专题四 功和能
一． 专题要点
1.做功的两个重要因素：有力作用在物体上且使物体在力的方向上发生了位移。功的求解可利用W?Flcos?求，但F为恒力；也可以利用F-l图像来求；变力的功一般应用动能定理间接求解。
2.功率是指单位时间内的功，求解公式有平均功率P?瞬时功率P?WtWt?FVcos?，
?FVcos?，当??0时，即F与v方向相同时，P=FV。
3.常见的几种力做功的特点
?重力、弹簧弹力，电场力、分子力做功与路径无关 ?摩擦力做功的特点
①单个摩擦力（包括静摩擦力和滑动摩擦力）可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零，在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的转移，没有机械能的转化为其他形式的能；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值，在一对滑动摩擦力做功的过程中，不仅有相互摩擦物体间机械能的转移，还有机械能转化为内能。转化为内能的量等于系统机械能的减少，等于滑动摩擦力与相对路程的乘积。
③摩擦生热，是指动摩擦生热，静摩擦不会生热 4.几个重要的功能关系
?重力的功等于重力势能的变化，即WG???EP ?弹力的功等于弹性势能的变化，即W弹???EP ?合力的功等于动能的变化，即W合??EK
?重力之外的功（除弹簧弹力）的其他力的功等于机械能的变化，即W其它??E ?一对滑动摩擦力做功等于系统中内能的变化，Q?Fl相对 ?分子力的功等于分子势能的变化。
1
第二部分：功能关系在电学中的应用
1. 电场力做功与路径无关。若电场为匀强电场，则W?Flcos??Eqlcos?；若为非匀强电场，则一般利用UAB?WABq来进行运算。
2. 磁场力可分为安培力和洛伦兹力。洛伦兹力在任何情况下对运动电荷都不做功；安培力可以做正功、负功，还可以不做功。
3. 电流做功的实质是电场移动电荷做功。即W=UIt=Uq。
4. 导体棒在磁场中切割磁感线时，棒中感应电流受到的安培力对导体棒做负功，使机械能转化为电脑。
5. 电场力做功等于电势能的变化，即WAB???EP
典例精析
题型1.（功能关系的应用）从地面竖直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为H。设上升过程中空气阻力为F恒定。则对于小球上升的整个过程，下列说法错误的是（ A. 小球动能减少了mgH B.小球机械能减少了FH C.小球重力势能增加了mgH D.小球加速度大于重力加速度g 规律总结：功是能量转化的量度，有以下几个功能关系需要理解并牢记 ?重力做功与路径无关，重力的功等于重力势能的变化
?滑动摩擦力（或空气阻力）做的功与路径有关，并且等于转化成的内能 ?合力做功等于动能的变化
?重力（或弹力）以外的其他力做的功等于机械能的变化 题型2.（功能关系在电场中的应用）如图所示匀强电场E的区域内，在O点处放置一点电荷 +Q， a、b、c、d、e、f为以O点为球心的球面上的点，aecf平面与电场平行，bedf平面与电场垂直，则下列说法中正确的是 A．b、d两点的电场强度相同 B．a点的电势等于f点的电势
C．点电荷+q在球面上任意两点之间移动时，电场力一定做功
2
b · · a +Q ·o · e f · · c E · d D．将点电荷+q在球面上任意两点之间移动，从球面上a点移动到c点的电势能变化量一定最大
规律总结：1.在等势面上移动电荷是，电场力不做功。 2．电场力做功与路径无关，W=qU。 3.电场力做的功等于电势能的变化量。 题型3.（功率及机车启动问题）
审题指导：1.在汽车匀加速启动时，匀加速运动刚结束时有两大特点
?牵引力仍是匀加速运动时的牵引力，即F?Ff?ma仍满足
3
?P?P额?Fv
2.注意匀加速运动的末速度并不是整个运动过程的最大速度
题型4.（动能定理的应用）如图所示，竖直平面内的轨道ABCD由水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧轨道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道固定在水平面上。一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动能E冲上水平轨道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平轨道AB的中点。已知水平轨道AB长为L。求： （1）小物块与水平轨道的动摩擦因数?
（2）为了保证小物块不从轨道的D端离开轨道，圆弧轨道的半径R至少是多大？
（3）若圆弧轨道的半径R取第（2）问计算出的最小值，增大小物块的初动能，使得小物块冲上轨道后可以达到最大高度是1.5R处，试求物块的初动能并分析物块能否停在水平轨道上。如果能，将停在何处？如果不能，将以多大速度离开水平轨道？
规律总结：应用动能定理要比动力学方法方便、简洁。只有应用动力学方法可以求解的匀变速直线运动问题，一般应用动能定理都可以求解。尽管动能定理是应用动力学方法推导出来的，但它解决问题的范围更广泛。
题型5.（综合问题）滑板运动是一项陆地上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的滑坡上滑行，做出各种动作给人以美的享受。如图甲所示，abcdef为同一竖直平面上依次平滑连接的滑行轨道，其中ab段水平，H=3m，bc段和cd段均为斜直轨道，倾角θ=37o，de段是一
4
半径R=2.5m的四分之一圆弧轨道，o点为圆心,其正上方的d点为圆弧的最高点，滑板及运动员总质量m=60kg，运动员滑经d点时轨道对滑板支持力用Nd表示，忽略摩擦阻力和空气阻力，取g=10m/s2，sin37o=0.6，
cos37o=0.8。除下述问(3)中运动员做缓冲动作以外，均可把滑板及运动员视为质点。 (1)运动员从bc段紧靠b处无初速滑下，求Nd的大小；
(2)运动员逐渐减小从bc上无初速下滑时距水平地面的高度h，请在图乙的坐标图上作出Nd-h图象(只根据作出的图象评分，不要求写出计算过程和作图依据)；
(3)运动员改为从b点以υ0=4m/s的速度水平滑出，落在bc上时通过短暂的缓冲动作使他只保留沿斜面方向的速度继续滑行，则他是否会从d点滑离轨道?请通过计算得出结论
题型6.（功能关系在混合场内的应用）如图所示，MN是一固定在水平地面上足够长的绝缘平板（左侧有挡板），整个空间有平行于平板向右、场强为E=2N/C的匀强电场，在板上C点的左侧有一个垂直于纸面向外、磁感应强度为B=1T的匀强磁场，一个质量为m=4×10
5
－
3
kg、带负电的小物块，带电量q=10C，从C点由静止开始向左先做加速运动再做匀速运
－2
动. 当物体碰到左端挡板后被弹回，若在碰撞瞬间将电场改为竖直向下，大小不变. 小物块返回时在磁场中恰做匀速运动，已知平板MC部分的长度为L=5m，物块与平板间的动摩擦因数为μ=0.2，求：
（1）小物块向左运动过程中克服摩擦力做的功Wf； （2）小物块与左端挡板碰撞过程损失的机械能△E； （3）小物块从与 左挡板碰后到最终静止所用时间t； （4）整个过程中由于摩擦产生的热量Q. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
专题四 功和能参考答案
题型1.解析：由动能定理可知，小球动能的减小量等于小球克服重力和阻力F做的功 为（mg+F）H，A错误；小球机械能的减小等于克服阻力F做的功，为FH，B正确；小球重力势能的增加等于小球小球克服重力做的功，为mgH，C正确；小球的加速度a?D正确。
题型2.解析：由于点电荷+Q在b、d两点的场强方向分别向上和向下，b、d两点的场强大小相同，方向不同，A错；a点和f点位于+Q形成电场的等势面上，但若把一电荷从a点移动到f点，电场E要对电荷做功，B错；当点电荷+q在bedf面上任意两点间移动时，电场力
6
mg?Fm?g，
不做功，C错；球面上相距最远的点（沿场强E的方向）是ac，电场E对其做功最大，电势能的变化量最大。 题型3.
题型4.解析：（1）小物块最终停在AB的中点，在这个过程中，由动能定理得
??mg(L?0.5L)??E
得 ??2E3mgL
（2）若小物块刚好到达D处，速度为零，同理，有??mgL?mgR??E
解得CD圆弧半径至少为 R?E3mg
（3）设物块以初动能E′冲上轨道，可以达到的最大高度是1.5R，由动能定理得
??mgL?1.5mgR??E?
解得E??7E6
E2物块滑回C点时的动能为EC?1.5mgR?，由于EC??mgL?2E3，故物块将停在轨道上
设到A点的距离为x，有 ??mg(L?x)??EC
7
解得 x?14L
即物块最终停在水平滑道AB上，距A点
14L处
题型5.解析：解：(1)从开始滑下至d点，由机械能守恒定律得 mg(H?R)?12m? ①(1分)
22mg?Nd?m?R ②(1分)
2HR由①②得：Nd?mg(3?分)
)?360N ③(1
(2)所求的Nd?h图象如图所示(3分)
(图线两个端点画对各得1分，图线为直线得1分) (3)当以?0?4m/s从b点水平滑出时，运动员做平抛运动落在Q点，如图所示。设Bq=s1，则 s1sin370?12gt ④(1分)
20 s1cos37??0t ⑤(1分)
由④⑤得 t?2?0tan37g0?0.6s⑥(1分)
y?gt?6m/s ⑦(1分) 在Q点缓冲后
?Q??ysin37??0cos37从Q?d mg(H?12200?6.8m/s ⑧(1分)
12m?d?2gt)?mgR?12m?Q ⑨(1分)
2运动员恰从d点滑离轨道应满足：mg?
m?dR`2 ⑩(1分)
8
由⑨⑩得
`22`?d??d?4.76 即?d??d ⑩(1分)
可见滑板运动员不会从圆弧最高点d滑离轨道。(1分)
题型6.解析：设小物块向左匀速运动时的速度大小为v1，由平衡条件有
qE??(mg?qv1B)?0 ①
设小物块在向左运动过程中克服摩擦力做的功为W，由动能定理有
qEL?W?12mv1?0 ②
2由①②式解得 W?qEL?m(qE??mg)2?qB2222?0.023J ③
（2）设小物块返回时在磁场中匀速运动的速度大小为v2，与右端挡板碰撞过程损失机构能为?E，则有 Bqv?E?1222?mg?qE ④
12mv2 ⑤
2mv1?由③⑤⑥式解得 ?E?mqE(1??)?2?mgqE(??1)2?Bq2222222?0.064J ⑥
（3）小物块由M到C匀速运动，时间为 t1?Lv2?BqLmg?qE?2.5s ⑦
小物块由C到静止匀减速运动， ?(mg?qE)?ma代入数得a?1m/s ⑧
v2amv22时间为 t2???(mg?qE)?2s ⑨
总时间为 t=t1+t2=4.5s ⑩
11 （4）对全过程，由能量守恒定律有 ○12 （或 Q?WQ?qEL??E ○
f?12mv2)
213 由⑤⑧式解得 Q?qEL??E?0.036J ○
评分标准：①式2分，其余各1分，共14分
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