总磁矩为：
方向与z轴方向相反，即 与 反向，写成矢量式为：
13.8 一根同轴线由半径为 的长导线和套在它外面的内半径为 、外半径为 的同轴导体圆筒组成．中间充满磁导率为 的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图．传导电流I沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的．求同轴线内外的磁场强度 和磁感应强度 的分布．
解：由安培环路定理 ，可求得 区域： ， ， 区域： ， ， 区域： ， ， 区域：
三、小论文写作练习
1、物质抗磁性的起因。2、铁磁质的特性及其应用。
习题十四 一、选择题
14.1半径为a的圆线圈置于磁感强度为 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，线圈电阻为R；当把线圈转动使其法向与 的夹角 时，线圈中通过的电荷与线圈面积及转动所用的时间的关系是
(A) 与线圈面积成正比，与时间无关．
(B) 与线圈面积成正比，与时间成正比． (C) 与线圈面积成反比，与时间成正比．
(D) 与线圈面积成反比，与时间无关． ［A］
14.2 如题图14.1，长度为l的直导线ab在均匀磁场 中以速度 移动，直导线ab中的电动势为
(A) Blv． (B) ． (C) ． (D) 0． ［D］
14.3 如题图14.2所示，在均匀磁场中，导体棒AB饶通过O点并且垂直于棒的轴线MN转动，MN与磁感应强度 平行，角速度 与 反向，BO的长度为棒长的三分之一。则： A)、A点比B点的电势高； B)、A点比B点的电势低；
C)、A点与B点的电势相等；
D)、有稳恒电流从A点流向B点. [B]
14.4 圆铜盘水平放置在均匀磁场中， 的方向垂直盘面向上．当铜盘绕通过中心垂直于盘面的轴沿题图14.3所示方向转动时：
(A) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的相反方向流动．
(B) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的方向流动． (C) 铜盘上产生涡流．
(D) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘边缘处电势最高．
(E) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘中心处电势最高． ［D］
14.5一矩形线框长为a宽为b，置于均匀磁场中，线框绕OO′轴，以匀角速度?旋转(如题图14.4所示)．设t =0时，线框平面处于纸面内，则任一时刻感应电动势的大小为 (A) 2abB | cos? t |． (B) ? abB (C)? ．
(D) ? abB | cos? t |． (E) ? abB | sin? t |． ［D］
14.6 如题图15.5所示，在半径为R的无限长螺线管内部，磁场的方向垂直纸面向里，设磁场按一定的速率在减小。则P点处涡旋电场的方向为：
(A) 垂直纸面向内； (B)顺时针； (C)逆时针； (D)沿径向向外 [ B ]
14.7 自感为 0.25 H的线圈中，当电流在(1/16) s内由2 A均匀减小到零时，线圈中自感电动势的大小为：
(A) 7.8 ×10-3 V． (B) 3.1 ×10-2 V． (C) 8.0 V． (D) 12.0 V． ［C］
14.8 两个相距不太远的平面圆线圈，怎样可使其互感系数近似为零？设其中一线圈的轴线恰通过另一线圈的圆心．
(A) 两线圈的轴线互相平行放置． (B) 两线圈并联．
(C) 两线圈的轴线互相垂直放置． (D) 两线圈串联． ［C］
14.9 面积为S和2 S的两圆线圈1、2，如题图14.6放置，通有相同的电流 。线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通用 表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通用 表示，则 和 的大小关系为：
(A) ； (B) ；(C) ；(D) 。 ［C］
14.10 用线圈的自感系数L来表示载流线圈磁场能量的公式： (A) 只适用于无限长密绕螺线管．
(B) 只适用于单匝圆线圈．
(C) 只适用于一个匝数很多，且密绕的螺绕环．
(D) 适用于自感系数Ｌ一定的任意线圈． ［D］
14.11 有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为r1和r2．管内充满均匀介质，其磁导率分别为 和 ．设r1∶r2=1∶2， ，当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比L1∶L2与磁能之比Wm1∶Wm2分别为： (A) L1∶L2=1∶1，Wm1∶Wm2 =1∶1； (B) L1∶L2=1∶2，Wm1∶Wm2 =1∶1；
(C) L1∶L2=1∶2，Wm1∶Wm2 =1∶2；
(D) L1∶L2=2∶1，Wm1∶Wm2 =2∶1； ［C］
14.12真空中一根无限长直细导线上通电流I，则距导线垂直距离为a的空间某点处的磁能密度为 ：
(A) (B) (C) (D) ［B］
14.13 一忽略内阻的电源接到阻值R＝10 的电阻和自感系数L＝0.52 H的线圈所组成的串联电路上，从电路接通计时，当电路中的电流达到最大值的90%倍时，经历的时间是： (A) 46 s； (B) 0.46s； (C) 0.12 s； (D) 5.26×10-3 s。 ［C］
二、计算题
14.14 .如题图14.7所示，有一根长直导线，载有直流电流I，近旁有一个两条对边与它平 行并与它共面的矩形线圈，以匀速度 沿垂直于导线的方向离开导线．设t =0时，线圈位于图示位置，求 ：
(1) 在任意时刻t通过矩形线圈的磁通量 ；(2)、在图示位置时矩形线圈中的电动势 。
解：(1)
(2) 依据法拉第电磁感应定律得
14.15 如题图14.8所示，长直导线 中的电流 沿导线向上，并以 的变化率均匀增长．导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示．求此线框中产生的感应电动势的大小和方向[ ]．
解：建立坐标如图所示，则直角三角形线框斜边方程
(SI)
取瞬时针方向为线框的绕行方向，则在直角三角形线框所围平面上的磁通量为
三角形线框中的感应电动势为
即电动势的大小为 ，方向为逆时针．
14.16 如题图14.9所示，载有电流 的长直导线附近，放一导体半圆环 与长直导线共面，且端点 的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为 ，环心 与导线相距 ．设半圆环以速度 平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及 两端的电压 。
解：动生电动势 ?
为计算简单，可引入一条辅助线 ，构成闭合回路 ，闭合回路总电动势
负号表示 的方向与x轴相反． 所以 ， 方向N→e→M
14.17 求长度为 的金属杆在均匀磁场 中绕平行于磁场方向的定轴 转动时的动生电动势．已知杆相对于均匀磁场 的方位角为 ，杆的角速度为 ，转向如题图14.10(a)所示。
解：在距 点为 l处的 线元中的动生电动势为
的方向沿着杆指向上端．
14.18 如题图14.11所示，一长直导线中通有电流 ，有一垂直于导线、长度为 的金属棒 在包含导线的平面内，以恒定的速度 沿与棒成 角的方向移动．开始时，棒的 端到导线的距离为 ，求任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒哪端的电势高．
题图14.11
解：如图建立坐标系， 时刻在坐标为 处取线元矢量元 ，则
式中： ，
所以： ， 端的电势高．
14.19 如题图14.12所示，长直导线中电流为 ，矩形线框 与长直导线共面，且 ， 边固定， 边沿 及 以速度 无摩擦地匀速平动． 时， 边与 边重合．设线框自感忽略不计． (1) 如 ，求 中的感应电动势． 两点哪点电势高？ (2)如 ，求 边运动到图示位置时线框中的总感应电动势．
题图14.12
解：(1)? 所处的磁场不均匀，建立坐标， 沿 方向，原点在长直导线处，则x处的磁感应
强度为
， [式中 ]
在在坐标为 处取线元矢量元 ，则ab中的感应电动势为
由于 中的感应电动势的实际方向为 ，因此有 。? (2) 当 时，以 作为回路正方向， 则：
上式中 ， 于是： 。
14.20 如题图14.13所示，一根长为 的金属细杆 绕竖直轴 以角速度 在水平面内旋转， 在离细杆 端 处，若已知地磁场在竖直方向的分量为 。求 两端间的电势差 。
解： 间的动生电动势 和 间的动生电动势 分别为：
，b点电势高于O点．
，a点电势高于O点． ∴
14.21长为 ，质量为 的均匀金属细棒，以棒端 为中心在水平面内旋转，棒的另一端在半径为 的金属环上滑动．棒端 和金属环之间接一电阻 ，整个环面处于均匀磁场 中， 的方向垂直纸面向里，如题图14.14所示．设 时，初角速度为 ．忽略摩擦力及金属棒、导线和圆环的电阻．求
(1) 当角速度为 时金属棒内的动生电动势的大小； (2) 棒的角速度随时间变化的表达式。[提示：利用转动定律]
解∶(1) 对于金属棒，沿径向在半径为 处取 ，利用公式 ，得 ，
(2) 设磁力作用在金属棒上的力矩大小为 ，则
根据转动定律得： ，其中
由此有： ，
积分得： ，其中 。
14.22 一面积为S的单匝平面线圈，以恒定角速度 在磁感强度 的均匀外磁场中转动，转轴与线圈共面且与 垂直[ 为沿z轴的单位矢量]。设 时线圈的正法向与 同方向，求线圈中的感应电动势。
解： 时刻线圈的正法向与 之间的夹角为 ，则 时刻线圈中的磁通量为
时刻线圈中的感应电动势为
14.23 如题图14.15所示，一半径为 电荷线密度为 的均匀带电圆环，里边有一半径为 总电
习题九
一、选择题
9.1 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：
(A) 如果高斯面上 处处为零，则该面内必无电荷．
(B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上 处处为零． (C) 如果高斯面上 处处不为零，则高斯面内必有电荷．
(D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零．
［A(本章中不涉及导体)、 D ］ 9.2有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为 (A) ． (B) (C) ． (D) ［D］
9.3面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量 ，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为
(A) (B) (C) (D) [B ]
9.4 如题图9.2所示，直线 长为 ，弧 是以 点为中心， 为半径的半圆弧， 点有正电荷 ， 点有负电荷 ．今将一试验电荷 从 点出发沿路径 移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功
(A) A＜0 , 且为有限常量． (B) A＞0 , 且为有限常量．
(C) A＝∞． (D) A＝0． ［D， ］
9.5静电场中某点电势的数值等于 (A)试验电荷q0置于该点时具有的电势能．
(B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能． (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能．
(D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功． ［C］
9.6已知某电场的电场线分布情况如题图9.3所示．现观察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？ (A) 电场强度 ． (B) 电势 ．
(C) 电势能 ． (D) 电场力的功A＞0．
［C］ 二、计算题
9.7 电荷为 和 的两个点电荷分别置于 和 处．一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？ x
解：设试验电荷 置于x处所受合力为零，根据电力叠加原理可得
即：
。
因 点处于q、－2q两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得
9.8 一个细玻璃棒被弯成半径为 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷 ，沿其下半部分均匀分布有电荷 ，如题图9.4所示．试求圆心 处的电场强度．
解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在 处取微小电荷 ，它在 处产生场强
按 角变化，将 分解成二个分量：
对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷 所以
。
9.9 如图9.5所示，一电荷线密度为 的无限长带电直导线垂直纸面通过A点；附近有一电量为 的均匀带电球体，其球心位于O点。 是边长为 的等边三角形。已知 处场强方向垂直于 ，求: 和 间的关系。
解：如图建立坐标系。根据题意可知
。
9.10 如题图9.6所示，一电荷面密度为 的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为 的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．
解：电荷面密度为 的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为 ： 。以图中O点为圆心，取半径为 的环形面积，其电量为 。它在距离平面为a的一点处产生的场强
则半径为 的圆面积内的电荷在该点的场强为
由题意， ，得到 ， 。
9.11 如题图9.7所示，一均匀带电直导线长为 ，电荷线密度为 。过导线中点 作一半径为 [ ]的球面 ， 为带电直导线的延长线与球面 的交点。求： （1）、通过该球面的电场强度通量 。 （2）、 处电场强度的大小和方向。 解：（1）利用静电场的高斯定理即可得： 。
（2）如图建立一维坐标系，坐标原点与圆心重合。在带电导线上坐标为 处取长度为 的带电元，其所带电荷量为 ， 在 点产生的电场强度为
点的电场强度为
9.12 题图9.8中，虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为： ， , 。高斯面边长a＝0.1 m，常量b＝1000 N/(C?m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真空介电常数 ＝8.85×10-12 C2?N-1?m-2 )
解：设闭合面内包含净电荷为Q．因场强只有x分量不为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不为零．由高斯定理得： 则
9.13 体图9.9所示，有一带电球壳，内、外半径分别为 、 ，电荷体密度为 ，在球心处有一点电荷 。证明：当 时，球壳区域内电场强度 的大小与半径 无关。 证：用高斯定理求球壳内场强： , 而
要使 的大小与 无关，则应有 ： ， 即 。
9.14 如题图9.10所示，一厚为 的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为 ( )，式中 为一正的常量．求：
(1) 平板外两侧任一点 和 处的电场强度大小； (2) 平板内任一点 处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？
解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为 ．作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S，如图所示．
按高斯定理 ，即：
得到：
， (板外两侧)
(2) 过 点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S．设该处场强为 ，如图所示．按高斯定理有：
得到： ( ) (3) ，必须是 ， 可得 。
9.15 一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体挖去半径为 的一个小球体，球心为 ，两球心间距离 ，如题图9.11所示。 求： (1) 在球形空腔内，球心 处的电场强度 ；
(2) 在球体内 点处的电场强度 。设 、 、 三点在同一直径上，且 。
解：挖去电荷体密度为 的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场 ，而另在挖去处放上电荷体密度为 的同样大小的球体，求出电场 ，并令任意点的场强为此二者的矢量叠加，即： 。
在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S，则可求出O?与P处场强的大小。
得： 方向分别如图所示。
在图(b)中，以 点为小球体的球心，可知在 点 . 又以 为心， 为半径作球面为高斯面 可求得P点场强 。
，
(1) 求 点的场强 。由图(a)、(b)可得 ， 方向如图(c)所示.
(2)求P点的场强 .由图(a)、(b)可得 方向如(d)图所示.
9.16 如题图9.12所示，两个点电荷＋q和－3q，相距为d. 试求： (1) 在它们的连线上电场强度 的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？
(2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势 的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？
解：设点电荷q所在处为坐标原点O，x轴沿两点电荷的连线． (1) 设 的点的坐标为 ，则 ?
解出：
另有一解 不符合题意，舍去． (2) 设坐标x处 ，则 得：
9.17 一均匀静电场，电场强度 ，空间有两点 和 ，（ 以米计）。求 两点之间的电势差 。 解：空间某点的位矢表示为 ，则
9.18 题图9.13所示，为一沿x轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为 ， 为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势．
解：在任意位置x处取长度元 ，其上带有电荷 。它在O点产生的电势
O点总电势：
9.19 题图9.14所示，电荷q均匀分布在长为 的细杆上。求 （1）、在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点)。 （2）、杆的中垂线上与杆中心距离为a的P点的电势。(设无穷远处为电势零点)． 解：（1）设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示．
细杆的电荷线密度 ，在x处取电荷元 ，它在P点产生的电势为
整个杆上电荷在P点产生的电势：
（2）设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示.
杆的电荷线密度 ．在x处取电荷元 ，它在P点产生的电势
整个杆上电荷产生的电势：
9.20 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R1＝0.03 m和R2＝0.10 m．已知两者的电势差为450 V，求内球面上所带的电荷．
解：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为 (R1＜r＜R2）
两球的电势差：
∴ ＝2.14×10-9 C
9.21 电荷以相同的面密度 分布在半径为r1＝10 cm和r2＝20 cm的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U0＝300 V． ［ ＝8.85×10-12 C2 /(N?m2)］ (1) 求电荷面密度 ．
(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？
解：
、 分别为带电的大半圆线圈和小半圆线圈转动产生的磁感强度， 为沿直径的带电线段转动产生的磁感强度． ， ，
又由于 ， 。 所以
12.14 如题图12.9所示，一无限长圆柱形直导体，横截面半径 为 ，在导体内有一半径为 的圆柱形孔，它的轴平行于导体 轴并与它相距为 ，设导体载有均匀分布的电流 ，求孔内任 意一点 的磁感强度 的表达式。
解∶电流密度 。 点场强为充满圆柱并与 同向的电流 ，及充满孔并与 反向的电流 的场叠加而成．取垂直于圆柱轴并包含 点的平面，令柱轴与孔轴所在处分别为O与O?， 点与两轴的距离分别为 与 ，并建立坐标如图。利用安培环路定理可知 点场强为与 同向的 和与 反向的 的场的叠加，且有
， ；
， 方向如图所示． P点总场：
与 、 无关，可知圆柱孔内为匀强场，即磁场方向与两轴组成的平面垂直，方向沿y轴正向。
12.15在一平面内有三根平行的载流直长导线，已知导线1和导线2中的电流I1 = I2流向相同，两者相距d，并且在导线1和导线2之间距导线1为a = d/3处B = 0，如题图12.10所示。求第三根导线放置的位置与所通电流I3之间的关系。
解：取x坐标如图(原点在I1处)．设第三根导线放在与I1相距为x处，电流流向同于I1，则有
0
即
当I3与I1同方向时，第三根导线在B = 0处的右侧，当I3与I1反方向时，第三根导线在B
= 0处的左侧．
12.16 一圆线圈的半径为R，载有电流I，置于均匀外磁场 中(如题图12.12所示)．在不考虑载流圆线圈本身所激发的磁场的情况下，求线圈导线上的张力．(载流线圈的法线方向规定与 的方向相同．)
解：考虑半圆形载流弧导线CD所受的安培力 。列出力的平衡方程式 故：
12.17 如题图12.13所示，半径为R的半圆线圈ACD通有电流I2，置于电流为I1的无限长直线电流的磁场中，直线电流I1恰过半圆的直径，两导线相互绝缘．求半圆线圈受到长直线电流I1的磁力．
解：长直导线在周围空间产生的磁场分布为 取xOy坐标系如图，则在半圆线圈所在处各点产生的磁感强度大小为： ， 方向垂直纸面向里
式中 为场点至圆心的联线与y轴的夹角．半圆线圈上 段线电流所受的力为：
，根据对称性知： 。 ，则： 。
∴半圆线圈受I1的磁力的大小为： ， 方向：垂直I1向右．
12.18 已知半径之比为2∶1的两载流圆线圈各自在其中心处产生的磁感强度相等，求当两线圈平行放在均匀外场中时，两圆线圈所受力矩大小之比．
解：设两圆线圈半径分别为R1，R2，分别通以电流I1，I2．则其中心处磁感强度分别为： ， 因为 ，所以
。
设外磁场磁感强度为 ，两线圈磁矩 和 与 夹角均为 ，则两线圈所受力矩大小 ； 。
12.19 在垂直于长直电流 的平面内放置扇形载流线圈 ，线圈电流为 ，半径分别为 和 ，张角为 ，如题图12.14所示。求：(1)线圈各边所受的磁力；(2)线圈所受的磁力矩。
解：(1)如图，以扇形载流线圈 所在的平面与载流长直导线的垂直交点 为坐标原点，沿经向在 边上半径为 处取电流元 ，该电流元在 产生的磁场中所受的安培力为 ，因此载流线圈的 所受的安培力为 。 的方向垂直纸面向外、大小为
同理可得出： ， 方向垂直纸面向里。
另外，由于 上各电流元的方向与其所在处磁感应强度 的方向相同，所以 。同理 。 (2)分析可知，在题图12.14所示的情况下， 和 的作用效果是使得扇形载流线圈 绕 轴转动。电流元 所受的安培力 对 点的力矩 。该力矩在z轴上的分量为：
故线圈所受的磁力矩为：
12.19 如题图12.15所示，均匀带电刚性细杆AB，线电荷密度为 ，绕垂直于直线的轴O以 角速度匀速转动(O点在细杆AB延长线上)．求：
(1) O点的磁感强度 ； (2) 系统的磁矩 ； (3) 若a >> b，求B0及pm．
解：(1) 对 段，电荷 旋转形成圆电流，且
它在O点的磁感强度
方向垂直纸面向内．
(2) 方向垂直纸面向内． (3) 若a >> b，则 ，有：
，过渡到点电荷的情况．
同理在a >> b时， ，则 ：
，也与点电荷运动时的磁矩相同．
12.20 如题图12.16所示，放在水平面内的圆形导线，半径为 。圆导线上某点 与中心 之间经一电阻 接到电动势为 的电池两端。由中心到圆周有一能绕经过 点的铅直轴旋转的活动金属半径 ，其质量为 。旋转时，半径与圆形导线之间有一摩擦力，该摩擦力正比于 点的速度，比例系数为 。(已知地磁场的铅直分量为 ) (1)不计电磁感应，求 旋转的角速度 增加的规律；
(2)应以多大的力 在垂直于半径的方向作用于 点，而使半径不至转动。
解：(1)、载流线段 在磁场中转动时受到的磁力矩大小 和摩擦力矩大小 分别为 ，
根据转动定律 ，对 可列方程
其中 为 的转动惯量。由此有：
(2)、根据平衡条件，在垂直于半径的方向作用于 点的力 对 点的力矩应与 所受的磁力矩大小相等，且作用效果相反，即 。
12.21 如题图12.17所示，半径为a，带正电荷且线密度是 (常量)的半圆，以角速度 绕轴O′O″匀速旋转。求： (1) O点的 ； (2)旋转的带电半圆的磁矩 。 (提示：积分公式 )
解：(1) 对 弧元， ，旋转形成圆电流
它在 点的磁感强度 为：
的方向向上． (2)
的方向向上．
12.22 如题图12.18所示，有一无限大平面导体薄板，自下而上均匀通有电流，已知其面电流密度为i (即单位宽度上通有的电流强度)．
(1) 试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向．
(2) 有一质量为m，带正电荷q的粒子，以速度v沿平板法线方向向外运动，求： (a) 带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞？ (b) 需经多长时间，才能回到初始位置(不计粒子重力)？ 解：(1) 由安培环路定理： (大小) ， 方向：在板右侧垂直纸面向里 (2) 由洛伦兹力公式可求 (至少从距板R处开始向外运动) 返回时间为： 。
12.23如题图12.19所示，有一电子以初速v 0沿与均匀磁场 成??角度的方向射入磁场空间．试证明当图中的距离 时，(其中me为电子质量，e为电子电荷的绝对值，n = 1，2……)，电子经过一段飞行后恰好打在图中的O点．
证： 设电子飞行时间为t，其作螺旋运动的周期为T，则： ①
②
当 时，电子能恰好打在O点． ∴
12.24在一顶点为45°的扇形区域，有磁感强度为 方向垂直指向纸面内的均匀磁场，如题图12.20所示．今有一电子(质量为m，电荷为-e)在底边距顶点O为l的地方，以垂直底边的速度 射入该磁场区域，若要使电子不从上面边界跑出，电子的速度最大不应超过多少？
解：电子进入磁场作圆周运动，圆心在底边上．当电子轨迹 与上面边界相切时，对应最大速度，此时有如图所示情形．
∴ 由 ，求出v最大值为： 。
三、小论文写作练习 1、霍耳元器件在电磁测量中的应用。2、生物磁学。 习题十三 一、 选择题
13.1 关于稳恒电流磁场的磁场强度 ，下列几种说法中哪个是正确的？
(A) 仅与传导电流有关．
(B) 若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的 必为零．
(C) 若闭合曲线上各点 均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零． (D) 以闭合曲线Ｌ为边缘的任意曲面的 通量均相等． ［C］ 13.2 磁介质有三种，用相对磁导率 表征它们各自的特性时： (A) 顺磁质 ，抗磁质 ，铁磁质 ； (B) 顺磁质 ，抗磁质 ，铁磁质 ；
(C) 顺磁质 ，抗磁质 ，铁磁质 ；
(D) 顺磁质 ，抗磁质 ，铁磁质 。 ［C］
13.3 如题图13.1所示,图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ线分别表示不同磁介质的 关系曲线，虚线是 关系曲线，那么表示顺磁质的是：
(A) Ⅰ； (B) Ⅱ； (C) Ⅲ； (D) 没有画出。 [B] 二、计算题
13.4 一均匀磁化的磁棒，直径为d＝25 mm，长L＝75 mm，磁矩为 。求磁棒表面磁化电流密度 。
解： ， A/m
13.5 螺绕环中心周长 ，环上均匀密绕线圈N = 200匝，线圈中通有电流I = 0.1 A．管内充满相对磁导率 的磁介质，求管内磁场强度和磁感强度的大小。 解： 200 A/m ， 1.06 T
13.5 一根沿轴向均匀磁化的细长永磁棒，磁化强度为 。求题图13.2中所标出的各点上的 和 。
解：把磁棒看作 (其中 为磁化面电流密度)的无限长螺线管，则 ，?
因螺线管无限长，所以 和螺线管一样，在端面附近有 介质棒内： ， ， 介质棒外： ，
13.6 一铁环的中心线周长 ，横截面 。环上紧密地绕有N = 300 匝线圈。当导线中通有电流 时，通过环截面的磁通量 。试求铁芯的磁化率 。 解： ， ， 496
13.7在磁化强度为 的均匀磁化的无限大磁介质中，挖出一个半径为R的球形腔．求此腔表面的磁化面电流密度和磁化电流产生的磁矩．
解：磁化面电流密度为： 。式中 是磁介质表面法线方向单位矢量，方向指向球心．如下图，设M的方向与z轴重合，则 ，方向如图所示．
选择一宽度为 的圆环，它产生的磁矩为：
(2) 金属球A中的P点处电势为多大？(选无穷远处为电势零点)
解：(1) 静电平衡后，金属球 内无电荷，其表面有正、负电荷分布，净带电荷为零． (2) 金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为 ． ∵ ∴
10.16 三个电容器如题图10.7联接，其中 ， ， ，当A、B间电压 时，试求： (1) A、B之间的电容；
(2) 当 被击穿时，在电容 上的电荷和电压各变为多少？
解：(1)
(2) 上电压升到 ，电荷增加到
10.17 一个可变电容器，由于某种原因所有动片相对定片都产生了一个相对位移，使得两个相邻的极板间隔之比为 ，问电容器的电容与原来的电容相比改变了多少？
解：如图，设可变电容器的静片数为 ，定片数为 ，标准情况下，极板间的距离为 [图a]，极板相对面积为 。则该电容器组为 个相同的平行板电容器并联[图a]。总电容为 。 当动片由于某种原因发生相对位移而使相邻的极板间隔变为 后，总电容为：
所以电容增加了：
10.18 一平行板空气电容器充电后，极板上的自由电荷面密度 ＝1.77×10-6 C/m2．将极板与电源断开，并平行于极板插入一块相对介电常量为 的各向同性均匀电介质板．计算电介质中的电位移 、场强 和电极化强度 的大小。(真空介电常量 ＝8.85×10-12 C2 / N?m2) 解：由 的高斯定理求得电位移的大小为
由 的关系式得到场强 的大小为 ＝2.5×104 V/m
介质中的电极化强度的大小为
10.19 如题图10.8所示，一空气平行板电容器，极板面积为 ，两极板之间距离为 ，其中平行地放有一层厚度为 ( 、相对介电常量为 的各向同性均匀电介质．略去边缘效应，试求其电容值。
解：设极板上的自由电荷面密度为 ．应用 的高斯定理可得两极板之间的电位移大小为
由 得：空气中的电场强度大小为 ；电介质中的电场强度的大小为 。 两极板之间的电势差为
电容器的电容为
作法二： 看成二个电容串联， ， ，则
10.20一平行板电容器，极板间距离为10cm，其间有一半充以相对介电常量 的各向同性均匀电介质，其余部分为空气，如题图10.9所示．当两极间电势差为100 V时，试分别求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量。
解：设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为 、 和 、 ，则 (1) (2) (3) 联立解得
；
方向均相同，由正极板垂直指向负极板．
10.21 一导体球带电荷 ，放在相对介电常量为 的无限大各向同性均匀电介质中．求介质与导体球的分界面上的束缚电荷 。
解：导体球处于静电平衡时，其电荷均匀分布在球面上．以 为半径作一同心高斯球面 ．按 的高斯定理，可求出介质内半径 的同心球面 上各点电位移的大小
介质与导体球的分界面上各点的电场强度大小为
电极化强度的大小为
极化电荷面密度为
分界面上的束缚电荷为
10.22 半径为 的介质球，相对介电常量为 、其自由电体荷密度 ，式中 为常量， 是球心到球内某点的距离．试求：
(1) 介质球内的电位移和场强分布．(2) 在半径 多大处场强最大？
解：(1) 在介质中，取半径为 的同心薄壳层，其中包含电荷
取半径为 的同心球形高斯面，应用 的高斯定理，
则介质内半径为 的球面上各点的电位移为： ，（ 为径向单位矢量）
介质内半径为 的球面上各点的电场为 ，
(2) 对 求极值
得 ，且因 ，所以 处 最大。
10.23 如题图10.10，一各向同性均匀电介质球，半径为R，其相对介电常量为 ，球内均匀分布有自由电荷，其体密度为 ．求球内的束缚电荷体密度 和球表面上的束缚电荷面密度 。
解：∵介质是球对称的，且 均匀分布，∴ ， 也必为球对称分布．因而电场必为球对称分布．用 的高斯定理，可求得半径为 的同心球面上
； ；
在介质内，取半径 间的球壳为体元，则可求出介质内极化电荷体密度
略去 的高次项，则 ， ( 与 异号) 介质表面极化电荷面密度： , （ 与 同号）．
10.24 如题图10.11所示，一平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为 ，中间充满介电常量按 规律变化的电介质。在忽略边缘效应的情况下，试计算该电容器的电容。
解：设两极板上分别带自由电荷面密度 ，则介质中的电场强度分布为
两极板之间的电势差为 该电容器的电容值为
10.25 如题图10.12所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为 ，外筒半径为 ，筒长都是 ，中间充满相对介电常量为 的各向同性均匀电介质。内、外筒分别带有等量异号电荷 和 ．设 ， ，可以忽略边缘效应，求：
(1) 圆柱形电容器的电容； (2) 电容器贮存的能量．
解：（1）、由题给条件 ( 和 ，忽略边缘效应，应用高斯定理可求出两筒之间的场强为
两筒间的电势差 电容器的电容 （2）、电容器贮存的能量 。
10.26两个相同的空气电容器，其电容都是 ，都充电到电压各为 后断开电源，然后把其中之一浸入煤油 ( 中，然后把两个电容器并联，求 (1)、浸入煤油过程中损失的静电能；（2）、并联过程中损失的静电能。 解：（1）电容器浸入煤油前的能量为
浸入煤油后，电容器的能量
在此过程中损失的能量为 。 （2）、并联前，两个电容器的总能量为
并联后的总电容 。并联电容器上的总电量 并联后电容器的总能量为
并联过程中损失的能量为 。
10.27电容 的电容器在 的电势差下充电，然后切断电源，并将此电容器的两个极板与原来不带电、 的电容器的两极板相连，求： （1）、每个电容器极板所带的电荷量； （2）、连接前后的静电能。 解：1）、电容器的总电荷量为：
设两个电容器极板所带的电荷量分别为 和 ，则由 ， 得： ，
2） 、连接前的静电场能就是连接前第一个电容器的能量，即：
连接后的静电场能即并联后电容器的能量，即：
10.28 一平行板电容器的极板面积为S = 1 m2，两极板夹着一块d = 5 mm厚的同样面积的玻璃板．已知玻璃的相对介电常量为 。电容器充电到电压U = 12 V以后切断电源。求把玻璃板从电容器中抽出来外力需做多少功。(真空介电常量??0 = 8.85×10-12 C2?N-1?m-2 ) 解：玻璃板抽出前后电容器能量的变化即外力作的功．抽出玻璃板前后的电容值分别为 ，
撤电源后再抽玻璃板．板上电荷不变，但电压改变，即 ∴
抽玻璃板前后电容器的能量分别为
外力作功 = 2.55×10-6 J
10.29 一平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，中间充满相对介电常量为 的各向同性均匀电介质．设极板之间电势差为U．试求在维持电势差U不变下将介质取出，外力需作功多少？
解：在两极板之间电势差U不变下，有介质时电容器中的电场能量为
取出介质后的电场能量为
在两极板之间电势差U不变下，由于电容值改变，极板上电荷发生变化 ?
电源作功
设外力作功为 ，则根据功能原理， 故外力作功 三、小论文写作练习
1、关于电位移矢量 的进一步讨论。
2、非平行板电容器的电容和电场的计算问题，椭圆柱形电容器电容计算问题。 习题十一
一选择题
11.1 室温下，铜导线内自由电子数密度为 个 , 导线中电流密度的大小 ，则电子定向漂移速率为：
(A) 1.5×10-4 m/s． (B) 1.5×10-2 m/s．(C) 5.4×102 m/s． (D) 1.1×105 m/s． ［A］
11.2 在一个长直圆柱形导体外面套一个与它共轴的导体长圆筒，两导体的电导率可以认为是无限大．在圆柱与圆筒之间充满电导率为 的均匀导电物质，当在圆柱与圆筒间加上一定电压时，在长度为 的一段导体上总的径向电流为 ，如题图11.1所示．则在柱与筒之间与轴线的距离为 的点的电场强度为：
(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 ［B］
11.3 已知直径为0.02 m、长为 0.1 m的圆柱形导线中通有稳恒电流，在60秒钟内导线放出的热量为 100 J。已知导线的电导率为 ，则导线中的电场强度为：
(A) 2.78×10-13 V?m-1． (B) 10-13 V?m-1． (C) 2.97×10-2 V?m-1． (D) 3.18 V?m-1． ［C］
11.4 如题图11.2所示的电路中，两电源的电动势分别为 、 ，内阻分别为 ， 。三个负载电阻阻值分别为 ，电流分别为 ，方向如题图11.2。则A到Ｂ的电势增量 为： (A) ． (B) ． (C) ．
(D) ． ［C］
11.5在题图11.3的电路中，电源的电动势分别为 、 和 ，内阻分别是 、 和 ，外电阻分别为 、 和 ，电流分别为 、 和 ，方向如图。下列各式中正确的是 (A) (B)
(C)
(D) ［A］
二、计算题
11.6 已知导线中的电流按 的规律随时间变化，式中各量均采用国际单位。计算在 到 的时间内通过导线截面的电荷量。
解：导线中的电流不是恒定的，在 时间间隔内通过导线截面的电量 。 在 时间段内，通过导线截面的电量
11.7 内外半径分别为 、 的两个同心球壳构成一电阻元件，当两球壳间填满电阻率为 的材料后，求该电阻器沿径向的电阻。
解：在半径 间取球壳( )，该球壳沿经向的电阻为
该电阻器沿经向的总电阻应为这些壳层电阻的串联，即该电阻器沿径向的电阻为：
11.8 当电流为 ，端压为 时，试求下列各情形中电流的功率以及 内产生的热量。 (1)电流通过导线；
(2)电流通过充电的蓄电池，该蓄电池的电动势为 ； (3)电流通过充电的蓄电池，该蓄电池的电动势为 。
解：(1)、电流的功率 。电流在 内产生的热量 。
(2)、电流的功率 。当给电动势为 、内阻为 的蓄电池充电时，有：
故电流在 内产生的热量： 。
(3)、电流的功率 。当电动势为 、内阻为 的蓄电池放电时，有：
故电流在 内产生的热量： 。
11.9在一由电动势恒定的直流电源供电的载流导线表面某处带有正电荷，已知其电荷面密度为 ，在该处导线表面内侧的电流密度为 ，其方向沿导线表面切线方向，如图11.4所示．导线的电导率为 ，求在该处导线外侧的电场强度 。
解：规定在导线内侧和导线外侧各物理量分别用角标1，2区分．由高斯定理可求得导线表面电场强度的垂直分量 ： 。
由边界条件和欧姆定律可求得导线外侧电场强度的平行分量 ： 。 则导线外侧电场强度的大小
的方向： , 。
11.10在如题图11.5所示的电路中，两电源的电动势分别为 和 ，内阻分别为 和 ，电阻 ，求电阻 两端的电位差。
解：设各支路的电流为 、 和 ，如图．
① ② ③ 由①、②、③三式联立解得：
.
11.11 如题图11.6所示的电路中，电源电动势分别为 ， ， ，内阻为 。 ， ， 。求： (1)a、b两点间的电位差 ；
(2) 、 短路后，电阻 上电流大小和流向。
解：(1)、参考题图11.6a，因为 ； ，所以：
(2)、a、b短接后，设各支路的电流方向如题图11.6b所示。则：
解得：
, ,
即，如果 、 短路，电阻 上电流的大小为 ，方向自左向右。
11.12 在如题图11.7所示的电路中，已知， ， ， ， ， 。O点接地，K为开关，C为电容。求：
(1) 开关闭合前A点的电势 ； (2) 开关闭合后A点的电势 。(开关闭合前后，A点的电势及电容器极板上的电荷量均指电路稳态时的值)。
解：(1)、开关闭合前，参考题图11.7a，可得
(2)、开关闭合后， 设各支路电流参考方向如题图11.7b标出，列KCL、KVL方程，
解得结果为 ； ； 。故此时A点的电势为：
11.13在如题图11.8所示的电路中，已知， ， ， ， 。各电池的内阻均可忽略。求： 1)、当开关K打开时，求电路中B、C两点间的电位差 ；
2)、当开关K闭合后，若已知此时A、B两点的电位相等，求电阻 。
解：1)、开关打开时，闭和回路中的电流为：
，(顺时针流动)
在B、C两点间取一段电路，如题图11.8a，根据一段含源电路的欧姆定律得：
2)、K闭和后，设三个支路中电流分别为 ， 和 ，其参考方向如题图11.8b表示。 因为A、B两点电势相等，则根据一段含源电路的欧姆定律得： ；
代入数值后： ；
解得： ， 。
又因为： ，所以： 。再根据一段含源电路的欧姆定律得：
所以： (本题亦可直接列基尔霍夫方程组求解)
11.14电容器由如图所示的任意形状的两个导体A、B之间充满各向同性的均匀电介质组成。电介质的相对介电常数为 。漏电电阻率为 。试证明两导体之间的电容 和电阻 之间的关系为： 。
证明：如上图，使A和B分别带上自由电荷 。包围A(或B)作闭合曲面S，S为高斯面，运用 的高斯定理：
把各向同性电介质的性能方程 和欧姆定律的微分形式 代入上式得：
(1) 设导体A、B之间的电位差为 ，则根据电容的定义有： (2) 而A、B之间的漏电电阻为： (3) 把(2)、(3)带入(1)得：
三、小论文写作练习
1、Mathematica软件在电路计算的应用
2、接触电势差及温差电动势的测量及其应用。
习题十二
一、选择题
12.1 均匀磁场的磁感强度 垂直于半径为 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S，则通过S面的磁通量的大小为
(A) ． (B) ． (C) 0． (D) 无法确定的量． ［B］
12.2 载流的圆形线圈(半径 )与正方形线圈(边长 )通有相同电流 ．若两个线圈的中心 、 处的磁感强度大小相同，则半径 与边长 之比 为
(A) 1∶1 (B) ∶1 (C) ∶4 (D) ∶8 ［D］
12.3 如题图12.1，两根直导线 和 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流 从 端流入而从 端流出，则磁感强度 沿图中闭合路径 的积分 等于 (A) ． (B) ． (C) ． (D) ． ［D］
12.4 如题图12.2，在一固定的载流大平板附近有一载流小线框能自由转动或平动．线框平面与大平板垂直。大平板的电流与线框中电流方向如图所示。则在同一侧且对着大平板看，通电线框的运动情况是：
(A) 靠近大平板．(B) 顺时针转动．(C) 逆时针转动． (D) 离开大平板向外运动． ［B］
12.5 在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积A1 = 2 A2，通有电流I1 = 2 I2，它们所受的最大磁力矩之比M1 / M2等于
(A) 1． (B) 2． (C) 4． (D) 1/4． ［C］
12.6 如题图12.3所示，无限长直导线在P处弯成半径为R的圆，当通以电流I时，则在圆心O点的磁感强度大小等于
(A) ；(B) ； (C) ； (D) ； (E) 。 ［D］
12.7如图所示，处在某匀强磁场中的载流金属导体块中出现霍耳效应，测得两底面 、 的电势差为 ，则图中所加匀强磁场的方向为：
(A)、竖直向上；(B)、竖直向下； (C)、水平向前； (D)、水平向后。 [C]
二、计算题
12.8 如题图12.4所示，一无限长直导线通有电流 ，在一处折成夹角 的折线。求角平分线上与导线的垂直距离均为 的 点处的磁感强度． (已知 )。
题图12.4
解： 处的 可以看作是两载流直导线所产生的， 与 的方向相同．
方向垂直纸面向上。
12.9 如题图12.5所示，半径为R，线电荷密度为 ( 的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度 转动，求轴线上任一点的 的大小及其方向．
解：因为 ，所以
，( 的方向与y轴正向一致)．
12.10 一根很长的圆柱形铜导线均匀载有10 A电流，在导线内部作一平面S，S的一个边是导线的中心轴线，另一边是S平面与导线表面的交线，如图题图12.6所示．试计算通过沿导线长度方向长为1m的一段S平面的磁通量．(真空的磁导率 ，铜的相对磁导率 )。
解：如题图12.6a，在距离导线中心轴线为x与 处，作一个单位长窄条，其面积为 ．窄条处的磁感强度
所以通过 的磁通量为：
通过１m长的一段S平面的磁通量为
12.11如题图12.7所示，一半径为R的均匀带电无限长直圆筒，面电荷密度为 ．该筒以角速度 绕其轴线匀速旋转．试求圆筒内部的磁感强度．
解：如题图12.7a图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的面电流，面电流密度 的大小为：
作矩形有向闭合环路如图中所示．从电流分布的对称性分析可知，在 上各点 的大小和方向均相同，而且 的方向平行于 ，在 和 上各点 的方向与线元垂直，在 , 上各点 ．应用安培环路定理 可得
圆筒内部为均匀磁场，当 时，磁感强度的大小为 ， 方向平行于轴线向右．
12.12如题图12.8所示，一半径为 的带电塑料圆盘，其中半径为 的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为 ，其余部分均匀带负电荷，面电荷密度为 。当圆盘以角速度 旋转时，测得圆盘中心 点的磁感强度为零，问 与 满足什么关系？
解：带电圆盘转动时，可看作无数的电流圆环的磁场在 点的叠加．某一半径为 的圆环的磁场为 而
∴
正电部分产生的磁感强度为
负电部分产生的磁感强度为
今 ，得
12.13有一闭合回路由半径为a和b的两个同心共面半圆连接而成，如题图12.8所示．其上均匀分布线密度为 的电荷，当回路以匀角速度 绕过 点垂直于回路平面的轴转动时，求圆心O点处的磁感强度的大小．
题图12.8
阻为 的导体环，两环共面同心( )，当大环以变角速度 绕垂直于环面的中心轴旋转时，求小环中的感应电流．其方向如何？
解：大环中相当于有电流 。这电流在O点处产生的磁感应强度大小
以逆时针方向为小环回路的正方向，则小环中的磁通量为
∴
感应电流为
的方向：当 时， 为负值，即 为顺时针方向；：当 时， 为正值，即 为逆时针方向． 14.24 电荷 均匀分布在半径为 、长为 的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度 绕中心轴线旋转．一半径为 、电阻为 的单匝圆形线圈套在圆筒上，如题图14.16所示．若圆筒转速按照 的规律( 和 是已知常数)随时间线性地减小，求圆形线圈中感应电流的大小和流向。
解：筒以 旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流 ，它和通电流螺线管的 等效．按长螺线管产生磁场的公式，筒内均匀磁场磁感强度为： (方向沿筒的轴向)
筒外磁场为零．穿过线圈的磁通量为：
在单匝线圈中产生感生电动势为
感应电流 为
当 时， 的流向与圆筒转向一致．否则， 的流向与圆筒转向相反。
14.25 如题图14.17所示，两个半径分别为 和 的同轴圆形线圈相距 ，且 ， ．若大线圈通有电流 而小线圈沿 轴方向以速率 运动，试求： (1)小线中感应电动势的大小；
(2) 时(N为正数)小线圈回路中产生的感应电动势的大小。
解：由题意，大线圈中的电流 在小线圈回路处产生的磁场可视为均匀的．
故穿过小回路的磁通量为
由于小线圈的运动，小线圈中的感应电动势为
当 时，小线圈回路中的感应电动势为 。
14.26 如题图14.18所示，有一弯成 角的金属架 放在磁场中，磁感强度 的方向垂直于金属架 所在平面．一导体杆 垂直于 边，并在金属架上以恒定速度 向右滑动， 与 垂直．设 时， ．求下列两情形，框架内的感应电动势 。
(1) 磁场分布均匀，且 不随时间改变； (3) 非均匀的时变磁场 。
解：(1) 如题图18(a)，因为 ，其中 ，
所以，由法拉第电磁感应定律可得
在导体 内 的方向由 向 ．
(2) 对于非均匀时变磁场 。如题图18(b)，取回路绕行的正向为 ，则 ，其中
即
，则 方向与所设绕行正向一致； ，则 方向与所设绕行正向相反。
14.27 如题图14.19所示，真空中一长直导线通有电流 (式中 、 为常量， 为时间)，有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行共面，二者相距 ．矩形线框的滑动边与长直导线垂直，它的长度为 ，并且以匀速 (方向平行长直导线)滑动．若忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻 在矩形线框内的感电动势 并讨论 的方向。
解：线框内既有感生又有动生电动势．设顺时针绕向为 的正方向．先求任意时刻 的
根据法拉第电磁感应定律可得：
。(计算中利用了条件 )。 的方向： 时，逆时针； 时，顺时针．
14.28 在半径为 的圆柱形空间内，存在磁感强度为 的均匀磁场， 的方向与圆柱的轴线平行．有一无限长直导线在垂直圆柱中心轴线的平面内，两线相距为 ， ，如题图14.20所示．已知磁感强度随时间的变化率为 ，求长直导线中的感应电动势 ，并说明其方向。[提示： 选取过轴线而平行给定的无限长直导线的一条无限长直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路(在无限远闭合)。利用在过轴线的长直导线上，感生电场 处处与之垂直的条件]
解：由问题的轴对称性和轴向的无限长条件可知，感生涡漩电场的场强 在垂直轴线的平面内，且与径向相垂直．
如题图20(b)所示，选取过轴线且平行给定的无限长直导线的一条无限长辅助直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路(在无限远闭合)，则在过轴线的辅助长直导线上，因感生电场 处处与之垂直，所以该辅助长直导线上电动势为零．又在无限远处 ，故此回路中的电动势就是给定的无限长直导线中的电动势 ． 该回路的磁通量
由电磁感应定律有：
的正方向如图所示．当 时， 的方向从左到右； 时， 的正方向从右到左。
14.29 题图14.21所示为水平面内的两条平行长直裸导线 与 ，其间距离为 ，其左端与电动势为 的电源连接．匀强磁场 垂直于图面向里．一段直裸导线 横嵌在平行导线间(并可保持在导线间无摩擦地滑动)把电路接通．由于磁场力的作用, 将从静止开始向右运动起来．求 (1) 能达到的最大速度v．
(2) 达到最大速度时通过电源的电流 ．
解：(1) 导线 运动起来时，切割磁感线，产生动生电动势．设导线中电流为 [假设从 到 ]，导线运动速度为 ，则 上的动生电动势 ， 由 指向 ． 在由 接通的电路中
在磁场力作用下， 不断增大，则 不断减小。当 增大到某一值 时，总会出现
此时 ， 所受磁场力为零，其速度不再增加，导线作匀速运动，这也就是 能达到的最大速度，即 所能达到的最大速度为：
(2) 这时电路中和电源中的电流都是：
14．30 如题图14.22所示，在圆柱形的匀强磁场中，同轴地放置一个半径为 ，厚度为 的金属圆盘，今使磁场随时间变化 ， 为一常数，已知金属盘的电导率为 。试求：金属盘内的总的涡电流。
解：如题图14.22，半径为 的同轴圆柱面上各点的涡旋电场为： 。涡旋电场 的方向与 的方向成左手螺旋关系。在半径 ( )间取高为 的同轴柱壳。在该柱壳内，沿切向流动的涡电流大小为：
故金属盘内总的涡电流为：
由于金属盘内载流子为电子，所以当 时，涡电流为反时针流动；当 时，涡电流顺时针流动。
14.31 两同轴长直螺线管，大管套着小管，半径分别为 和 ，长为 ( ； )，匝数分别为 和 ，求互感系数 。
解：设半径为 的长螺线管中通入电流 ，则管内的均匀磁场为
通过半径为 的长螺线管的磁链为：
根据定义：
14.32 真空中，一个半径 ，长度 的圈数为 的螺线管在它的中部与它同轴有一个半径 ，长度 圈数 的小线圈．计算两个线圈的互感系数。(真空的磁导率 )
解：设外圈线圈通过电流 ，由于 ，所以它在线圈中间产生的磁感强度为：
由于内线圈的 ， ，所以可以认为 均匀通过内线圈，从而得到通过内线圈的磁通链数为： ?
所以得两线圈的互感为：
H
14.33 真空矩形截面螺绕环的总匝数为 ，尺寸如题图14.23所示，求它的自感系数．
解：设螺绕环中通电流 ，在环内取以环中心为圆心，半径为 的圆形回路[截面为矩形，如图]，根据安培环路定理有 则
通过螺线管矩形截面的磁通链数 为：
14.34 一无限长直导线通有电流 。一矩形线圈与长直导线共面放置，其长边与导线平行，位置如题图14.24所示．求：
(1) 矩形线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向；(2) 导线与线圈的互感系数．
解：(1) 如图建立坐标系，在坐标 间取面元 。取矩形线圈的饶行方向为顺时针，则面元的正法矢量方向垂直纸面向里，于是该面元上的磁通量为 ，其中
穿过矩形线框的磁通量为：
根据法拉第电磁感应定律得：
由于感应电动势 ，所以此时感应电流方向为顺时针方向． （2） 根据互感系数的计算式可得： 。
14.35 一边长为 的正方形线圈，在 时正好从如图所示的均匀磁场的区域上方由静止开始下落，设磁场的磁感强度为 (如题图14.25所示)，线圈的自感为 ，质量为 ，电阻可忽略．求线圈的上边进入磁场前，线圈的速度与时间的关系。 [提示 ，其中 ；运动方程 。联合求解]
解：线框在完全进入磁场前，电动势为 ，方向为逆时针。取线框中自感电动势 的正方向同框内感应电流的方向，即逆时针方向，且此时 。
对线框列KVL方程 (式中 为线框的电阻，可忽略)，则 ①
在重力与磁力作用下线圈的运动方程为 ②
②式两边同时对t微分后把①式带入，且令 ，可得：
这是一个简谐振动方程，其解为：
根据初始条件 时， ， ，可得积分常数分别为 ， 。故
14.36 一螺绕环单位长度上的线圈匝数为 匝 ．环心材料的磁导率 ．求在电流强度 为多大时，线圈中磁场的能量密度 ？ ( )。 解：? ∴ A
14.37 一线圈的自感 ，电阻 ．在 时突然在它两端加上 的电压，此电压不再改变．求 (1) 时线圈中的电流强度；
(2) 求 时线圈磁场能量对时间的变化率． 解：(1) 在 时，线圈电流满足的微分方程为 ，即
利用初始条件 时 ，积分并化简，得
当 时， 。
(2) 线圈储存的磁能为 , 所以
当 时， W/s
14.38 在长为 、半径为 、匝数为 的细长螺线管的轴线中部，放置一个半径为 的导体圆环，圆环平面的法线与螺线管轴线之间的夹角固定成45°(如题图14.26所示)．已知螺线管电阻为 ，圆环电阻为 ，其自感不计，电源的电动势为 ，内电阻为零。设 ，螺线管与圆环的互感与螺线管的自感相比可不计。
(1) 求开关合上后通过螺线管的电流 随时间的变化规律； (2) 求开关合上后小圆环内电流随时间的变化规律； (3) 证明圆环受到的最大磁力矩为 。
解：(1) 接通后，长直螺线管与电源组成 回路． 为长直螺线管的自感系数，且
对 回路列 方程 ，分离变量后得
上式积分，且利用初始条件 时 ，得： ．
(2) 穿过圆环的磁通量为：
圆环中感应电动势的大小为：
感应电流为：
(3) 圆环受的力矩的大小为：
对上式求极值， 令 ，得 ，
且此时有 ，说明 时圆环所受到的力矩最大。最大力矩为
三、小论文写作练习
1、总结出互感系数 的几种证明方法。
2、根据电磁感应定律和简单的电子线路，设计电磁感应摆与电磁陀螺演示实验。