选修4－1 几何证明选讲
1．平行截割定理 (1)平行线等分线段定理
如果一组__________在一条直线上截得的线段______，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也________． (2)平行线分线段成比例定理
两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成________． 2．相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理
①两角对应________的两个三角形________；
②两边对应成________且夹角________的两个三角形________； ③三边对应成________的两个三角形________． (2)相似三角形的性质定理
①相似三角形的对应线段的比等于____________． ②相似三角形周长的比等于____________．
③相似三角形面积的比等于________________________． 3．直角三角形射影定理
直角三角形一条直角边的平方等于________________________________，斜边上的高的平方等于________________________________． 4．圆中有关的定理
(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的________． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于________________的度数． (3)切线的判定与性质定理 ①切线的判定定理
过半径外端且与这条半径________的直线是圆的切线． ②切线的性质定理
圆的切线________于经过切点的半径． (4)切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，切线长________． (5)弦切角定理
弦切角的度数等于其所夹弧的度数的________． (6)相交弦定理
圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积________． (7)割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积________． (8)切割线定理
从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的________________．
(9)圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理
(ⅰ)如果四边形的对角________，则此四边形内接于圆；
(ⅱ)如果四边形的一个外角________它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． ②圆内接四边形性质定理
(ⅰ)圆内接四边形的对角________；
(ⅱ)圆内接四边形的外角________它的内角的对角．
1．如图，F为?ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于点G，E，EF＝16，GF＝12，则BE的长为________．
第1题图 第2题图
a
2．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别
2为线段AB、AD的中点，则EF＝________.
3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝30°，则∠D＝________.
4．如图所示，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD＝2，BD＝4，则EA＝________.
第4题图 第5题图
5．(2012·湖南)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________.
题型一 相似三角形的判定及性质
例1 如图，已知在△ABC中，点D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. (1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
思维升华 (1)三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．
(2)证明等积式的一般方法是化为等积的比例式，若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明．
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，DE∥CA，且交BA的延长线于E，求证：ED·CD＝EA·BD.
题型二 直角三角形的射影定理 例2 如图，Rt△ABC中，∠BAC＝
90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F. 求证：EF∶DF＝BC∶AC.
思维升华 已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影与直角边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．
如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，交AD于F，DFAE求证：＝.
AFEC
题型三 圆的切线的判定与性质
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且AD＝23，AE＝6.
(1)判断直线AC与△BDE的外接圆的位置关系； (2)求EC的长．
思维升华 证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点)，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径．
(2013·广东改编)
如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的长．
题型四 与圆有关的比例线段
例4 (2012·辽宁)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：
(1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC＝AE.
思维升华 (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P. (1)求证：PM2＝PA·PC；
(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．
与圆有关的几何证明问题
典例：(10分)
(2012·课标全国)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：
(1)CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD.
思维启迪 (1)连结AF，利用平行关系构造平行四边形可得结论； (2)先证△BCD和△GBD为等腰三角形，再证明两三角形顶角相等即可． 规范解答 证明
(1)因为D，E分别为AB，AC的中点， 所以DE∥BC. 又已知CF∥AB，
故四边形BCFD是平行四边形， 所以CF＝BD＝AD. 而CF∥AD，连结AF，
所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.[5分] 因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.[6分] (2)因为FG∥BC，故GB＝CF. 由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD， 所以∠BGD＝∠BDG.[8分] 由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB， 又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC， 所以△BCD∽△GBD.[10分]
处理与圆有关的比例线段的常见思路： (1)利用圆的有关定理； (2)利用相似三角形；
(3)利用平行线分线段成比例定理及推论； (4)利用面积关系等．
温馨提醒 (1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决．
(2)证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似．另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明．
(3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角．
(4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件．
方法与技巧
1．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．
2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用． 失误与防范
1．在应用平行截割定理时，一定要注意对应线段成比例．
2．在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否则容易出错.
A组 专项基础训练
1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证： (1)△BPE∽△CPF； (2)△EFP∽△BCP.
2.
如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC交BC于点D，若E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F，求证：
3. 如图所示，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB，DE，OC.若AD＝2，AE＝1，求CD的长．
ABDF
＝. ACAF
4．(2013·江苏)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.
5. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，若S△ODC∶S△BDC＝1∶3，求S△ODC∶S△ABC.
6. 如图，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点．
(1)求证：四点A，I，H，E共圆； (2)若∠C＝50°，求∠IEH的度数．
B组 专项能力提升
1. 如图所示，已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N，求
证：AB·BM＝AM·BN.
2. 如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.
求证：AE·BF＝2DE·AF.
3．(2013·辽宁) 如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连结AE，BE. 证明：(1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC.
4．(2013·课标全国Ⅰ)如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D. (1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
答案
要点梳理
1．(1)平行线 相等 相等 (2)比例
2．(1)①相等 相似 ②比例 相等 相似 ③比例 相似 (2)①相似比 ②相似比 ③相似比的平方
3．该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积 两条直角边在斜边上的射影的乘积 4．(1)一半 (2)它所对弧 (3)①垂直 ②垂直 (4)相等 (5)一半 (6)相等 (7)相等 (8)等比中项 (9)①(ⅰ)互补 (ⅱ)等于 ②(ⅰ)互补 (ⅱ)等于 夯基释疑
a5
1．8 2. 3.120° 4. 5.6 22题型分类·深度剖析
例1 (1)证明 ∵DE⊥BC，D是BC边上的中点， ∴EB＝EC，∴∠B＝∠ECD， 又AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD， ∴△ABC∽△FCD. (2)解
过点A作AM⊥BC，垂足为点M， ∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD， ∴
S△ABCBC2
＝()＝4， S△FCDCD
又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20，
11
又S△ABC＝×BC×AM＝×10×AM＝20，
22解得AM＝4，又DE∥AM，∴
DEBD
＝， AMBM
15515
∵DM＝DC＝，BM＝BD＋DM＝5＋＝，
2222DE58
∴＝，解得DE＝. 4153
2
跟踪训练1 证明 在梯形ABCD中，
∵AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB.
又BC＝BC，∴△ABC≌△DCB.∴∠BAC＝∠BDC， ∵AC∥ED，AD∥BC，
∴∠E＝∠BAC＝∠BDC，∠EAD＝∠ABC＝∠DCB， ∴△EAD∽△DCB. ∴
EAED
＝，即ED·CD＝EA·BD. DCDB
例2 证明 ∵∠BAC＝90°，且AD⊥BC， ACBC∴由射影定理得AC2＝CD·BC，∴＝.①
CDACAEAC
∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴＝.
DFCD又BE平分∠ABC，且EA⊥AB，EF⊥BC， EFAC
∴AE＝EF，∴＝.②
DFCD由①、②得
EFBC
＝，即EF∶DF＝BC∶AC. DFAC
跟踪训练2 证明 由三角形的内角平分线定理得， DFBD
在△ABD中，＝，①
AFABAEAB
在△ABC中，＝，②
ECBC在Rt△ABC中，由射影定理知， BDAB
AB2＝BD·BC，即＝.③
ABBCDFAB
由①③得：＝，④
AFBCDFAE
由②④得：＝. AFEC
例3 解 (1)取BD的中点O，连结OE.
∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠OBE.
又∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠BEO， ∴∠CBE＝∠BEO，∴BC∥OE. ∵∠C＝90°，∴OE⊥AC，
∴直线AC是△BDE的外接圆的切线，
即直线AC与△BDE的外接圆相切． (2)设△BDE的外接圆的半径为r. 在△AOE中，OA2＝OE2＋AE2， 即(r＋23)2＝r2＋62，解得r＝23， ∴OA＝2OE，∴∠A＝30°，∠AOE＝60°. ∴∠CBE＝∠OBE＝30°，
111
∴EC＝BE＝×3r＝×3×23＝3.
222跟踪训练3 解 C为BD中点，且AC⊥BC， 故△ABD为等腰三角形．AB＝AD＝6， AEAC
所以AE＝4，DE＝2.又＝，
ACAD所以AC2＝AE·AD＝4×6＝24，AC＝26， 在△ABC中，BC＝AB2－AC2＝36－24＝23.
例4 证明 (1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.
ACAB
从而＝，即AC·BD＝AD·AB.
ADBD
(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD. 又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD. AEAD
从而＝，即AE·BD＝AD·AB.
ABBD结合(1)的结论知，AC＝AE. 跟踪训练4
(1)证明 连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN＝∠ONB， ∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN， ∠PNM＝90°－∠ONB， ∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN. 根据切割线定理，有PN2＝PA·PC， ∴PM2＝PA·PC.
(2)解 OM＝2，在Rt△BOM中，
BM＝OB2＋OM2＝4.
延长BO交⊙O于点D，连结DN.
BOBM
由条件易知△BOM∽△BND，于是＝，
BNBD234即＝，∴BN＝6. BN43∴MN＝BN－BM＝6－4＝2. 练出高分 A组 1．证明
(1)∵BF⊥AC于点F， CE⊥AB于点E， ∴∠BFC＝∠CEB＝90°. 又∵∠CPF＝∠BPE， ∴△CPF∽△BPE.
(2)由(1)得△CPF∽△BPE， EPFP∴＝. BPCP
又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP. 2．证明 ∵E是Rt△ADC斜边AC的中点， ∴AE＝EC＝DE.
∴∠EDC＝∠ECD，又∠EDC＝∠BDF， ∴∠EDC＝∠C＝∠BDF.
又AD⊥BC且∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠C， ∴∠BAD＝∠BDF，∴△DBF∽△ADF. DBDF∴＝. ADAF
又Rt△ABD∽Rt△CBA， ABDBABDF因此＝.∴＝.
ACADACAF
3．解 由切割线定理得AD2＝AE·AB， 所以AB＝4，EB＝AB－AE＝3.
又∵∠OCD＝∠ADE＝90°－∠CDB，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACO，
ADAC2CD＋2∴＝，即＝，CD＝3. AEAO12.5故CD的长等于3.
4．证明 连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因为∠A＝∠A， 所以Rt△ADO∽Rt△ACB. BCAC所以＝.
ODAD
又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD. 5．解 ∵S△ODC∶S△BDC＝1∶3， 且△ODC和△BDC有公共边CD，
设△ODC和△BDC在CD上的高分别为h和H， 则h∶H＝1∶3，∴DO∶DB＝1∶3，∴DO∶OB＝1∶2. 又∵AB∥CD，∴△ODC∽△OBA. ∴S△ODC∶S△OBA＝1∶4.
设S△ODC＝a，则S△OBC＝2a，S△OAB＝4a， ∵S△ABC＝S△OAB＋S△OBC，∴S△ABC＝6a. ∴S△ODC∶S△ABC＝1∶6.
6．(1)证明 由圆I与边AC相切于点E，得IE⊥AE， 结合IH⊥AH，得∠AEI＝∠AHI＝90° . 所以，四点A，I，H，E共圆． (2)解 由(1)知四点A，I，H，E共圆， 则∠IEH＝∠HAI.
11
又∠HIA＝∠ABI＋∠BAI＝∠ABC＋∠BAC
22111
＝(∠ABC＋∠BAC)＝(180°－∠C)＝90°－∠C. 2221结合IH⊥AH，得∠HAI＝90°－∠HIA＝∠C，
2
1
所以∠IEH＝∠C.由∠C＝50°得∠IEH＝25°.
2B组
1．证明 ∵CM2＝MN·AM， 又∵M是BC的中点，
BMMN∴BM2＝MN·AM，∴＝，
AMBM
又∵∠BMN＝∠AMB，∴△AMB∽△BMN， ∴
ABAM
＝，∴AB·BM＝AM·BN. BNBM
2．证明 过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N. 在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF，
1
∴DN＝BF.
2∵DN∥AF， ∴△AFE∽△DNE， AEDE∴＝. AFDN
1AE2DE
又DN＝BF，∴＝，
2AFBF即AE·BF＝2DE·AF.
3．证明 (1)由直线CD与⊙O相切， 得∠CEB＝∠EAB.
由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB， π
从而∠EAB＋∠EBF＝；
2
π
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，
2从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB. (2)由BC⊥CE，EF⊥AB， ∠FEB＝∠CEB，BE是公共边， 得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 同理可证，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，
故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC. 4.
(1)证明 连结DE，则∠DCB＝∠DEB， ∵DB⊥BE，
∴∠DBC＋∠CBE＝90°， ∠DEB＋∠EDB＝90°，
∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB， 又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB， ∴∠DBC＝∠DEB＝∠DCB， ∴DB＝DC.
(2)解 由(1)知：∠CBE＝∠EBF＝∠BCE， ∴CE＝BE，∴∠BDE＝∠CDE， ∴DE是BC的垂直平分线， 设交点为H，则BH＝∴OH＝
3
， 2
3131－＝，∴DH＝， 422
323
∴tan∠BDE＝＝，∴∠BDE＝30°，
332∴∠FBE＝∠BDE＝30°，
∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠BFC＝90°， ∴BC是△BCF的外接圆直径． ∴△BCF的外接圆半径为
3
. 2