limfn??n(x)?0;
利用Osgood定理得, 对??有
{fn(x)}在[0,1]上一致收敛于0,
?0,存在N，当n?N时,
,x?[0,1],
|f(x?n)|?|fn(x)|??|f(x)|??x?N?1从而当时,有,
即得 设有
limf(x)?0x???，结论得证。
f在[0,??)上的连续，且对任何
，但推不出
x?[0,1]，
。
limf(x?n)?0n??limf(x)?0x???例如函数
f(x)?xsin?x221?xsin?x满足在[0,??)上的连续，且对任何
f(x?n)?0limx?[0,1]，有，
n??但不成立 四、设
limf(x)?0x??? 。
D???x,y?:x?y?1?22，f?x,y?在D内连续，g?x,y?在D内
6
连续有界，且满足条件：
22x?y?1时，f?x,y????当
；
在D中f与g有二阶偏导数，
?f?x22??f?y22?ef?g2，
?x2??g?y22?eg.
证明：f?x,y??g?x,y?在D内处处成立. 证明：设u?x,y??f?x,y??g?x,y?，
??u??f??g?e?e则有
fg?10?etf??1?t?g?dt
? ??10etf??1?t?gdt?u ?C?x,y??u.
于是 ??u?C?x,y??u?0，?x,y??D ， C?x,y??0; 由已知条件，存在0?r0有 记
?1，当r0?r?12时，
22u?x,y??f?x,y??g?x,y??0222， x?y?r.
D?r????x,y?:x?y?r?，
设
m??x,y??D(r)minu?x,y?，我们断言，必有m?0，
假若m?0，则必有?x0,y0??D?r?，使得 u?x0,y0??m； 易知??u?x0,y0??0， C?x0,y0?u?x0,y0??0.
???u?C?x,y??u??x0,y0??0
这与??u?C?x,y??u?0矛盾， 所以 m?0
从而 u?x,y??0，?x,y??D?r?； 由r的任意性，得
u?x,y??0， ?x,y??D.
7
故在D内处处成立f?x,y??g?x,y?. 五
、
. 设
R???x,y?:0?x?1,0?y?1?R????x,y?:0?x?1??,0?y?1???I?考虑积分
???1?xyRdxdyI??，
??1?xyR?dxdy，定义
I?lim?I???0，
I?证明
?nn?112；
1?u??x?y???2??v?1?y?x???2利用变量替换：
?2?，计算积分I的值，并由此推出
6??nn?112.
?证明：（1）由n?1积分
??xy?n?1?11?xy，在R?上一致收敛，可以进行逐项
??n?1n?1?I?????????xy?dxdy1?xy?R?R??n?1dxdy?
?
???n?102n1??1??0?xn?1yn?1dxdy?
12?n?1?1???n22n，
?1???又
n?2?n，
关于???0,1?是一致收敛的，可以逐项求极限，
?所以
?n?1?1???n22n于是有
??0lim?I??lim????0n?1?1???n22n???n?11n2.
8
?I?故有
?nn?112；
x?u?v,y?u?v ??x,y???u,v??2, xy?u?v22
11????????u,v?:0?u?,0?v?u????u,v?:?u?1,0?v?1?u?22???? 11???????u,v?:0?u?,?u?v?0????u,v?:?u?1,?1?u?v?0?22??? ?注意到区域?关于u轴对称
I?
??1?xy???1??uR?dxdy22?v2?dudv
1?1?u??dv?du?22?1??01?u?v?? 2?1u?11?2??2?2????dv?du?001?u2?v2???
?4?I1?I2?;
1I1?
?2011?u12arctanv1?u2v?uduv?0
sint1?sint2??2011?u?602arctan11?sint2u1?u2duu?sint??2arctan2costdt
1???1?6??tdt????02?6?418
;
duI2?
??11211?u1122arctanv1?u2v?1?uv?0
?11?u2arctan1?u1?u2du 9
?
u?sint??2611?sint2arctan1?sintcost?costdt
1?tant2dtt2???
???2arctan1?sintcost?dt??2arctan1?tan66
?
??26?t????arctan?tan????dt?42????d?f?a?2?????b??dh?2?2
?1?2???ad?bdh??2?
11?1?2???ad?bdh?bdh?22?2?
??123ad?bdh?bdh232
?3?23?23ab?23?dh?2
2?3ab?23?4V??????2，
当且仅当ad?bdh时，等号成立，
hd?ab，
h?ab故当d时，所需要的费用最少.
?11?1,?fx?????33f?x?42??内满足sinx?cosx在
（4）已知解：
求f?x?.
f??x???sin13x?cosx3dx
10
2010年全国大学生数学专业竞赛试题及解答 （1）计算积分 ???0e??x2?ex2??x2dx,??0,??0.
解 方法一 直接利用分部积分法得
???0e??x2?ex2??x2dx???x2???0(e??x2?e??x2)(?1x)?dx
?????0(?2?xe?2?xe??x2??x2)(?1x)dx
?????0(2?e??x2?2?e)dx??2(???2????2)??(???)；
2e??x?ex2??x2方法二 不妨设0??而积分???0??，由于
????e?yx2dy，
e?yx2dx关于y在[?,?]上一致收敛，故可交换积分次序
???0e??x2?ex2??x2dx????0dx???e?yx2dy????dy???0e?yx2dx
????1y?2dy??(???)；
I(?)?方法三 将
??0固定，记
???0e??x2?ex2??x2dx, ??0， 可证I(?)在
(0,??)上收敛．
设??[?,??), ??0，
因为e??x2?e??x2，而?＋?０＋?０2e??x2dx收敛，
所以由Weierstrass判别法知道 ?e??xdx对??[?,??)一致收
敛．所以可以交换微分运算和积分运算的次序， 即
I?(?)????0???(e??x2?ex2??x2)dx????0(?e??x2)dx??1?2?．
由?的任意性，上式在(0,??)上成立．
1
所以
I(?)???I(?)?????C，由于
I(??)C0?,??
,所以
?(???)，
??即
e??x2?ex2??x20dx?(???)．
若关于x的方程解，求常数k. 解：设
kx?1x2?1，?k?0?在区间?0,???内有唯一的实数
f?x??kx?1x2?1，则有
f??x??k?2x3，
11????3322????x????,???x??0,?????k????k???fx?0?时，f??x??0. ?时，??当?；当?1由此又
?2?3x???f?x?在?k?处达到最小值，
1x2f?x??kx??1在?0,???内有唯一的零点，
必有
21??1332??f?????0?2?3?k?2k??????1?0??k????，?k??2?，
3?1?21??k3?23?????1272??4k??1????4，，
k?233所以设函数
. 在区间?a,b?上连续，由积分中值公式，有
f?x??xaf?t?d?t??x?a??f?，?a???x?b?，若导数f??a?存在且非零，
? 2
求x?alim???ax?ax.
f?t??f?a??dt??x?a??f????f?a????解：，
a??a
x?a??f?t??f?a??dt?f????f?a??x?a?，
?2a??a1x由条件，可知
lim?x?alim?x??af????f?a??1f???a?，
f?x??f?a?2?x?a??12f???a???f?t??f?a??dtax?a?x?a?lim?2?lim?x?a，
??ax?a故有
?12x?a.
?二、设函数f?x?在x?0附近可微，f?0??0，f?0??a, ?1??2??n?xn?f?2??f?2????f?2??n??n??n?. 定义数列
证明：?xn?有极限并求其值. 证明：由导数的定义，
f?x??a??对于任意??0,存在??0，当0?|x|??时，有
x.
于是?a???x?f?x???a???x，?0?kx???
从而，当n??时，有n?12?1n??，
?1,2,?,n.
?a??k?k??f?a???2?2?2??nnn??k，其中k对于上式求和，得到
3
n?a????k?1kn2n?xn??a????k?1kn2， ，
即
?a???n?12n?xn??a???n?12n令n?12?，有
?a????limxn?limxn??a??n??n???12, a2由??0的任意性，得到 n??limxn?.
设f?x?在??1,1?上有定义，在x?0处可导，且f?0??0.
n证明：
lim?n??k?1f??0??k?f?2??2. ?n?三、设函数有
n??f在[0,??)上一致连续，且对任何
，
x?[0,1]，
limf(x?n)?0x???证明：
limf(x)?0f。
试举例说明，仅有证明 证法一 由当且
在[0,??)上的连续性推不出上述结论。
f在[0,??)上一致连续，对??
?0， ???0，
y1,y2?[0,??)|y1?y2|??时，
4
|f(y1)?f(y2)|?便有
?2；
1取定充分大的正整数k，使得kxi?ik,i?0,1,?,k??。现把区间[0,1]k等分，设
其分点为
，每个小区间的长度小于?。
对于任意x?1，从而必有
x?[x]?[0,1)；
，使得
ixi,i?{0,1,?,k}xi|x?[x]?xi|???n)?0；
；
由条件对每个，有
limf(xn??|f(xi?n)|?于是存在N都成立； 故当
，当n?N时，
?i2，对
?,10,,?kx?N?1时，便有
?2?|f(x)|?|f(xi?[x])|?|f(x)?f(xi?[x])|??2??，
即得
limf(x)?0x???，结论得证。
,由题设条件知
证法二 设
fn(x)?f(x?n)在[0,1]{fn(x)}上等度一致连续,对每一
x?[0,1],有
5
?
2?11sinx?cosx????dx22?3?sinx?cosx2sinx?sinxcosx?cosx?，
?sinx?cosx1dx?1?21???sin?x??4??12dx
x??4?C1?lntan2 ，
dx??sin?2?sinx?cosx2x?sinxcosx?cosx2?12sinx?cosx?sinx?cosx?2?12dx
sinx?cosx?sinx?cosx?2dx?1
?2?d?sinx?cosx?
?2arctan?sinx?cosx??C2
f?x??2132x?lntan?sinx?cosx?2?1?4?2arctansinx?cosx?C??23所以，求下列极限.
n???1?limn??1???e????n??n???； （1）
n.
11?1?nnna?b?c?lim??n???3???? （2）
，其中a?0，b?0，c?0.
nx??????1?1?limn??1???e??limx??1???e????x??????n??n?x????? 解：（1）
11
?lime?1?xln?1??x???ex???1xx
1???1?1????11?ln1??x?????????xx1?xx?????????limx???1?2x
1?1?ln?1???x?1?x??elimx???1?2x
1?elim1?x?1x2??e2x???
2?1x31?1?x?x???
lim
1?1?x?1x22
??e2x???
12lim??e2
111n1111??1???x??x.
?n??x?nnxxa?b?c?a?b?c?lim??lim???n???x????33????????111
1x1x1
?limex???xlnax?bx?cx3lnlimx???a?b?cx31x ?e，
12
111lnx???ax?bx?cx31x1lim
11?1??1?xxxalna?blnb?clnc???2?111???x?xxx?a?b?c?limx???1?2x 11?1?xxx?lim1alna?blnb?clnc?11?x????ax?bx?cx?
1?13?lna?lnb?lnc?111?lnn3abc，
?n?nna?b?c??lim??n???3????故
3abc.
n??lim?n????一般地，有??e?elim?x?0?x2x?n?ak?k?1??m???m1nxx1ma1a2?am，其中aklne?ex2x?0，k?1,2,?,m，
???en???lime?x?0lime?ex2x???enxnx
1???enxlne?e?x2x???exnx??lnn?ex?0?limex?0?ex?2e2x???nenx?1
1?en?1?2???n?n?1?e2.
?设f?x?在x?1点附近有定义，且在x?1点可导，f?1??0，f?1??2， limf?sinx?cosx?2求x?0
x?xtanx2.
13
f?sin2x?cosx?解：
limx?0x2?xtanx
??lim?sin2x?cosx?1?f?sin2x?cosx??f?1???x?0??x2?xtanxsin2x?cosx?1??
2?f??1?limsinx?cosx?1x?0x2?xtanx
sin2x?2sin2x?2lim2x?0x2?xtanx
2sin2x?cos2x???2lim2?21???x?0x2?1?sinx1???xcosx??
?x2?lim?sin?2x2?cos?1x?0???lim2?x??x?0?1?sinx1xcosx
?1?2?111?1?2.
?设
f?x?在?0,??上连续，无穷积分?0f?x?yl?i?m1y??y0xf??xdx.
解：设F?x???x0f?t?dt，由条件知，F??x??f?x?，
limFdt?Ax????x?????0f?t?，
利用分部积分，得
?y?0xf?x?dx??y0xF?x?dx?yF?y???y0F?x?dx，
14
d收x敛，求
1?yy0xf?x?dx?F?y??y01?yy0F?x?dx，
y???lim?F?x?dxy?limF?y??Ay???，
1y???于是
y???lim1?yy0xf?x?dx?limF?y??limy????yy0F?x?dx
?
A?A?0.
设函数f?x?在?0,1?上连续，在?0,1?内可微，且f?0??f?1??0，
?1?f???1?2?.
证明：（1）存在
????1?,1??2?，使得f?????；
?1? （2）对于每一?，存在???0,??，使得f?????f??????.
证明：（1）令F?x??f?x??x，
?1?1F???由题设条件，可知?2?2，
F?1???1；
利用连续函数的介值定理，得 存在令
????1?,1??2?，使得F????0，即f???????x.
G?x??e?f?x??x?，
由题设条件和（1）中的结果，可知，
G?0??0，G????0；
利用罗尔中值定理，得
?存在???0,??，使得G????0，
15
由
G??x??e??x?f??x??1??e??x??f?x??x?，
即得
f??????f???????1.
六、 试证：对每一个整数n?2，成立
1?n1!???nnn!?en2.
分析：这是一个估计泰勒展开余项的问题，其技巧在于利用泰勒展开的积分余项.
证明：显然n?0时，不等式成立； 下设n?1.
ne?n由于
?k?0nkk!?1n!?0?n?t?nnedtt，
这样问题等价于证明
n!?2e?n?0?n?t?nnedtt，
即
???0tedt?2en?t?n?n0?n?t?edttn，
令u?n?t上式化为
n?tnn?u???0tedt?2?uedu0??n?u，
从而等价于?n只要证明?n设
nuedu?n0?n0uedun?u，
2nuedu??un?u?uedun?u，
f?u??ue，则只要证明
16
f?n?h??f?n?h?，?0?h?n?，
n就有?0f?n?h?dh??n0f?n?h?dh，
2nf?u?du??n ?n0f?u?du，
则问题得证.
以下证明f?n?h??f?n?h?，?0?h?n?，成立 上式等价于?n?h?ne?n?h??n?h?neh?n，
即nln?n?h??h?nln?n?h??h， 令g?h??nln?n?h??nln?n?h??2h， 则g?0??0，并且对0?h?n，有
dgdh?nn?h?nn?h?2
2?2n2h2
n2?h2?2??n2?h2?0，
从而当0?h?n时，g?h??0， 这样问题得证.
注：利用这一结论，我们可以证明如下结论.
2nF?x??e?t?ttt?六、设n?1为整数，
?x0?1?????1!2!?n!?dt?，证明方程F?x??n?n?，在?,n2?2??上至少有一个根. 1an?xxk1证明：存在a?(2n,n)，使得
?0e?k?0k!dx?2n.
f证明：令
?y???yn0e?x?xkk?0k!dx，
17
则有
?n?f????2?nn?n20ex?x?k?0xknk!dx??n20eedx?nk?xxn2，
f?n???n0ke?x?k?0k!?ndx??n0e?n?k?0k!dx
?
?n0e?12edx?nn2，
由连续函数的介值定理，得
?n?na??,n?f?a??2存在?2?，使得
，
故问题得证.
n这里是由于
g?x?g?x??e?x?k?0xkk!，
g??x???e?xxnn!?0，
在?0,???上严格单调递减，
所以，当0?x?n时，有g?x??g?n?. 七、 是否存在
f(f(x?))?2R上的可微函数
f(x)，使得
1x?4x?3x?x，若存在，请给出一个例子；若不存在，
请给出证明。
证明 如果这样的函数f(x)存在，
我们来求f(f(x))的不动点，即满足f(f(x))?x的x，
x?1?x?x?x?x(x?1)(x?x?1)?0422435，
，
由此得x?1，这表明f(f(x))有唯一的不动点x?1，易知f(x)也仅有唯一的不动点x?1，f(1)?1，在等式f(f(x))?1?x?x?x?x两边对x求导，得
324f?(f(x))f?(x)?2x?4x?3x?5x2435，
，
18
?(1))2??2(fx?1让，即得，这是不可能的，故这样的函数不存在。
八、设函数有
n??fx[0,??)在上一致连续，且对任何
，
?[0,1]，
limf(x?n)?0x??? 。
证明：
limf(x)?0f试举例说明，仅有证明 由当且
在[0,??)上的连续性推不出上述结论。
f在[0,??)上一致连续，对??
?0， ???0，
y1,y2?[0,??)|y1?y2|??时，
|f(y1)?f(y2)|?便有
?2；
。现把区间[0,1]k等分，
1取定充分大的正整数k，使得k??xi?设其分点为
ik,i?0,1,?,k，每个小区间的长度小于?。
对于任意x?1，从而必有
x?[x]?[0,1)；
，使得|19
xi,i?{0,1,?,k}x?[x]?xi|??；
由条件对每个
xi，有
limf(xn??i?n)?0；
|f于是存在
N(ix?，当
n?N时，
n?)|2?，对
i?0,1,?,k故当
都成立；
x?N?1时，便有
2?|f(x)|?|f(xi?[x])|?|f(x)?f(xi?[x])|???2??，
f(x)?0lim即得，
x???结论得证。
设
f在[0,??)上的连续，且对任何
x?[0,1]，有
limf(n??x?n)?0，
但推不出上述结论。 例如函数
f(x)?xsin?x221?xsin?x满足在[0,??)上的连续，且对任何
x?[0,1]，有limn??f(x?n)?0，
f(x)?0lim但不成立 。
x???
20