1．[2015·甘肃一诊]在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若bcosA＋acosB＝－2ccosC.
(1)求角C的大小；
(2)若a＋b＝6，且△ABC的面积为23，求边c的长． 解 (1)由正弦定理得sinBcosA＋sinAcosB＝－2sinCcosC， ∴sin(A＋B)＝－2sinCcosC，化简得sinC＝－2sinCcosC. ∵0<∠C<π，∴sinC≠0， 1
∴cosC＝－2，∴∠C＝120°. (2)∵a＋b＝6，∴a2＋b2＋2ab＝36. 又∵△ABC的面积为23，∠C＝120°， 1
∴2absinC＝23，∴ab＝8，∴a2＋b2＝20.
?1?
由余弦定理c＝a＋b－2abcosC＝20－2×8×?－2?＝28.
??
2
2
2
∴c＝27. 1
2．[2015·天津五区县调考]已知函数f(x)＝3sinxcosx－cosx＋2(x
2
∈R)．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右π
平移6个单位长度，得到g(x)的图象，求函数y＝g(x)在x∈[0，π]上的最大值及最小值．
131
解 (1)f(x)＝3sinxcosx－cosx＋2＝2sin2x－2cos2x＝
2
π??
sin?2x－6? ??
πππππ
由2kπ－2≤2x－6≤2kπ＋2得kπ－6≤x≤kπ＋3(k∈Z)， ππ??
所以函数f(x)的单调递增区间为?kπ－6，kπ＋3?(k∈Z)．
??
(2)函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右π??π
平移6个单位，得g(x)＝sin?x－3?，
??
π???π?π2π?3?
??????－，x－因为x∈[0，π]得：x－3∈33，所以sin3?∈?－2，1? ???π??3??所以当x＝0时，g(x)＝sinx－3有最小值－2， ??π??5π
当x＝6时，g(x)＝sin?x－3?有最大值1.
??
xxx????
3．[2015·济宁模拟]已知向量m＝?3sin4，1?，n＝?cos4，cos24?，
????记f(x)＝m·n.
π??
?(1)若f(x)＝1，求cosx＋3?的值； ??
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求f(2A)的取值范围．
xx2x解 (1)f(x)＝m·n＝3sin4cos4＋cos4 ?xπ?13x1x1
＝2sin2＋2cos2＋2＝sin?2＋6?＋2，
???xπ?1
因为f(x)＝1，所以sin?2＋6?＝2，
??
π?π?1?2?x所以cos?x＋3?＝1－2sin?2＋6?＝2. ????(2)因为(2a－c)cosB＝bcosC，
由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC， 所以2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，
所以2sinAcosB＝sin(B＋C)．
因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0， 1ππ
所以cosB＝2，又0 则A＋C＝3π，A＝3π－C，又0 π?π?1??3 所以2 ???? ?3＋1? ??3故函数f(2A)的取值范围是?. ，?2??2 4．[2015·陕西质检(二)]在△ABC中，sinA＝sinB＝－cosC. (1)求角A，B，C的大小； (2)若BC边上的中线AM的长为7，求△ABC的面积． 解 (1)由sinA＝sinB且A、B为△ABC内角，可知A＝B，从而有C＝π－2A. 又sinA＝－cosC＝cos2A＝1－2sin2A， ∴2sin2A＋sinA－1＝0， 1 ∴sinA＝－1(舍去)，或sinA＝2. π2π 故A＝B＝6，C＝3. (2)设BC＝2x，则AC＝2x，在△ACM中，AM2＝AC2＋MC2－2AC·MCcosC， 2π ∴7＝4x＋x－2·2x·x·cos3， 2 2 ∴x＝1， 112π ∴△ABC的面积S＝2·CA·CB·sinC＝2·2x·2x·sin3＝3. 5．[2015·贵州八校联考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a＋b，sinA－sinC)，向量n＝(c，sinA－sinB)，且m∥n. (1)求角B的大小； (2)设BC中点为D，且AD＝3，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积． 解 (1)因为m∥n，故有(a＋b)(sinA－sinB)－c(sinA－sinC)＝0 由正弦定理可得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac， a2＋c2－b2ac1 由余弦定理可知cosB＝2ac＝2ac＝2，因为B∈(0，π)，所π以B＝3. (2)设∠BAD＝θ，则在△BAD中， 2π??π ?由B＝3可知θ∈0，3?， ?? BDABAD 由正弦定理及AD＝3有sinθ＝2π＝π＝2； ?? sin?3－θ?sin3 ? ? ?2π??所以BD＝2sinθ，AB＝2sin3－θ?＝3cosθ＋sinθ， ?? 所以a＝2BD＝4sinθ，c＝AB＝3cosθ＋sinθ， π?? ?从而a＋2c＝23cosθ＋6sinθ＝43sinθ＋6?， ??2π??π?π5π?ππ ????由θ∈0，3可知θ＋6∈6，6，所以当θ＋6＝2， ????π 即θ＝3时，a＋2c的最大值为43； 133 此时a＝23，c＝3，所以S＝2acsinB＝2. π 6．[2015·厦门质检]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝2，AC＝3，BC＝2，P是△ABC内的一点． (1)若P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，求PA的长； 2π (2)若∠BPC＝3，设∠PCB＝θ，求△PBC的面积S(θ)的解析式，并求S(θ)的最大值． 解 (1)解法一：∵P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC＝2， π ∴∠PCB＝4，PC＝2， ππ 又∵∠ACB＝2，∴∠ACP＝4， π 在△PAC中，由余弦定理得PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos4＝5， ∴PA＝5. 解法二：依题意建立如图直角坐标系，则有C(0,0)，B(2,0)，A(0,3)， π∵△PBC是等腰直角三角形，∠ACB＝2， ππ ∴∠ACP＝4，∠PBC＝4， ∴直线PC的方程为y＝x，直线PB的方程为y＝－x＋2， ?y＝x由? ?y＝－x＋2 ∴PA＝ 得P(1,1)， ?1－0?2＋?1－3?2＝5， 2π (2)在△PBC中，∠BPC＝3，∠PCB＝θ， π ∴∠PBC＝3－θ， 2PBPC 由正弦定理得2π＝sinθ＝π， ?? sin3sin?3－θ? ??4343?π? ∴PB＝3sinθ，PC＝3sin?3－θ?， ??12π ∴△PBC的面积S(θ)＝2PB·PCsin3 43?π? ＝3sin?3－θ?sinθ ?? 2333 ＝2sinθcosθ－3sin2θ＝sin2θ＋3cos2θ－3 π?π??23?3 ＝3sin?2θ＋6?－3，θ∈?0，3?， ????π3 ∴当θ＝6时，△PBC面积的最大值为3.