班级： 姓名： 学号：
?0?A?2E??0?0?0110??0??1?~?0?1???01001??1??0??????0?得基础解系?1??0?，?2???1?
?1??0?0????????1?????取P1??0? ，P2?????0????????0?2?； ?2?2?2?当?3?4时，解方程组(A?4E)x?0，由 ?-2?A?4E??0?0?0-110??1??1?~?0?-1???00100??0????-1?得基础解系?3??1?，
?1?0?????0???取P2??12? ；
?12????x1??1???于是正交变换为?x2???0?x??0?3??0-1122110??y1????2??y2?，且有f?2y??2???y3?21?2y22?4y23。
八、证明：?是矩阵A的特征值，故有A??E?0， 则A??ET?0，即AT??E?0，-A??E?0，
（-1）nA??E?0，
A??E?0，故??是矩阵A的特征值。
176
班级： 姓名： 学号：
《 线性代数期末模拟试题一 》
一、填空（本题20分每小题2分） 得分
阅卷人
1．设det(aij)为四阶行列式,若M23表示元素a23的余子式，A23表示元素a23的代
数余子式，则M23+A23= 。
a110a220a130中只有位于两条对角线上的元素均不为零， 则该a332．三阶行列式0a31三阶行列式的所有项中有 项不为零，这一结论对n阶行列式
（填成立或不成立）。
3．设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵A?(?1,?2,?3),记矩阵
B?(?1?2?2,?2??3,?1??3)，若B?6，则A?。
?2?4．设矩阵A??0??1?1??1??3?,B??7??12???4232???10?,C???8??1?75?2?T?，则AB?2C??4?。
5．设矩阵A可逆，且矩阵C?AB，所以矩阵C一定可以由矩阵B经过（填行或列）初等变换而得到。
6．设向量组?1,?2,,?3,?4，若R(?1,?2,?3)?2,可以由向量
R(?2,?3,?4)?3, 则?1一定
唯一的线性表示。
131
班级： 姓名： 学号：
7．非齐次线性方程组Ax?b有 唯一的解是对应的齐次方程组Ax?0只有零解的充分但不必要条件。
8．设3阶矩阵A的行列式A?0 ，则矩阵A一定有一个特征值9．n阶矩阵A有n个特征值1，2，?,n，n阶矩阵B与A相似，则B?。 。
10．向量组：p1?12?1,1?,p2?12?1,?1?
（填是或不是）向
量空间R2一个规范正交基。
二、单项选择（本题10分，每小题2分）
注意：请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！ 题号 答案序号
1．设矩阵A为n阶方阵，则关于非齐次线性方程组Ax?b的解下列说法（ ）不正确
（A） 若方程组有解，则系数行列式A?0; （B） 若方程组无解，则系数行列式A?0;
（C） 若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解;
1 2 3 4 5 132
班级： 姓名： 学号：
（D） 系数行列式A?0是方程组有唯一解的充分必要条件. 2. 设A为n阶可逆矩阵，下列正确的是（ ） （A） (2A)T?2AT； (B) (2A)?1?2A?1； (C) [(A?1)?1]T?[(AT)]?1；(D) [(AT)T]?1?[(A?1)?1]T。
3. 奇异方阵经过（ ）后，矩阵的秩有可能改变。 (A) 初等变换； (B) 左乘初等矩阵；
(C) 左、右同乘初等矩阵； (D) 和一个单位矩阵相加。
4．设非齐次线性方程组Ax?b的系数矩阵A是4?5矩阵，且A的行向量组线性无关，则有（ ）。
(A) A的列向量组线性无关；
(B) 增广矩阵B的行向量组线性无关；
(C) 增广矩阵B的任意4个列向量组线性无关； (D) 增广矩阵B的列向量组线性无关。 5．设??2是非奇异矩阵
?1?则矩阵?A2?A的一个特征值，
?3??1有一个特征值为 ( )
(A) 4/3； (B) 3/4；(C) 1/2； (D) 1/4。
三、计算（2道题，共16分）
321．设行列式D=
02?73420?2020，求M31?M32?M33?M34（其中205M31,M32,M33,M34分别是第三行各个元素的对应的余子式）。
133
班级： 姓名： 学号：
1b1b22．计算
1a1b2?bn?1bn得分
1a1a2?bn?1bn
1a1a2?bn?1bn??????1a1a2?an?1an
0201??0? 1??n?1 （n?1)
bn-1bn
四、（本题12分）
阅卷人
?1?A?已知A，B为3阶矩阵，E表示3阶单位阵，且?0??1?（1） 求A?1 ；（2）证明矩阵(A?E)为逆矩阵；
（3）若矩阵A，B满足AB?E?A2?B，证明B?A?E。
五、（本题12分） 问k取何值时，方程组
得分
阅卷人
??x1?x2?2x3?3x4?1??x1?3x2?6x3?x4?3?3x1?x2?kx3?15x4?3 ??x1?5x2?10x3?12x4?1⒈有唯一解；2.有无穷多解，并求通解。
六、（本题10分）
得分
阅卷人
134
班级： 姓名： 学号：
向量组A：?1,?2,?3,?4,由四个向量组成，其中
?1????1???1?1?， ???3?????1??3???2?????????3??2???6?，，?????3??1??4?10?， 25????????1??4??2????????求：（１）向量组A的秩RA；（2）向量组A线性相关性；（3）向量组A的一个最大无关组。
七、（本题10分）
得分
阅卷人
已知二次型f(x1,x2,x3)?x12?x22?x32?2ax2x3?2x1x3（其中a为待定系
数）经过正交变换x?Py化为f?2y22?y32，试回答下列问题：
(1) 写出二次型的矩阵A可以含待定系数a； (2) 写出A的全部特征值； (3) 利用（1）、（2）求出a的值
八、（本题5分）
得分
阅卷人
在R中，取两组基
?组：?1?(1,0,?1)T，?2?(1,?1,0)T，?3?(0,1,?2)T ?组：?1?(2,1,0)T，?2?(?1,2,1)T，?3?(1,1,0)T
若向量b在基?1,?2,?3下的坐标为?1,?1,?1?，求它在基?1,?2,?3下的坐标
九、（本题5分）
得分
阅卷人
135
班级： 姓名： 学号：
?2?七、 解： ⒈ A?0???003a0??2??a f(x1,x2,x3)?[x1,x2,x3]0???3???003a0??x1????ax2 ???3????x3??⒉ 因为?1?1是特征值，所以E?A?0而
?10?2?a0?a??(4?a)，所以a?2(a??2舍去） ?22 E?A?00当a?2时，
??2 ?E?A?0000?2?(??1)(??2)(??5)
??3?2??3所以A的另两个特征值为?2?2,?3?5
???0????⒊当?1?1时，解方程组(?1E?A)x?0,得?1?1,单位化得?1????????1????????0?1? ?21??2?当?2?2时，解方程组(?2E?A)x?0,得?2?1??1??????0,单位化得?2?0 ???????0???0??????00????1??? 当?3?5时，解方程组(?3E?A)x?0,得?3?1,单位化得?3?????2????1??1???2?? 171
班级： 姓名： 学号：
??x?1????作正交变换：x2???????x3??????f?y1?2y2?5y3
2220121210001212????y1???y?，则二次型化为标准形
2??????y3????⒋由于二次型的特征值均大于零，所以二次型的秩是3，二次型是正定的。
八、证明：⒈⑴ 因为矩阵A的各列成比例，且不为零，所以秩(A)?1； ⑵ 因为Aw?nw，所以向量w是A的特征向量，并且所对应的特征值为n。
⒉因为?1,?2,?,?n?r?1是非齐次线性方程组Ax?b(b?0)的n?r?1线性无关的特解，所以?1??n?r?1,?2??n?r?1,?,?n?r??n?r?1是对应的齐次线性方程组Ax?0的n?r解，且可证它们是线性无关的。 因此方程组Ax?b的通解为
x?k1(?1??n?r?1)?k2(?2??n?r?1)???kn?r(?n?r?n?r?1)??n?r?1
n?rn?r?1i其中k1,k2,?,kn?r是任意常数。取kn?r?1?1??ki?1，则
?ki?1i?1，且
x?k1?1?k2?2???kn?r?1?n?r?1
《 线性代数期末模拟试题六答案 》
一、填空：1、10；2、?12； 3、32 ；4、3行2列，1行2列；
?45、???3?2?1? ， 1?10??4???3?2??；6、无 ；7、0；8n?1 ；9、AT；10、 2 ， 2。 ?1?二、 单项选择：1,C；2，D；3,D；4,A； 5,C。
172
班级： 姓名： 学号：
三、计算行列式（每题7分，共14分）
11322?5?9?1?4344011121?51?113?24311100?51?303?28-1解：1．
201=
000=
000=3
1?122?2??2333??3????n?1n?1n?1?1?nnn1022?20?032?32?3?0?????n?12(n?1)2(n?1)?0n2n2n=2?2nn-12． ?1??1n=0?n?0?n!
四、计算矩阵（每题8分，共16分）
?210000300??0??1??2???1??0?0??0?010032?201??1???1??0=??30????3???0?1??0解：1、原式=?0??0??2100?12?603???1? ?12?0??
2、（1）由2B?4A?AB可得：AB?2B?4A?8E?8E，即
(A-2E）（B-4E）?8E所以A?2E可逆；
又由2B?4A?AB可得：4A?(A?2E)B，即
B?4(A?2E)A，而A?2E及A均可逆，
?1故B可逆。
??3??1（2）由2B?4A?AB可得：A?2B(B?4E) (B?4E)=?1?0??2?200??0? ?2?? 173
班级： 姓名： 学号：
(B?4E)?1???2???1??0?2?30?0??0 1???2?2?30?0??0?=??80?1?????02??1?所以A=2?1?0??2200??0?2?????2??1??0?16?801210??0? ?2??11??1??? ???1?1?五、解：增广矩阵B??1??1121?211??1???1????1??11????2?1???0?0?110210??1???? ??1??1当?2?1?0时，即???1时，R(A)?R(B)?3，方程组有唯一一组解； 当???1时，R(A)?2，R(B)?3，方程组无解； 当??1时，R(A)?R(B)?2，方程组有无数组解； ?1?此时，B??0?0?1101001??1??1???0?00???0101000??1? 0???x1??x3对应的同解方程组为：??x2?1?0???令x3?0，得特解：???1?，
?0????0???1?????1?k0此时方程组的通解是：x????=???? 。 ?0??1?????
174
班级： 姓名： 学号：
六、解：
?2??1令A=(?2,?1,?3,?4,?5)=?4??3??11?66?1?22?911?272??4?4??9???1??0?0??0?1100?2?10011104??0? ??3?0??r~故R(A)?3，故向量组A的秩为3；
?1????0由于??,?,??~?214????0??0???????11001??1?，即R(?,?,?)?3，
214?1?0?????故?,?,?是向量组A的一个最大无关组；
124rA~?1??0?0??0?0100?1?10000104?????3?故??????， ?312?3?0???5?????4?2?3?1?3?4。
?2?七、解：二次型矩阵为A??0?0?2??A??E?0003??1013??（2-?）(4??)， =
20310??1?， 3??故A的特征值为?1,2?2，?3?4； 当?1,2?2时，解方程组(A?2E)x?0由
175
班级： 姓名： 学号：
?0?A?2E??0?0?0110??0??1?~?0?1???01001??1??0??????0?得基础解系?1??0?，?2???1?
?1??0?0????????1?????取P1??0? ，P2?????0????????0?2?； ?2?2?2?当?3?4时，解方程组(A?4E)x?0，由 ?-2?A?4E??0?0?0-110??1??1?~?0?-1???00100??0????-1?得基础解系?3??1?，
?1?0?????0???取P2??12? ；
?12????x1??1???于是正交变换为?x2???0?x??0?3??0-1122110??y1????2??y2?，且有f?2y??2???y3?21?2y22?4y23。
八、证明：?是矩阵A的特征值，故有A??E?0， 则A??ET?0，即AT??E?0，-A??E?0，
（-1）nA??E?0，
A??E?0，故??是矩阵A的特征值。
176
班级： 姓名： 学号：
2．证明：设t?n?r，?r(B)?r,?Bx?0的基础解系有设Bx?0的基础解系为t个向量
v1,v2,?,vt,下面证明v1,v2,?,vt也是ABx?0的基础解系?0,即vj也是ABx?0的解，j?1,2,?,t.
（1）?Bvj?0,?ABvj（2）?v1,v2,?,vt是Bx?0的基础解系,?v1,v2,?,vt线性无关 （3）?r(AB)?r,?ABx?0的基础解系所含向量的所以v1,v2,?,vt也是ABx?0,的基础解系，因此个数为n?r?t 。
ABx?0与Bx?0同解
《 线性代数期末模拟试题三 答案》
一、填空：1．0; 2．2,5,1; 3．ATA?I; 4．R(A)?R(B)(其中B?(A,b)) 二、选择填空：1. D； 2. C ;3.C；4.A
5?14?656?2?22601005?1456?2三、解：1.原式=
1?315?14?9?36?20=-144 0=(?1)2?4?312=2616
a11?110a2?1100?11??00002．原式=(?1)n?2?00n?2a1a2?an ?an?10 =(?1)?1an四、解：（1）(B?bE)(A?aE)=BA?bA?aB?abE；
（2）将aB?bA?BA代入（1）得(B?bE)(A?aE)=abE，
161
班级： 姓名： 学号：
?ab?0，?B?bE?A?aE?0，故A?aE及B?bE均可逆；
（3）由aB?bA?BA得，A?(B?bE)?1aB，即A?(B?4E)?12B
?0??1?1?E?AB?得：A?(B?4E)2B=??1?0?2?141701432?101r2?10由(A?B)~0??0? ?2????1??0?????0????02?7017?21032???7? ?4??1??1?3五、 解：1．A?[?1,?2,?3,?4]???2??0?1?0???0??0210073002??1??U 所以r(A)?3 1??0?2．由于矩阵A的秩为3，所以A的列向量组的秩也为3，而向量的个数为4，所以矩阵A的列向量组是线性相关的。
3．由于A经过初等行变换后化为U，而U的第1，2，4列是U的列向量组的一个极大线性无关组，所以?1,?2,?4是A的列向量组的一个极大?1??2~~~~六、解：A??3??4??52?11?75?13?18?63?42?1511?11160?5??14??11?
?32???41?010000010001?10081514?151?300?31??15?28?15?20?
?3?0?0??线性无关组。
?1??0? ??0??0??021000?1?110032?100?13?51?300?524?520300??1?????0???????0????0??0?162
班级： 姓名： 学号：
318?x???x51?1515?2814??x4?x5对应同解方程组?x2?1515??x?20?x?1x345?33??31???15?28?15??20??3?0?0?令x4?x5?0，得非齐次方程组得一个特
解????8??x??x51??15??14?x??x?x5 ，对应齐次方程组的同解方程组?24?15???x?x?1x?345??3????8???15?14?15??1??3?0?1?
?0?????1??x4??1??0???令??1??得齐次方程组得基础解系：?1??1?，?2?0??，??x?????5??????1???0??????? ?????
?1?七、解： ⒈ A??2???2?24?422??1???4 f(x1,x2,x3)?[x1,x2,x3]?2???4???2?24??(??9)?0
2?24?42??x1?????4x2 ???4????x3????1⒉ 由?E?A?2?2??44??4得特征值为：?1??2?0,?3?9 。
?2???2?????⒊当?1??2?0时，解方程组(0I?A)x?0,得基础解系?1?1,?2?0
???????0???1??
163
班级： 姓名： 学号：
?2???正交化得 ?1?1,?2????0???2??2??2????????5?535?????4?14? ?,????单位化得 ?1????2?35??5??5??5??0??1????????????35?当?3?9时，解方程组(9E?A)x?0,得?3?1??3??1???2???? ??2,单位化得?3?????3???2???2???3????x?1????作正交变换：x2???????x3?????25150?2354355351??3?y??1?2???2y2，则二次型化为标准形f?9y3 ???3??2??y3??3?⒋由于?1??2?0，?3?9，所以二次型的秩是1，二次型不是正定的。 八、1．证明：因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使P?1AP?B， 因此PA(P)TTT?1T?B，所以A与B相似。
TT2． 证明：设有常数?1，?2，?3，使得?1b1??2b2??3b3?0，则有
(?1??3)?1?(?2??1)?2?(?3??2)?3?0
??1??3?0?由于向量组?1,?2,?3线性无关，所以有??2??1?0
?????02?3解之得：
?1??2??3?，所以b1,b2,b3线性无关。
164
班级： 姓名： 学号：
《 线性代数期末模拟试题四 》
一、填空题：1、12； 2、左；3、k3；4、3；5、无；6、-1，1，3，5。 二、选择填空：1、A；2、A；3、A；4、C；5、C；6、B。
11?5311?5311?53三、解：1、
23?94?1?1411?402?14=
002?14=
000?312 =-3 。
12?40011?30001abbb1bbb2，原式=
abbabb21abbba?bbab=(a2?b)?(a?3b)1bab
bbba1bba1bbb=(a2?b2)?(a?3b)0a?b00200a?b0=(a2?b)?(a?3b)(a?b)3
000a?b=(a?b)?(a?3b)(a?b)4
??2?1011?四、解：令TTA?(?1,?2,?TTT3,?4,?5)=?11?102????25?4?29? ???33?3?18????11?102?1?102???2?1011???1???3213????25?4?29????0?000?12?，由此得： ?????33?3?18????00000??（1）该向量组的秩为3。
（2）?1,?2,?4是该向量组的一个最大无关组。继续对A实行行的初等变换得： 165
班级： 姓名： 学号：
??10?111??303?A??2?01??30?5??3?，由此得： ?0001?2??00000??（3）?123??3?1?3?2； ?5?113?1?53?2?2?4。
??1??1?0??1?~五、解：：由A??01?10?0????1??2112?0??0????00?31??1????1????00（1）??3且??12时，方程组有唯一解。
（2）??3时，无解。
??1~?（3）??1时，有无穷解。在有无穷多组解时，A??02??0??0??x1??x2?2?3???1???5????x?x?5??23通解为：X?k?1???0?。 ?x?x??33??1?0????0?2??x??245??????5?? 166
?1?0??10?0??2?4?0?0?得： ?0??3?1??010?2?5?1?10?0??，由此得：001??2?5?000?0??
班级： 姓名： 学号：
六、解：?ABAT?2BAT?C?B??A?2I?CA?1??T?1??3?A?2I?0???00?100???2??1????A?2I??1?1??3???0??0??0?130?0?2? ?3?1??3??(A)T?1???1???0??0??01323??0??0??0?，则B??1??1??1???3??30?1131?3?1???。 3?1??9???2?七、解：（1）A?1???01200??0，f(x1,x2,x2)?X?4??TAX。
2??12??0004??（2）A??I?10=(2??)?1(4??)
?2??2????1，??4即?1?1，?2?3，?3?4。
?1?（3）?1?1时(A?I)X?0，A?I?1???01100??1??0~0??4????01000??1， ?0????1???1????1?基础解系：?1??1?，单位化?1??1?；
2??0?????0? 167
班级： 姓名： 学号：
同理可求：?2?1??1??0??0???????1????1?，?2?1??0??；，?????0?。 332???0??1??1????0?????22220?0???0，正交变换X?PY可以使二次型化为标准形： ?1????22????取P???????22220f(x,x,x)?y1?3y2?4y3
2
?2?（4）A?1???01200??1??0~0??4??0??2?300??0所以，二次型的秩是3； ?4??由于特征值都大于零，故属正定二次型。 八、证明：设有k1,?,ks,?1,?,?t使得：
k1?1???ks?s??1?1????t?t?0成立，
则需证：ki?0,?i?0。
令r?k1?1???ks?s???1?1????t?t，则?r?r??0
?r?0，而?1,?2,??s线性无关，?ki?0。
同理可证?i?0。
《 线性代数期末模拟试题五答案 》
?1?一、填空题：一、⒈ 6k；⒉ A?0???002?20???3； ⒊ 相； ⒋ 0 。 ?4?? 168
班级： 姓名： 学号：
二、选择填空：⒈ (B)；⒉ (D)；⒊(D)； ⒋ (C) ?
12345222216。
345622224567222212232421223242三、解:⒈
234222=
357579791191113=
322522722922=0
⒉相邻两列相减（后列减前列）得
x1?1x2?1?xn?1x1?2x2?2?xn?2????x1?nx2?n?xn?nx1?111?1????11?1=
x2?1?xn?1=0
?1?四、解：B?(A?b)??1????5?1?24?52??1??1?0????1???0?1???24?5???102??3 ?9??⒈当???⒉当???4545时，R(B)?3,R(A)?2，此时方程组无解。
,??1时，R(B)?R(A)?3?n，此时方程有唯一解。
?1?⒊当??1时，B?0???0?1001392??3 ??9???1?0???0?1000101??1 ?0??与原方程同解的方程为
?x1?1?c ?x3?1?，取x2?c得方程的通解为?x2?c c?R ??x1?1?x2?x?1 ?3五、解：(AB)?1=B?1A?1
169
班级： 姓名： 学号：
A?1?5????2??0??210??0??0? (B,E)?1?1???1?3?0101110110010100??0?1??
?1??0???001011?201?110?1??0?1??0??0??1???0??010001?2121221?2121?2?1?? 2?1??2??B?1??????????1121?212?1212121?2?1??2?1??2??121?2121?2?1??2?1??2???5???2??0???0?1??3?0
????1?1?1(AB)=BA=?????21212?210?7??2?7=??2?3??2323?21?21?6?1?? 6?1??6??六、证明：⒈根据分块矩阵乘法直接可得证
⒉对⒈式两边取行列式可得证 ⒊由⒉式可知，??I⒋由于???CA?A?CB??可逆的充分必要条件是D?CAD??1?1即矩阵D?CAB?0，
?1 B可逆。
?10??I? , ?I??0?AB??均可逆，所以由⒈式 I?0??A??I??CB??I??D??0?AB???r(A)?r(D?CA???I???1??Ar???C????B??I????r??D??????CA?1?1B)
170