?t?t?0，因此?h(t)?0.
e12
1
故h(t)在[0,??)上是增函数，注意到(e2?1)2?0，所以y?g(t)?g(?t)在[0,??)上是增函数。.......................................................12分
19、解：(I)f(x)?f(?x)：⑴⑶⑸⑽ (II)f(x)?f(?x)?0：⑵⑹⑺⑻ (III)f(x?y)?f(x)?f(y)：⑵ (IV)f(x?y)?f(x)f(y)：⑴⑷ (V)f(xy)?f(x)?f(y)：⑸ (VI)f(x?1)?f(x)：⑴⑼⑽
每个2分，错答不得分，漏答扣1分。
20、解：(1) 在f(x)?g(x)?x(x?1)(*) 中，用?x代替x得：f(?x)?g(?x)?x2?x
因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以上式可化为
?f(x)?g(x)?x2?x(**)
将(*)式和(**)式相减得：f(x)?x；相加得g(x)?x2.......................................................4分 (2) 由(1)的结果，知h(x)??①当3?2x?0即x??x,x?02?x,x?02，因为x?0，所以h(x2)?x2.
3时，h(3?2x)?3?2x，此时不等式h(x2)?h(3?2x)即 2x2?3?2x?x??3或x?1
33，所以x??3或1?x?； 223②当3?2x?0即x?时，h(3?2x)?(3?2x)2，此时不等式h(x2)?h(3?2x)即
2又x?x2?(3?2x)2?1?x?3
又x?33，所以?x?3. 22综上，实数x的取值范围为(??,?3)?(1,3). .....................................................12分
21、解：(1) 因为f(x)?f()?ln即
1x2x2?ln?lnx对任意正实数x都成立， ax?ba?bx2xa?bx??x对任意正实数x都成立，化简得 ax?b2(a?b)x?a?b对任意正实数x都成立，所以a?b.
又由f(1)?0，可求得a?b?1.
于是，f(x)?ln2x，定义域为(??,?1)(0,??). .......................................6分 x?1 (2) 关于x的方程f(x)?ln(x?m)无实数解，由(1)知，即 关于x的方程x2?(m?1)x?m?0在(??,?1)(0,??)上无实数解。
记g(x)?x2?(m?1)x?m，则上述问题转化为：
????0???0或?g(?1)?0,g(0)?0
?m?1??1???0?2解得实数m的取值范围为(3?22,3?22). ...............................................12分
22、解：(1) f(x)?22x?2?2x?2a(2x?2?x)?2a2?(2x?2?x)2?2a(2x?2?x)?2a2?2
33x?x令t?2?2，2x?2?x在[?1,1]上单调递增，所以t?[?,]，于是
2233f(x)?g(t)?t2?2at?2a2?2?(t?a)2?a2?2，t?[?,]
22317①当a?0时，f(x)max?g(?)?2a2?3a?；
24317②当a?0时，f(x)max?g()?2a2?3a?. ...............................6分
24 (2) 关于x的方程f(x)?2a2有解，即关于t的方程
t2?2at?2?0
33在[?,]上有解. 显然t?0不是上述方程的解，于是转化为关于t的方程
2233t2?2at?2?0在[?,0)?(0,]上有解。
22
由t2?2at?2?0?2a?t?上的值域。
注意到可证明h(t)?t?2233，可知2a的取值范围即为函数h(t)?t?在[?,0)?(0,]tt2223在(0,2]上递减，在[2,]上递增，且h(t)为奇函数。从而t233可得到当t?[?,0)?(0,]时，h(t)?(??,?22]?[22,??).
22所以2a?(??,?22]?[22,??)，故a的取值范围为(??,?2]?[2,??).
.......................................................12分
注：第(2)问中，二次函数解法正常给分。本解法不证明函数h(t)?t?2的单调性也给分。 t