规律探索
一、选择题
1. （2014?湖北荆门,第11题3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（ ）
第1题图
A．（）?75°
n
B． （）
n﹣1
?65° C． （）
n﹣1
?75° D． （）?85°
n
考点： 等腰三角形的性质． 专题： 规律型．
分析： 先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．
解答： 解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB， ∴∠BA1C=
=75°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°； 同理可得，
∠EA3A2=（）×75°，∠FA4A3=（）×75°， ∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）
n﹣1
2
3
×75°．
故选：C．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键． 2．（2014?重庆A,第11题4分）如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（ ）
A． 20 B． 27 C． 35 D． 40
考点： 规律型：图形的变化类．
分析： 第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n=
，进一步求得第（6）个图形中面积为1的正
方形的个数即可．
解答： 解：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个， 第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，
第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个， …，
按此规律，
第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）=
个，
则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个． 故选：B．
点评： 此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 3．
二、填空题
1. （2014?黑龙江龙东,第10题3分）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014= 1342+672 ．
考点： 旋转的性质． 专题： 规律型．
分析： 由已知得AP1=，AP2=1+，AP3=2+；再根据图形可得到AP4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2；AP7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3；每三个一组，由于2013=3×671，则AP2013=（2013﹣761）+671，然后把AP2013加上即可． 解答： 解：AP1=，AP2=1+，AP3=2+； AP4=2+2；AP5=3+2；AP6=4+2； AP7=4+3；AP8=5+3；AP9=6+3； ∵2013=3×671，
∴AP2013=（2013﹣761）+671=1342+671， ∴AP2014=1342+671+=1342+672． 故答案为：1342+672．
点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
2. （2014?黑龙江绥化,第10题3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 （﹣1，﹣1） ．
考点： 规律型：点的坐标． 分析： 根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案． 解答： 解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）， ∴AB=1﹣（﹣1）=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣（﹣2）=3， ∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10， 2014÷10=201…4， ∴细线另一端在绕四边形第202圈的第4个单位长度的位置， 即线段BC的中间位置，点的坐标为（﹣1，﹣1）． 故答案为：（﹣1，﹣1）． 点评： 本题主要考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2014个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键． 3. （2014?湖南衡阳,第20题3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…
1007
根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为 2 ．
考点： 专题：
规律型：点的坐标． 规律型．
分析： 根据点M0的坐标求出OM0，然后判断出△OM0M1是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出OM1，同理求出OM2，OM3，然后根据规律写出OM2014即可． 解答： 解：∵点M0的坐标为（1，0）， ∴OM0=1，
∵线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，M1M0⊥OM0， ∴△OM0M1是等腰直角三角形， ∴OM1=OM0=，
2
同理，OM2=OM1=（），
3
OM3=OM2=（）， …，
OM2014=OM2013=（）=2．
1007
故答案为：2． 点评： 本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，读懂题目信息，判断出等腰直角三角形是解题的关键．
4. （2014?湖南永州,第16题3分）小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是 BABBA ．
1 2 3 4 5 题号 得分 答案 选手 B A A B A 40 小聪 B A B A A 40 小玲 A B B B A 30 小红 考点： 推理与论证．. 分析： 根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误，首先从三人答案相同的入手分析，然后从小聪和小玲不同的题目入手即可分析． 解答： 解：根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误． 第5题，三人选项相同，若不是选A，则小聪和小玲的其它题目的答案一定相同，与已知矛盾，则第5题的答案是A； 第3个第4题小聪和小玲都不同，则一定在这两题上其中一人有错误，则第1，2正确，则1的答案是：B，2的答案是：A； 则小红的错题是1和2，则3和4正确，则3的答案是：B，4的答案是：B． 总之，正确答案（按1～5题的顺序排列）是BABBA． 故答案是：BABBA． 点评： 本题考查了命题的推理与论证，正确确定问题的入手点，理解题目中每个题目只有A和B两个答案是关键． 5. （2014?黔南州，第18题5分）已知=
=
=3，
=
=10，= 56 ．
2014
1007
=15，…观察以上计算过程，寻找规律计算
考点：规律型：数字的变化类．
b
分析： 对于Ca（b＜a）来讲，等于一个分式，其中分母是从1到b的b个数相乘，分子是
从a开始乘，乘b的个数． 解答：
解：∵==3，==10，==15，
∴==56．
故答案为56． 点评：此题主要考查了数字的变化规律，利用已知得出分子与分母之间的规律是解题关键． 6．(2014年广西钦州，第18题3分)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是 336 分． 考点： 规律型：数字的变化类．
分析： 根据题意得甲报出的数中第一个数为1，第2个数为1+3=4，第3个数为1+3×2=7，第4个数为1+3×3=10，…，第n个数为1+3（n﹣1），由于1+3（n﹣1）=2014，解得n=672，则甲报出了672个数，再观察甲报出的数总是一奇一偶，所以偶数有672÷2=336个，由此得出答案即可．
解答： 解：甲报的数中第一个数为1， 第2个数为1+3=4， 第3个数为1+3×2=7， 第4个数为1+3×3=10， …，
第n个数为1+3（n﹣1）=3n﹣2， 3n﹣2=2014，则n=672，
甲报出了672个数，一奇一偶，所以偶数有672÷2=336个，得336分． 故答案为：336．
点评： 本题考查数字的变化规律：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 7．(2014年贵州安顺，第17题4分)如图，∠AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别 为S1，S2，S3，S4，…．观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积是Sn= 8n﹣4 ．
考点： 直角梯形．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 由∠AOB=45°及题意可得出图中的三角形都为等腰直角三角形，且黑色梯形的高都是2；根据等腰直角三角形的性质，分别表示出黑色梯形的上下底，找出第n个黑色梯形的上下底，利用梯形的面积公式即可表示出第n个黑色梯形的面积． 解答： 解：∵∠AOB=45°，
∴图形中三角形都是等腰直角三角形， 从图中可以看出，黑色梯形的高都是2， 第一个黑色梯形的上底为：1，下底为：3，
第2个黑色梯形的上底为：5=1+4，下底为：7=1+4+2，
第3个黑色梯形的上底为：9=1+2×4，下底为：11=1+2×4+2，
则第n个黑色梯形的上底为：1+（n﹣1）×4，下底为：1+（n﹣1）×4+2， 故第n个黑色梯形的面积为：×2×[1+（n﹣1）×4+1+（n﹣1）×4+2]=8n﹣4．
故答案为：8n﹣4．
点评： 此题考查了直角梯形的性质与等腰直角三角形的性质．此题属于规律性题目，难度适中，注意找到第n个黑色梯形的上底为：1+（n﹣1）×4，下底为1+（n﹣1）×4+2是解此题的关键． 8．（2014?莱芜，第17题4分）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为 （1342，0） ．
考点： 规律型：点的坐标；等边三角形的判定与性质；菱形的性质． 专题： 规律型． 分析： 连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2014=335×6+4，因此点B4向右平移1340（即335×4）即可到达点B2014，根据点B4的坐标就可求出点B2014的坐标． 解答： 解：连接AC，如图所示． ∵四边形OABC是菱形， ∴OA=AB=BC=OC． ∵∠ABC=90°， ∴△ABC是等边三角形． ∴AC=AB． ∴AC=OA． ∵OA=1， ∴AC=1． 画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示． 由图可知：每翻转6次，图形向右平移4． ∵2014=335×6+4， ∴点B4向右平移1340（即335×4）到点B2014． ∵B4的坐标为（2，0）， ∴B2014的坐标为（2+1340，0）， ∴B2014的坐标为（1342，0）． 点评： 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．
9．(2014?黑龙江牡丹江, 第20题3分)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2014到x轴的距离是
．
第1题图
考点： 全等三角形的判定与性质；规律型：点的坐标；正方形的性质． 分析： 根据勾股定理可得正方形A1B1C1D1的边长为
=
，根据相似三角形的性
质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到第2014个正方形和第2014个正方形的边长，进一步得到点A2014到x轴的距离．
解答： 解：如图，∵点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴△B1OC1∽△B2E2C2∽B3E4C3…，△B1OC1≌△1CE1D1，…， ∴B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=…， ∴B2014E4016=
，
作A1E⊥x轴，延长A1D1交x轴于F， 则△C1D1F∽△C1D1E1， ∴
=
，
在Rt△OB1C1中，OB1=2，OC1=1， 正方形A1B1C1D1的边长为为∴D1F=∴A1F=
， ，
=
，
∵A1E∥D1E1， ∴
=
，
∴A1E=3，∴
=，
×=
∴点A2014到x轴的距离是
点评： 此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各边长是解题关键．
10. （2014?湖北黄石,第16题3分）观察下列等式： 第一个等式：a1=第二个等式：a2=第三个等式：a3=第四个等式：a4=
====
﹣﹣﹣﹣
； ； ； ．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：an=
=
；
（2）式子a1+a2+a3+…+a20=
．
考点： 规律型：数字的变化类．
分析： （1）由前四个等是可以看出：是第几个算式，等号左边的分母的第一个因数是就是几，第二个因数是几加1，第三个因数是2的几加1次方，分子是几加2；等号右边分成分子都是1的两项差，第一个分母是几乘2的几次方，第二个分母是几加1乘2的几加1次方；由此规律解决问题；
（2）把这20个数相加，化为左边的形式相加，正好抵消，剩下第一个数分裂的第一项和最后一个数分裂的后一项，得出答案即可．
解答： 解：（1）用含n的代数式表示第n个等式：an=
=
﹣
．
（2）a1+a2+a3+…+a20 =
﹣
=﹣
． +
﹣
+
﹣
+
﹣
+…+
﹣
故答案为：（1），﹣；（2）﹣．
点评： 此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题． 11．（2014?四川绵阳,第18题4分）将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简，S1+S2+S3+…+S2014= 1﹣ ．
考点：规 律型：图形的变化类
分析：观 察图形的变化发现每次折叠后的面积与正方形的关系，从而写出面积和的通项公式． 解答： 解：观察发现S+S+S+…+S=+++…+=1﹣， 1232014故答案为：1﹣． 点评：本 题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图形的变化规律． 12．（2014?浙江绍兴,第15题5分）如图，边长为n的正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点，连结A1B1，A2B2，…An﹣1Bn﹣1，分别交曲线y=则n的值为 17 ．（n为正整数）
（x＞0）于点C1，C2，…，Cn﹣1．若C15B15=16C15A15，
考点：反 比例函数图象上点的坐标特征． 专题：规 律型． 分析： 根据正方形OABC的边长为n，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn先﹣1为CB的n等分点可知OA15=15，OB15=15，再根据C15B15=16C15A15表示出C15的坐标，代入反比例函数的解析式求出n的值即可． 解答： ：∵正方形OABC的边长为n，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn解为CB的n等分点∴OA15=15，OB15=15， ∵C15B15=16C15A15， ﹣1∴C15（15，）， （x＞0）上， ∵点C15在曲线y=∴15×=n﹣2，解得n=17． 故答案为：17． 点评：本 题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上k=xy为定值是解答此题的关键．
13．（2014?四川成都,第23题4分）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S=2，N=0，L=6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是 7，3，10 ．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数，则当N=5，L=14时，S= 11 ．（用数值作答）
考点：规 律型：图形的变化类；三元一次方程组的应用． 分析：（ 1）观察图形，即可求得第一个结论； （2）根据格点多边形的面积S=aN+bL+c，结合图中的格点三角形ABC及多边形DEFGHI中的S，N，L数值，代入建立方程组，求出a，b，c即可求得S． 解答：解 ：（1）观察图形，可得S=7，N=3，L=10； （2）不妨设某个格点四边形由四个小正方形组成，此时，S=4，N=1，L=8， ∵格点多边形的面积S=aN+bL+c， ∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得 ， 解得， ∴S=N+L﹣1， 将N=5，L=14代入可得S=5+14×﹣1=11． 故答案为：（Ⅰ）7，3，10；（Ⅱ）11． 点评：此 题考查格点图形的面积变化与多边形内部格点数和边界格点数的关系，从简单情况分析，找出规律解决问题． 14．（2014?河北，第20题3分）如图，点O，A在数轴上表示的数分别是0，0.1．
将线段OA分成100等份，其分点由左向右依次为M1，M2，…，M99； 再将线段OM1，分成100等份，其分点由左向右依次为N1，N2，…，N99； 继续将线段ON1分成100等份，其分点由左向右依次为P1，P2．…，P99．
﹣6
则点P37所表示的数用科学记数法表示为 3.7×10 ．
考点： 规律型：图形的变化类；科学记数法—表示较小的数． 分析： ﹣3由题意可得M1表示的数为0.1×=10，N1表示的数为0的数为10×﹣5×10=10，P1表示﹣3﹣5=10，进一步表示出点P37即可． =10， ﹣5﹣3﹣7解答： 解：M1表示的数为0.1×N1表示的数为0P1表示的数为10×﹣7﹣6﹣5﹣3×10=10， =10， ﹣7P37=37×10=3.7×10． ﹣6故答案为：3.7×10． 点评： 此题考查图形的变化规律，结合图形，找出数字之间的运算方法，找出规律，解决问题． 15．
三、解答题
1. （2014?青岛，第23题10分）数学问题：计算+
+
+…+
（其中m，n都是正整
数，且m≥2，n≥1）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算+
+
+…+
．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为+第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…； …
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为+
+
+…+
，最后空白部分的面积是
．
；
根据第n次分割图可得等式：+．
++…+=1﹣
探究二：计算+
+
+…+
．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为+第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…； …
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为+
+
+…+
，最后空白部分的面积是
+
+…+
． =1﹣
，
；
根据第n次分割图可得等式：+两边同除以2，得+
．
+
+…+
=﹣
探究三：计算+
+
+…+
．
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
解决问题：计算+
+
+…+
．
（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空） 根据第n次分割图可得等式：
+
+
+…+
=1﹣
，
所以，+++…+= ﹣ ．
拓广应用：计算 +++…+．
考点： 作图—应用与设计作图；规律型：图形的变化类． 专题： 规律型． 分析： 探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可； 解决问题：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以（m﹣1）即可得解； 拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解． 解答： 解：探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分， 其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， 阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， …， 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分， 所有阴影部分的面积之和为：+最后的空白部分的面积是， ++…+， 根据第n次分割图可得等式：+两边同除以3，得+ 解决问题：+++…+++…+++…+=1﹣； ， =﹣=1﹣， +++…+=﹣； 故答案为：+++…+=1﹣，﹣； 拓广应用：=1﹣+1﹣=n﹣（+=n﹣（﹣=n﹣+． ++1﹣++…+）， ++…+1﹣）， +…+， ， 点评： 本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．
2．（2014?江西，第24题8分）如图1，抛物线y=ax+bx+c(a>0)的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若三角形AMB为等腰直角三角形，我们把抛
2
物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高。
（1）抛物线y=12x对应的碟宽为____；抛物线y=4x2对应的碟宽为_____；抛物2线y=ax2（a>0）对应的碟宽为____；抛物线y=a(x-2)2+3(a>0)对应的碟宽____；
（2）若抛物线y=ax-4ax-25(a>0)对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值； 3（3）将抛物线yn=anx2+bnx+cn(an>0)的对应准蝶形记为Fn（n=1,2,3，…），定义F1，F2，…..Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比。若Fn与Fn-1的相似比为
1，2且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1.
①求抛物线y2的表达式
② 若F1的碟高为h1,F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn。则hn=_______,Fn的碟宽右端点横坐标为_______；F1，F2，….Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出改直线的表达式；若不是，请说明理由。
22133288【答案】 （1）4、、 、 ；（2） ；（3）①y2?x2?x?；②n?1 、 2?n?1、y?x?5.
aa322333【考点】 二次函数解析式与图像性质，等腰直角三角形性质，探索规律.
1
【分析】 （1）根据准碟形的定义易算出含具体值的抛物线y= x2、抛物线y=4x2的碟宽，
2且都利用第一象限端点B的横纵坐标的相等，类似推广至含字母的抛物线y=ax2（a＞0）．而抛物线y=a(x-2)2+3（a＞0）为顶点式，可看成y=ax2向右、向上平移得到，因而发现碟宽的2规律，只与a有关，碟宽= ．
a
亦可先根据y=ax画出二次函数的大致图像，根据题意并从图像分析可知，其准碟形碟宽两端点A、B和抛物线的顶点M围成的△AMB是等腰直角三角形，进而知道A、B两点的纵坐标和横坐标绝对值相等，代入y=ax即可求出二次项系数a与碟宽之间的关系式，而y=a(x-2)+3（a＞0）为顶点式，可看成y=ax平移得到，只与a有关。
2
（2）根据（1）中的结论，根据碟宽为6，列出方程 =6，求出a的值．
a（3）①把(2)中求出的a代入，得出y1的解析式，易推出y2．
2
2
22②结合画图，易知h1，h2，h3，…，hn?1，hn都在直线x=2上，但证明需要有一般推广，可以考虑hn∥hn?1，且都过Fn-1的碟宽中点，进而可得．另外，画图时易知碟宽有规律递减，所以推理也可得右端点的特点．对于F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上，如果写出所有端点规律不可能，找规律更难，所以可以考虑基础的几个图形关系，如果相邻3个点构成的两条线段不共线，则结论不成立，反正结论成立．而最后一空的求直线表达式只需考虑特殊点即可．
122
【解答】 解：（1）4、 、 、 . 2aa
∵a＞0，∴y=ax的图象大致如图1，其必经过原点O.
记线段AB为其准蝶形碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB． ∵△OAB为等腰直角三角形，AB∥x轴， ∴OC⊥AB，
11
∴∠AOC=∠BOC＝ ∠AOB＝ ×90°=45°，
22即△AOC=△BOC亦为等腰直角三角形，∴AC=OC=BC．
∴xA?yA，xB?yB，即A、B两点x轴和y轴坐标绝对值相同． 代入y?ax2，得方程x?ax2，解得x?∴由图像可知，A（－即AC=OC=BC＝∴AB=
2
1
. a
11111，），B（ ，），C（0，）， aaaaa1， a12·2＝， aa2. a即y?ax2的碟宽为AB＝
1212
∴①抛物线y= x对应的a?，得碟宽=4；
22a②抛物线y=4x对应的a=4，得碟宽③抛物线y=ax(a＞0)的碟宽为
2
2
21=； a222； a2
④抛物线y=a（x-2）+3（a＞0）可看成y=ax向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，
∵平移不改变形状、大小、方向，
∴抛物线y=a（x-2）+3（a＞0）的准碟形≌抛物线y=ax的准碟，
2
2
∵抛物线y=ax（a＞0），碟宽为
2
2
2， a2. a∴抛物线y=a（x-2）+3（a＞0），碟宽为（2）解法一：
5522
∵y=ax―4ax－ ＝a(x－2)－（4a＋ ) 332
∴同（1）得其碟宽为 ，
a52
∵y=ax―4ax－ 的碟宽为6，
321∴ =6，解得，a= . a312
∴y＝(x-2)-3．
3 解法二： ∵y=ax-4ax-255(a>0)可得，y=a(x-2)2-4a-， 33又已知碟宽在x轴上， ∴碟高＝-4a-156
＝ =3，解得a＝± ，
332
11
又∵a＞0，a＝－ 错误！未定义书签。不合题意舍去，∴a1＝ .
33
(3) ①解法一：
∵F1的碟宽︰F2的碟宽=2：1， ∴
22:?2:1 a1a21, 32. 3∵a1?∴a2?∵y1?（x?2）?3的碟宽AB在x轴上（A在B左边）， ∴A（-1，0），B（5，0）， ∴F2的碟顶坐标为（2，0），
132∴y2?（x?2） 解法二：
∵y1=a(x-2)-4a-∴y1=223251
，a＝ ，
331(x-2)2-3， 3即碟顶M1的坐标为（2，－3）.
∵F2的碟顶是的碟宽的中点，且F1的碟宽线段在x轴上， ∴F2的碟顶M2的坐标为（2,0），设y2?a2(x?2)2， ∵F2与F1的相似比为∴F2的碟宽为6×
21，F1的碟宽为6， 2122＝3，即＝3，a2＝. 23a2∴y2?a2(x?2)?
22288(x?2)2?(x2?4x?4)?x2?x?. 33333②∵Fn的准碟形为等腰直角三角形， ∴Fn的碟宽为2hn， ∵
2hn1? 2hn?12112131hn?1?()hn?2?()hn?3?...?()n?1h1. 2222∴hn?∵h1=3，
（）·3. ∴hn?∵hn∥hn?1，且都过Fn?1的碟宽中点，
∴h1，h2，h3，?，hn?1，hn都在同一条直线上， ∵h1在直线x=2上，
∴h1，h2，h3，?，hn?1，hn都在直线x=2上，
12n?1（）·3. ∴Fn的碟宽右端点横坐标为2+
F1，F2，…，Fn的的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=-x+5．
12n?1理由：
考虑Fn-2，Fn-1，Fn情形，关系如图2， Fn-2，Fn-1，Fn的碟宽分别为AB，DE，GH；
且C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上， 连接右端点，BE，EH．
∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴， ∴AB∥DE∥GH，
∴GH平行相等于FE，DE平行相等于CB， ∴四边形GFEH、四边形DCBE都是平行四边形， ∴HE∥GF，EB∥DC，
11
∵∠GFI= ?∠GFH= ?∠DCE=∠DCF，
22∴GF∥DC， ∴HE∥EB，
∵HE，EB都过E点， ∴HE，EB在一条直线上，
∴Fn?2，Fn?1，Fn的碟宽的右端点是在一条直线， ∴F，F2，?，Fn的碟宽的右端点是在一条直线． 1根据②中得出的碟高和右边端点公式，可知
12y1=（x?2）?3准碟形右端点坐标为（5，0），
3212?112?1??2y2=（x?2）准碟形右端点坐标为?2?()?3,()?3?，即(3.5，1.5)
322??∴待定系数可得过两点的直线为y=－x+5，
∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在直线y=-x+5上．
【点评】 本题考查学生对新定义和新知识的学习、模仿和应用能力．题目中主要涉及特殊直角三角形，二次函数解析式与图象性质，多点共线证明等知识，综合难度较高，学生对题意要清晰的理解比较困难。