《立体几何》学案26 空间几何体的三视图和直观图
班级________姓名_______
【导学目标】1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，并且会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图． 【知识梳理】 1．多面体的结构特征
(1)棱柱的上下底面______，侧棱都______且______，上底面和下底面是_______的多边形． 正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．
正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
(3)棱台可由__________________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形________． 2．旋转体的结构特征
(1)圆柱可以由矩形绕其____________旋转得到．
(2)圆锥可以由直角三角形绕其__________________旋转得到．
(3)圆台可以由直角梯形绕__________________或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆或圆绕其________旋转得到． 3．空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括___________、___________、________. 三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． 4．空间几何体的直观图
画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤是：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝______________.
(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于______________的线段．
1
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段，长度变为___________________．
(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度________． 【自我检测】
1．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
2．将正三棱柱截去三个角(如图1所示)，A，B，C分别是△GHI三边的中点，得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )
3
3.如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝BB′＝CC′＝
2
AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图(也称主视图)是( )
4．如图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
探究点一 空间几何体的结构
例1 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点． 其中正确命题的序号是________．
2
探究点二 空间几何体的三视图
1
例2 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体
2的俯视图可以是( )
变式2 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应 的侧视图可以为( )
探究点三 直观图及斜二测画法 【例3】 用斜二测画法画一个水平置的平面图形的直观图为如图所示一个正方形，则原来的图形是( )
变式3 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )
放的
A.
22
a 4
B．22a2 C.
22
a 2
D.
222
a3
例4 一个空间几何体的三视图，如右图所示，则这个空间几何体的表面
3
积是________．
【课后练习与提高】
1．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直 D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱
2．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是 ( )
3．已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为2a的正三角形，则原△ABC的面积为( )
A.2a2
B.
32
a 2
C.
62
a 2
D.6a2
4．有一个正三棱柱，其三视图如右图所示：则其体积等于( )
A．3 cm3 C.
B．1 cm3 D．4 cm3
333
cm 2
5．如下图，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是 边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是( )
A.
3
6
B.
42
3
C.
43
3
D. 83
6．某简单几何体的一条对角线长为a，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为2的线段，则a等于( )
A.2 B.3 C．1 D．2
3
7．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 4
的几何体的三视图，则h＝________cm.
28．已知正三角形ABC的边长为a，则△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________
2正（主）视图111侧（左）视图9．棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点均在一个球面上，则此球的半径R＝________.
10. 如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为面
俯视图B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在
该正方体的各个面上的投影可能是________(填出所有可能的序号)．
11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的 最长棱的棱长为 .
12．如图是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该几何体的体积．
5
13．已知正三棱锥V－ABC的正视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的侧视图和直观图． (2)求出该几何体的体积．
6