2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科（文科）
2015.4
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．
1??21．已知集合A=?1,2，?，集合B=?y|y?x,x?A?，则AB? ．
2??2．若复数z?1?2i(i为虚数单位），则z?z?z? ．
3．已知直线l的一个法向量是n?1,?3，则此直线的倾斜角的大小为 ．
4．某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k?
??800?16．若从1~16中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则50在编号为33~48的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是 ． 5．已知函数y?cosx与y?sin(2x??)(0????)的图像有一个横坐标为为 ．
6．设函数f(x)?log2(2x?1)，则不等式2f(x)?f?1(log25)的解为 ． 7．设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S15?15，则a8的值为 ． 8．从2位男同学和8位女同学中选两人参加志愿者活动，假设每位同学选到的可能性都相同，则选到两位性别相同的同学的概率是 ．（结果用最简分数表示）
9．执行如图所示的程序框图，输出的结果a? ．
?的交点，则常数?的值3?1??210．矩阵?3???n?a12a22a32an2a1ia2ia3iania1n??a2n?a3n?中每一行都构成公比为2的等比数列，??ann??Sn? ．
n??n2?2n12主视图左视图第i列各元素之和为Si，则lim11．一个正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积是 ．
俯视图12．设f(x)是定义域为R的奇函数，g(x)是定义域为R的偶函数，若函数f(x)?g(x)的值域为[1,3)，则函数f(x)?g(x)的值域为 ．
BP?ABC所在平面上一点P满足PA?PC?AB，13．若?A
1
的面积为6，则?ABC的面积为 ．
14．对于曲线C所在平面上的定点P0，若存在以点P0为顶点的角?，使得???AP0B对于曲线C上的任意两个不同的点A,B恒成立，则称角?为曲线C相对于点P“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C0的相对于点P．曲线C:y?0的“确界角”
x2?1相对于坐标原点O的“确界角”的大小是 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．
1115．“??arcsin”是“sin??”的（ ）
33（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 16．下列不等式中，与不等式
x?3?0同解的是（ ） 2?x（A）?x?3??2?x??0 （B）?x?3??2?x??0 （C）
2?x3?x?0 （D）?0 x?3x?217．曲线x?y与直线x?3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）
?x?y?0?x?y?0?x?y?0?x?y?0????（A）?x?y?0 （B）?x?y?0 （C）?x?y?0 （D）?x?y?0
?x?3?x?3?x?3?x?3????18．已知函数f?x??x?sinx．给出下列三个命题：
2(1)f?x?是定义域为R的奇函数； (2)f?x?在??，?上单调递增；
?22?(3)对于任意的x1,x2???????????f?x1??f?x2???0． ，?，都有?x1?x2?????22?其中真命题的序号是（ ）
（A）(1)(2) （B）(1)(3) （C） (2)(3) （D）(1)(2)(3)
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 如图，在Rt?AOB中，?OAB??6，斜边AB?4，D是AB的中点．现将Rt?AOB以直角边AO为轴
旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且?BOC?（1）求该圆锥的全面积；
（2）求异面直线AO与CD所成角的大小． （结果用反三角函数值表示）
?2．
2
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且acosC?ccosA?2bcosA． （1）求角A的大小；
（2）若a?3,c?2，求?ABC的面积．
21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点A,B，抛物线与梯形下底的两个焊接点为C,D．已知梯形的
ABPOQ高是40厘米，C、D两点间的距离为40厘米．
（1）求横梁AB的长度;
（2）求梯形外框的用料长度． SCD（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）
22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 已知函数f(x)?R1?1?1?1?，x?g(x)?x?????．
2?x?2?x?（1）求函数h(x)?f?x??2g?x?的零点； （2）设F(x)?f2，求F?x?的最小值； ?x??mf?x?（其中常数m?0）
（3）若直线l:ax?by?c?0a,b,c为常数与f(x)的图像交于不同的两点A、B，与g(x)的图像交于
不同的两点C、D，求证：AC?BD．
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
对于一组向量a1,a2,a3,?,an(n?N*??)，令Sn?a1?a2?a3???an，如果存在
ap(p??1,2,3． ,n?)，使得|ap|?|Sn?ap|，那么称ap是该向量组的“h向量”
3
（1）设an?(n,x?n)(n?N)，若a3是向量组a1,a2,a3的“h向量”，
求实数x的取值范围； （2）若an?(()*13n?1,0)(n?N*)，向量组a1,a2,a3,?,an是否存在“h向量”？
给出你的结论并说明理由；
exe?x（3）已知a1、、，其中a1?(,0)，a2?(,0)，求证：a2a3均是向量组a1,a2,a3的“h向量”
22|a1|2+|a2|2+|a3|2可以写成一个关于ex的二次多项式与一个关于e?x的二次多项式的乘积．
4
文科参考答案
一、填空题：（每题4分） 1. ?1? 2. 6?2i 3. 6. x?0 7. 1 8. 10.
?? 4. 39 5. 6629 9. 3 451 11. 43 12. ??3,?1? 13. 12 14.
? 2
二、选择题：（每题5分）
15. A 16. D 17. A 18. D
三、解答题 19、解：（1）Rt?AOB中，OB?2 即圆锥底面半径为2
圆锥的侧面积S侧??rl?8?……………….4’
故圆锥的全面积S全=S侧+S底?8?+4??12?……………….6’ （2）过D作DM//AO交BO于M，连CM
则?CDM为异面直线AO与CD所成角……………….8’ ?DM?MC ?DM?平面OBC 在Rt?AOB中，AO?23?DM?3
QD是AB的中点 ?M是OB的中点 ?OM?1?CM?5 QAO?平面OBC在Rt?CDM中，tan?CDM?53?15，……………….10’ 3??CDM?arctan1515，即异面直线AO与CD所成角的大小为arctan……………….12’ 33
20、解：（1）sinAcosC?sinCcosA?2sinBcosA……………….3’ 所以sin?A?C??2sinBcosA，即sinB?2sinBcosA 由sinB?0?cosA?由于0?A??，故A?1……………….6’ 2?3……………….7’
5
（2）由余弦定理得，?3?2?22?AC2?2?2?AC?cos?3
所以AC?1……………….12’
1?3……………….14’ S??2?1?sin?故?ABC232
21、解：（1）如图，以O为原点，梯形的上底所在直线为x轴，建立直角坐标系 设梯形下底与y轴交于点M，抛物线的方程为：
yPOQxx2?2py?p?0?
由题意D?20,?40?，得p??5，
ABx2??10y……….3’
取y??20?x??102， 即A?102,?20,B102,?20
SCMDR????AB?202?28?cm?
答：横梁AB的长度约为28cm………………..6’
（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点 设lRQ:y?20?kx?102???k?0?………………..7’
??y?20?kx?102?x2?10kx?1002?2k?0 ?x2??10y???????得Q?52,0?,R?152,?40??OQ?52,MR?152,RQ?30梯形周长为2?52?152?302??1002?141?cm?
2则??100k?4002?2k?0?k??22，即lRQ:y??22x?20…………..10’
?2 答：制作梯形外框的用料长度约为141cm………………..14’
22、解：（1）由h(x)?3x133，函数h(x)的零点为x??………4’ ??0?x??22x33
6
m?m2?（2）则F(x)?f?x??……………..5’ ???2?4?函数f?x?的值域为???,?1?2?1,???……………..6’
m2mm若?????,?1?，即m??2,???，f?x???时，有F(x)min??……………..8’
224若?m???1,0?，即m??0,2?，f?x???1时，有F(x)min?1?m 2综上所述：F(x)min?m2m??2,?????…………….10’ ??4?1?mm??0,2??（3）设A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?,D?x4,y4?
?ax?by?c?02c?2x?x??，则……………..14’ ?2a?bx?2cx?b?0??1?1??122a?by?x????2?x???ax?by?c?02c?2同理由? 1?1???2a?b?x?2cx?b?0，则x3?x4??2a?b?y?2?x?x????则AB中点与CD中点重合，即AC?BD……………..16’
223、解：(1)由题意，得：|a3|?|a1?a2|，则9?(x?3)?9?(2x?3)2……………..2’
解得：?2?x?0 ……………..4’
(2) a1是向量组a1,a2,a3,?,an的“h向量”，证明如下：
a1?(1,0)，|a1|?1
11[1?()n?1]1113而a2?a3???an?(3,0)?(??()n?1,0)……………..7’
12231?3111111110???()n?1?，0?[??()n?1]2?,
22322234故|a2?a3???an|?1111[??()n?1]2?02??1 2234即|a1|?|a2?a3???an|
7
所以a1是向量组a1,a2,a3,?,an的“h向量”……………..10’ (3)由题意得：|a1|?|a2?a3|，|a1|2?|a2?a3|2，即a1?(a2?a3)
22a1?a2?a3?2a2?a3，同理a2?a1?a3?2a1?a3，a3?a1?a2?2a1?a2
三式相加并化简，得：0?a1?a2?a3?2a1?a2?2a1?a3?2a2?a3 即(a1?a2?a3)2?0，|a1?a2?a3|?0，所以a1?a2?a3?0……………..13’
222222222222ex?e?x由a1?a2?a3?0，则a3?(?,0)
2e2xe?2x(ex?e?x)2 |a1|+|a2|+|a3|???222e2xe?2x12x?2x???(e?e?2) 222222?e2x?e?2x?1……………..15’
?(ex?e?x)2?1
?(ex?e?x?1)(ex?e?x?1)
?(ex?11?x?1)(?e?1) x?xee?(e2x?ex?1)(e?2x?e?x?1)……………..18’
（注：分解结果不唯一）
8