2016-2017学年广东省潮州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
2．一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（ ）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4 3．二次函数y=（x+1）2﹣4的顶点坐标是（ ） A．（﹣1，﹣4）
B．（1，4） C．（1，﹣4） D．（﹣1，4）
4．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠A=36°，则∠BOC的度数为（ ）
A．18° B．36° C．60° D．72°
5．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．在只装了红球的袋子中摸到白球 B．某射击运动员射击一次，命中靶心 C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面点数是3 6．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．某中学要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，求参加的球队支数，如果设参加的球队支数为x，则可列方程为（ ）
A． x（x+1）=21 B．x（x+1）=21 C． x（x﹣1）=21 D．x（x﹣1）=21
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8．已知正六边形的边长为2，则它的边心距为（ ） A．1
B．2
C．
D．2
9．二次函数y=ax2+bx（a＞0，b＜0）在平面直角坐标系的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，則该圆锥侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．60° D．120°
二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11．点（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，则平均每月的增长率为 ．
13．抛物线y=﹣2x2向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得抛物线的解析式为 ．
14．ca≠0）二次函数y=ax2+bx+（的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的解是 ．
15．关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
16．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为 ．
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三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分） 17．用公式法解方程：2x2+3x=1．
18．一个不透明的盒子中装有2枚黑色的棋子和1枚白色的棋子，每枚棋子除了颜色外其余均相同．从盒中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回并搅匀，再从盒子中随机摸出一枚棋子，记下颜色，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子颜色不同的概率．
19．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面
AB=12米，拱高CD=9米，求圆的半径．
四、解答题（二）（共3小题，每小题7分，共21分）
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′． （2）求A点所经过的路线的长度．
21．2015年某市曾爆发登革热疫情，登革热是一种传染性病毒，在病毒传播中，若1个人患病，則经过两轮传染就共有144人患病． （1）毎轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，按照这样的传染速度，三轮传染后，患病的人数
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共有多少人？
22．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，将△PAB绕A逆时针旋转90°得△DAC．
（1）试判断△PAD的形状并说明理由；
（2）连接PC，若∠APB=135°，PA=1，PB=3，求PC的长．
五、解答题（三）（共3小题，每小题9分，共27分）
23．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，⊙O的切线PA交CB的延长线于点P，OE∥AC交AB于点F，交PA于点E，连接BE． （1）判断BE与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若⊙O的半径为8，BE=6，求AB的长．
24．某商店只销售某种商品，其标价为210元，现在打6折销售仍然获利50%，为扩大销量，商场决定在打6折的基础上再降价，规定顾客在已买一件商品之后每再多买1件，顾客购买的所有商品的单价再少2元，但不能出现亏损的情况，设顾客购买商品件数为x（件），公司获得利润为W（元） （1）求该商品的进价是多少元？
（2）求W与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，同时商店销售利润最大值？
（3）商店发现在某一范围内会出现顾客购买件数x越多，商店利润W反而越少的情况，为避免出现这种情况，应规定最低售价为多少元？
25．如图，抛物线顶点坐标为点C（2，8），交x轴于点A （6，0），交y轴于点
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B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点Q （x，0）是线段OA上的一动点，过Q点作x轴的垂线，交抛物线于P点，交直线BA于D点，求PD与x之间的函数关系式并求出PD的最大值； （3）x轴上是否存在一点Q，过点Q作x轴的垂线，交抛物线于P点，交直线BA于D点，使以PD为直径的圆与y轴相切？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
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2016-2017学年广东省潮州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误． 故选：B．
2．一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（ ）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4 【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．
【解答】解：x2﹣6x﹣5=0， x2﹣6x=5，
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x2﹣6x+9=5+9， （x﹣3）2=14， 故选：A．
3．二次函数y=（x+1）2﹣4的顶点坐标是（ ） A．（﹣1，﹣4）
B．（1，4） C．（1，﹣4） D．（﹣1，4）
【考点】二次函数的性质．
【分析】由二次函数的解析式可求得答案． 【解答】解： ∵y=（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）， 故选A．
4．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠A=36°，则∠BOC的度数为（ ）
A．18° B．36° C．60° D．72° 【考点】圆周角定理．
【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可得出答案． 【解答】解：由题意得∠BOC=2∠A=72°． 故选D．
5．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A．在只装了红球的袋子中摸到白球 B．某射击运动员射击一次，命中靶心 C．任意画一个三角形，其内角和是180°
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D．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面点数是3 【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
【解答】解：A、在只装了红球的袋子中摸到白球是不可能事件，故A错误； B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误； C、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故C正确；
D、掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的一面点数是3是随机事件，故D错误；
故选：C．
6．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根 【考点】根的判别式．
【分析】代入数据求出根的判别式△=b2﹣4ac的值，根据△的正负即可得出结论．
【解答】解：∵△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选B．
7．某中学要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，求参加的球队支数，如果设参加的球队支数为x，则可列方程为（ ）
A． x（x+1）=21 B．x（x+1）=21 C． x（x﹣1）=21 D．x（x﹣1）=21 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数x（x﹣1），由此可得出方程．
【解答】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得， x（x﹣1）=21，
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故选C．
8．已知正六边形的边长为2，则它的边心距为（ ） A．1
B．2
C．
D．2
【考点】正多边形和圆．
【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由正六边形的性质得出AC=BC=AB=1，∠AOB=60°，得出∠AOC=30°，求出OC即可． 【解答】解：如图所示： 连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
则∠OCA=90°，AC=BC=AB=1，∠AOB=60°， ∴∠AOC=30°， ∴OC=
AC=
；
故选C．
9．二次函数y=ax2+bx（a＞0，b＜0）在平面直角坐标系的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据a的取值，确定出开口方向，再根据a、b异号，确定出对称轴应在y轴的右侧，即可判定． 【解答】解：∵a＞0， ∴二次函数的开口向上， ∵b＜0，
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∴二次函数的对称轴在y轴的右侧， 故选：A．
10．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，則该圆锥侧面展开图的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．60° D．120° 【考点】圆锥的计算．
【分析】设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π?2=，然后解关于n的方程即可．
【解答】解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°， 根据题意得2π?2=解得n=120，
即该圆锥侧面展开图的圆心角为120°． 故选D．
二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．点（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 （﹣2，3） ． 【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．
【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点（2，﹣3）关于原点O中心对称的点的坐标为（﹣2，3）． 故答案为：（﹣2，3）．
12．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，则平均每月的增长率为 25% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设平均每月的增长率是x，根据2月份的利润为160万元，4月份的利
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，
润250万元，可列方程求解．
【解答】解：设平均每月的增长率是x，根据题意得 160（1+x）2=250，
解得x=25%或x=﹣225%（舍去）． 答：平均每月的增长率是25%． 故答案为：25%．
13．抛物线y=﹣2x2向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得抛物线的解析式为 y=﹣2（x+2）2+3 ． 【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．
【解答】解：抛物线y=﹣2x2向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得抛物线的解析式为y=﹣2（x+2）2+3， 故答案为：y=﹣2（x+2）2+3．
14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的解是 x1=﹣1，x2=3 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】由二次函数的图象得到抛物线与x轴的交点坐标，而所求的方程其实质上是二次函数解析式中的y=0得出的方程，此时方程的解即为二次函数图象与x轴交点的横坐标，进而得到方程的解．
【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知： 抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（3，0）， 则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1，x2=3． 故答案为：x1=﹣1，x2=3．
15．关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
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是 k＞﹣1 ． 【考点】根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=22+4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根， ∴△=22+4k＞0， 解得k＞﹣1． 故答案为：k＞﹣1．
16．如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为 4﹣π ．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】图中阴影部分的面积=S△ABC﹣S扇形AEF．由圆周角定理推知∠BAC=90°． 【解答】解：如图，连接AD． ∵⊙A与BC相切于点D， ∴AD⊥BC． ∵∠EPF=45°，
∴∠BAC=2∠EPF=90°．
∴S阴影=S△ABC﹣S扇形AEF=BC?AD﹣故答案是：4﹣π．
=×4×2﹣
=4﹣π．
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三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分） 17．用公式法解方程：2x2+3x=1． 【考点】解一元二次方程-公式法．
【分析】移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可． 【解答】解：移项得：2x2+3x﹣1=0， b2﹣4ac=32﹣4×2×（﹣1）=17， x=x1=
18．一个不透明的盒子中装有2枚黑色的棋子和1枚白色的棋子，每枚棋子除了颜色外其余均相同．从盒中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回并搅匀，再从盒子中随机摸出一枚棋子，记下颜色，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子颜色不同的概率． 【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的棋子颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：
， ，x2=
．
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的棋子颜色不同的有4种情况， ∴两次摸出的棋子颜色不同的概率为：．
19．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面
AB=12米，拱高CD=9米，求圆的半径．
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【考点】垂径定理的应用．
【分析】首先根据垂径定理和已知条件求出AD、OD的值，然后根据勾股定理求出圆的半径．
【解答】解：∵CD⊥AB且过圆心O， ∴AD=AB=×12=6米， 设半径为r米， ∴OA=OC=r米，
∴OD=CD﹣OC=（9﹣r）米， ∴在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2， ∴r2=（9﹣r）2+62， 解得：r=
．
米．
故⊙O的半径为
四、解答题（二）（共3小题，每小题7分，共21分）
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′． （2）求A点所经过的路线的长度．
第14页（共22页）
【考点】作图-旋转变换；轨迹．
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）直接利用弧长公式的应用进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：△A′BC′即为所求；
（2）A点所经过的路线的长度为： =π．
21．2015年某市曾爆发登革热疫情，登革热是一种传染性病毒，在病毒传播中，若1个人患病，則经过两轮传染就共有144人患病． （1）毎轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）若病毒得不到有效控制，按照这样的传染速度，三轮传染后，患病的人数共有多少人？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患病，可求出x；
（2）根据（1）中求出的x，进而求出第三轮过后，又被感染的人数．
第15页（共22页）
【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人， 由题意，得1+x+x（x+1）=144， 解得x=11或x=﹣13（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了11个人；
（2）144+144×11=1728（人）．
答：三轮传染后，患病的人数共有1728人．
22．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，将△PAB绕A逆时针旋转90°得△DAC．
（1）试判断△PAD的形状并说明理由；
（2）连接PC，若∠APB=135°，PA=1，PB=3，求PC的长．
【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）结论：△PAD是等腰直角三角形．只要证明△BAP≌△CAD，即可解决问题．
（2））由△BAP≌△CAD，推出PB=CD=3，∠APB=∠ADC=135°，由△PAD是等腰直角三角形，推出∠ADP=45°，∠PDC=135°﹣∠ADP=90°，由AP=AD=1，推出PD2=AP2+AD2=2，在Rt△PDC中，根据PC=
计算即可．
【解答】解：（1）结论：△PAD是等腰直角三角形． 理由：∵∠CAB=∠PAD=90°， ∴∠BAP=∠CAD， 在△BAP和△CAD中，
，
第16页（共22页）
∴△BAP≌△CAD， ∴PA=AD， ∵∠PAD=90°，
∴△PAD是等腰直角三角形．
（2）∵△BAP≌△CAD，
∴PB=CD=3，∠APB=∠ADC=135°， ∵△PAD是等腰直角三角形，
∴∠ADP=45°，∠PDC=135°﹣∠ADP=90°， ∵AP=AD=1， ∴PD2=AP2+AD2=2， 在Rt△PDC中，PC=
=
=
五、解答题（三）（共3小题，每小题9分，共27分）
23．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，⊙O的切线PA交CB的延长线于点P，OE∥AC交AB于点F，交PA于点E，连接BE． （1）判断BE与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若⊙O的半径为8，BE=6，求AB的长．
【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心．
【分析】（1）结论：BE是⊙O的切线．首先证明∠OAP=90°，再证明△EOB≌△EOA，推出∠OBE=∠OAE即可解决问题．
第17页（共22页）
（2）由（1）可知AB=2BF，在Rt△BEO中，∠OBE=90°，OB=8，BE=6，可得OE=问题．
【解答】解：（1）BE是⊙O的切线． 理由：如图连接OA．
=10，由?BE?OB=?OE?BF，可得BF=
=
，由此即可解决
∵PA是切线， ∴PA⊥OA， ∴∠OAP=90°， ∵BC是直径， ∴∠BAC=90°， ∵OE∥AC，
∴∠OFB=∠BAC=90°， ∴OE⊥AB， ∴BF=FA， ∵OB=OA， ∴∠EOB=∠EOA， 在△EOB和△EOA中，
，
∴△EOB≌△EOA， ∴∠OBE=∠OAE=90°， ∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切线．
（2）由（1）可知AB=2BF，
在Rt△BEO中，∵∠OBE=90°，OB=8，BE=6，
第18页（共22页）
∴OE==10，
∵?BE?OB=?OE?BF， ∴BF=∴AB=2BF=
24．某商店只销售某种商品，其标价为210元，现在打6折销售仍然获利50%，为扩大销量，商场决定在打6折的基础上再降价，规定顾客在已买一件商品之后每再多买1件，顾客购买的所有商品的单价再少2元，但不能出现亏损的情况，设顾客购买商品件数为x（件），公司获得利润为W（元） （1）求该商品的进价是多少元？
（2）求W与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，同时商店销售利润最大值？
（3）商店发现在某一范围内会出现顾客购买件数x越多，商店利润W反而越少的情况，为避免出现这种情况，应规定最低售价为多少元？ 【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据某公司销售某种商品，其标价为210元，现在打6折销售仍然获利50%，可以列出相应的方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到W与x的函数关系式，将W与x的函数关系式化为顶点式，即可求得最大值；
（3）由第（2）问的函数关系式，再根据本问提供的信息可以解答本题． 【解答】解：（1）设商品的进价为x元，根据题意可得 210×0.6=（1+50%）x， 解得x=84．
答：该商品的进价是84元．
=， ．
（2）根据题意可得，W=x=42x﹣2x2=﹣2（x﹣∵210×0.6﹣84﹣2x≥0，即x≤21，
）2+
，
第19页（共22页）
∴当x=
时，W最大=；
（3）∵当x＞11时，W随x的增大而减小， ∴最低售价为84+210×0.6﹣84﹣2×11=104元， 答：应规定最低售价为104元．
25．如图，抛物线顶点坐标为点C（2，8），交x轴于点A （6，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点Q （x，0）是线段OA上的一动点，过Q点作x轴的垂线，交抛物线于P点，交直线BA于D点，求PD与x之间的函数关系式并求出PD的最大值； （3）x轴上是否存在一点Q，过点Q作x轴的垂线，交抛物线于P点，交直线BA于D点，使以PD为直径的圆与y轴相切？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式，进而得出点B坐标，再用待定系数法求出直线AB解析式；
（2）借助（1）的结论，先建立PD与x的函数关系式，即可确定出最大值； （3）借助（2）的结论，利用圆心到y轴的距离等于半径即可建立方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线顶点坐标为点C（2，8）， ∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+8，
第20页（共22页）
∵点A在抛物线上， ∴a（6﹣2）2+8=0， ∴a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+8=﹣x2+2x+6， ∴B（0，6）， ∵A （6，0），
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+6，直线AB的解析式为y=﹣x+6；
∵Q点作x轴，Q （x，0），
∴P（x，﹣x2+2x+6），D（x，﹣x+6）， ∴PD=|﹣x2+2x+6﹣（﹣x+6）|=|﹣x2+3x|， ∵Q （x，0）是线段OA上的一动点， ∴0≤x≤6，
∴PD=﹣x2+3x=﹣（x2﹣6x）=﹣（x﹣3）2+， ∴当x=3时，PD最大，最大值是，
（3）由（2）知，P（x，﹣x2+2x+6），D（x，﹣x+6）， ∴以PD为直径的圆的圆心的横坐标为x， 由（2）知，PD=|﹣x2+3x|， ∵以PD为直径的圆与y轴相切， ∴|x|=|﹣x2+3x|， ∴x=0（舍）或x=2或x=10， ∴Q（2，0）或（10，0）．
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2017年2月10日
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