六年级上册第三单元 分数除法
错例一
【错例来源】课堂作业本中的第22页第3题。 【错题再现】在下图中，用阴影表示算式的意义。
图1 图2 图3
【题意解读】此题主要考查学生对“分数除以整数”运算意义的理解。
2【情况说明】学生出错的情况主要有以上几种：一是用阴影只表示出得数（如图1），
92约占23%；二是只表示出了，而对于“÷3”则无从下笔（如图2），约占30%；三是
321表示出了整个图形的，又表示出了整个图形的（如图3），约占8%，主要集中在后
3320%的学生。
2÷3= 答题情况 3【原因分析】分数除法算式意义的理解是教学的难点，学生在平时的生活中缺乏此类知识的经验基础，教材的配套练习量也不够；教材在呈现这部分内容时先通过动手操作，再到几何直观，最后将算式与操作、图形相联系来帮助学生理解“分数除以整数”算式的意义，知识的学习遵循学生由具体到抽象的认知规律。而此题却以逆向思维为主，将抽象的算式用几何直观来表示出分数除法算式的意义，对学生来说，难上加难。另外，此题需先在图中用阴影表示出9格的
2，即6格，再将6格平均分成3份，取其中13数 ↓ 算 ↓ 分 ↓ 涂 ↓ 算 ↓ 分 ↓ 涂 份再涂上阴影——在这个过程中含有两个整体，分别是总数9格和9格中的6格。而这对于后进生来说，非常难。如果将过程分解得再细致点，此题需要经过：
（1）数数，得出共9格；
（2）9÷3=3（格）。将9格平均分成3份，每份3格； （3）3×2=6（格）。取2份，即6格，涂阴影；
（4）6÷3=2（格）。将涂阴影的6格再平均分成3份，每份2格； （5）取1份，即2格，再涂阴影。
÷3 23【教学提示】综上所述，在教学“分数除以整数”的教学过程中，应为学生提供有效的操作活动，呈现清晰的几何直观，暴露完整的思维过程，帮助学生深刻地理解分数除以
1
整数算式的意义，并应用逆向思维，防止学生的思维定势，培养灵活应用知识的能力。
1.动手操作。根据算式的意思，通过折一折，说一说，将过程细化，初步感知分数除以整数的意义，积累活动经验，为后续的抽象学习建立现实基础。
2.几何直观。将操作的过程通过几何图形展示出来，请学生描述平均分的过程：首先将整体进行平均分，取相应的份数；其次将所取的份数再进行平均分。
3.建立模型。回顾操作的过程，结合算式想象每一步的关键点，并说给同桌听。 4.有效练习。设计有效的相匹配的练习，重视对思维过程和算理的考察，包括基础题、变式题等，加深学生的记忆痕迹。 【延伸拓展】先在下图中涂色表示
4，再按除法算式分一分，并填空。 54÷2=（ ） 544÷2就是求的（—）是多少。 55如上题所示，将题目的要求细化，有利于学生理解题意，知道先做什么再做什么，从而将抽象的算式与具体的图形、操作的步骤、意义等建立联系，最后通过填空将思维提升到算理的概括与理解上来。 错例二
【错例来源】课堂作业本第24页第3题 【错题再现】下面的计算对吗？不对的请改正。
111÷（+） 4261111=÷+÷ 424613 =+
22 =2（√） 【题意解读】分数四则运算的熟练掌握情况。
【情况说明】学生的错识情况如上，约有48%的学生认为是对的。学生将乘法分配律“负迁移”到分数除法，有简便运算的意识，但对于除法意义理解不够全面。 【原因分析】在本册单元一分数乘法的学习过程中，有乘法分配律的应用，而且学生练习得较为扎实。“因为乘法有分配律，所以除法应该也有分配律”——在问及想法时很
多学生是这样想的。确实，除法为什么不能有呢？而且学生还举例
2
111+）÷ 2641111=÷+÷ 2464（
=2+
23
2=2 3——在计算这类分数除法算式时却可以有类似“分配律”的应用，说明分数除法里也有除法分配律。
【教学提示】学生的想法很合理也很正常，符合他们的身心发展规律和认知特点。那么，面对这样的错例，我们该如何引导他们进行辩证地思考问题呢？
1. 充分肯定学生的猜想。学生能根据已有的知识经验对未知的新知识进行大胆地猜想和推断，是非常值得肯定的，说明他们的逻辑思维能力已逐步提高。
2. 引导学生验证结果的正确性。应用“除法分配律”计算“
111÷（+）”的结426果是否正确，可以用一般的计算方法来反证。遵循四则混合运算的法则，先算小括号里
1111233÷（+）=÷=，一般计算方法得到的结果与“除法42643883分配律”得到的结果2不一致，可以肯定是对的，“除法分配律”是错的。
8的加法，再算除法得
3. 观察对比，突出本质。
111111+）÷ （+）÷ 264264111121=÷+÷ =÷ 246434（
=2+
2328 =
33=2（“除法分配律”） =2
23（“一般算法”）
111+）÷可以看做是264得数一致。为什么这类的分数除法的“分配律”可行？因为（
11（+）×4，即可以转化为分数乘法，符合乘法分配律的条件。所以，看上去是除26111法，可实际上是乘法。但÷（+），却不能将“÷”直接转化成“×”进行计算。
4264. 总结特点，概括方法。区别a÷(b+c)与(b+c)÷a，在计算时要注意检查，并用一
3
般算法再仔细验证。
221【延伸拓展】教科书练习八（P39）第5题“计算下面各题”中的“35÷（1-）”、“
74013÷（+）”等算式均会出现这种错误情况。因此，在做练习的时候，可以通过相似
105222113题型的对比进行适当的强化和巩固练习，如35÷（1-）与（1-）÷35，÷（+）
77401051321与（+）÷等。
10540 错例三
错例来源】课堂作业本中的第32页第4题。 【错题再现】果园里桃树42棵，比苹果树的棵数少第一种答案：42×（1+
1。苹果树有多少棵？ 71）=48（棵） 711第二种答案：42—42×=36（棵） 或 42×（1-）=36（棵）
771111第三种答案：其他。①42×=6（棵） ②42÷=294（棵） ③42+=42（棵）
7777【题意解读】主要考查学生稍复杂分数除法解决问题的理解与应用。 【情况说明】学生的答题情况如下:
答题情况 1 1）=48（棵） 7142—42×=36（棵） 7142×（1-）=36（棵） 7人数 35人 错误率 40.2% 42×（1+2 11人 12.6% 3 - 其他 - 10人 - 11.5% 64.3% （学生总人数：87人。）
【原因分析】稍复杂的分数除法解决问题是本单元教学的难点。学生在解决此类问题时主要有以下几点认知缺陷或者盲点：
1. 知识的“负迁移”。 从与学生的谈话中了解到，“桃树比苹果树的棵数少是“苹果树的棵数比桃树多
1”就71”——大部分学生是这样理解的。而实际上这是不相等的。74
造成这种认知结构缺陷的原因主要是原有知识的“负迁移”。因为在学生的头脑中存在大量的“反面”例证，如：
白兔比灰兔多8只，就是灰兔比白兔少8只。
实际比计划多生产0.5吨，就是计划比实际少生产0.5吨。 ??
学生已经对此类知识进行了抽象和概括——“甲比乙多几，就是乙比甲少几”。但这里的“几”仅限于具体的数量，对于分率就不适用了。学生对此类分数除法问题的新的联系没有建立起来，新知识未有效同化，未建立起稳固的连接，而被旧有的理解所代替。
2. 对分率的理解不够准确和深刻。具体表现为找不出题目中的“单位1”，对于题目中的分数是表示具体的量还是分率？无法理解和准确区分。
3. 解决问题的方法和策略单一。在学生的答题中，仅有1人有画线段图来帮助理解和解决问题，学生对于抽象的问题无法通过几何直观进行分析，更无法准确找出相应的数量关系。
4. 教材强调用方程解答，但在答题的过程中，仅有5位同学（约占0.5%）用方程的方法解决这类问题，99%的同学选择用算术方法解答。方程方法有它的优势，但学生由于解方程过程的繁琐而不愿意用方程解答。而算术方法是方程方法的逆向方法，在理解上比方程更难。
【教学提示】通过以上分析，在教学过程中应立足学生的难点和疑点，采用多种方式降低题目的抽象性，采用几何直观、数量分析等方式帮助学生理解题意，厘清思路。
1.简化处理信息，理解分率含义。在课堂上引导学生对信息进行有效地简化，培养学生由外化进入简约内化的处理能力。以分数的意义为主线，多层次、多角度展开对分率的讨论，使学生真正理解分率的含义。
2.直观呈现，发挥线段图作用。线段图是学生从直观向抽象过渡的桥梁，是分析问题和理解数量关系的好助手。因此，在教学过程中应引导学生认识线段图，掌握看线段图的方法，并尝试画线段图，提高用线段图的意识和能力。
3.强调数量关系。数量关系是解决问题的最重要的策略，它反映的是数量之间本质的内丰联系。在教学时，可以经常做“根据已知条件，说一说隐含数量关系式”的练习。
4.凸显方程优势，促进有效建模。 5.拓展题目类型，设计对比练习。 【延伸拓展】
5
1.课前补充“求一个数比另一个数多（少）几分之几”的相关知识，意图是让学生在学习例题之前明白“甲比乙多
11，不可以说乙比甲少”，完善“比较量相同、标准44量不同，分率也不同”的认知结构。
如：男生4人 ○ ○ ○ ○ 女生5人 ○ ○ ○ ○ ○
11），也就是女生比男生多（）； 4411男生比女生少1人，少的人数是女生的（），也就是男生比女生少（）。
5511思考：男女生相差的人数都是1人，为什么说女生比男生多，男生比女生少，
451而不是男生比女生少呢？
4女生比男生多1人，多的人数是男生的（
2.设计对比练习。 （1）标准量对比练习
1。绘画组有多少人？ 41②学校航模组有 24 人，航模组的人数比绘画组少。绘画组有多少人？
4①学校航模组有 24 人，绘画组的人数比航模组少
（2）比较量对比练习
①学校航模组有 24 人，航模组的人数比绘画组少②学校航模组的人数比绘画组少（3）分率量对比练习
①学校航模组有 24 人，比绘画组人数的2倍少6人。绘画组有多少人？ ②学校航模组有 24 人，比绘画组人数的
1少6人。绘画组有多少人？ 41。绘画组有多少人？ 41，正好少24人。绘画组有多少人？ 4 6
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