2017-2018学年度高三上学期第一次调研考试
数学（文）
（满分150分，考试时间：120分钟）
第?卷（选择题 共60分）
一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{x|y＝4x－x}，B＝{x||x|≤2}，则A∪B＝( ) A．[－2,2] B．[－2,4] C．[0,2] D．[0,4] 2．下列命题是真命题的为( ) 11
A．若＝，则x＝y
2
xyB．若x＝1，则x＝1 D．若x x2 2 2 C．若x＝y，则x＝y 3．已知f(x)满足对?x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，且x≥0时，f(x)＝e＋m(m为常数)，则f(－ln 5)的值为( ) A．4 B. 6 C．－4 D.－6 2 4．已知△ABC的内角A满足sin2A＝，则sinA＋cosA＝( ) 3 A. 151555 B．－ C. D．－ 3323 π ，且|a|＝1，|b|＝4，若(3a＋λb)⊥a，则实数λ＝( ) 3 D．2 5．已知向量a与b的夹角是 33 A．－ B． C．－2 22 6．已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值是( ) 11A．e B．－e C. D．－ ee π 7．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A>0，|φ|<的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin2x2的图象，则只需将f(x)的图象( ) - 1 - ππ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 612ππ C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 6122x－y≤0，?? 8．若x，y满足?x＋y≤3， ??x≥0， 则2x＋y的最大值为( ) A．0 B．3 C．4 D．5 ?1?|x| 9．若对任意的x∈R，y＝1－a均有意义，则函数y＝loga??的大致图象是( ) x?? 21 10．已知a>0，b>0,2a＋b＝1，则＋的最小值是( ) ab9 A．4 B. C．8 D．9 2 x3 11．已知f(x)＝ln x－＋，g(x)＝－x2－2ax＋4，若对任意的x1∈(0,2]，存在x2∈[1,2]， 44x使得f(x1)≥g(x2)成立，则a的取值范围是( ) 5??5??1??15??A．?，＋∞? B．?－，＋∞? C．?－，? D．?－∞，－? 4??4??8??84?? ??2，x≤0， 12．设函数f(x)＝? ??log2x，x>0， x 若关于x的方程[f(x)]－af(x)＝0恰有三个不同的实数 2 解，则实数a的取值范围为( ) A．(0,1] B．(0,1) C．[1，＋∞) D．(－∞，1) 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13.已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________． - 2 - π 14．若函数f(x)＝4sin5ax－43cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a3的值为________． 15.甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进． 16．已知函数f(x)＝2，g(x)＝x＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝ x2 f?x1?－f?x2?x，n＝g?x1?－g?x2? .现有如下命题： 1－x2x1－x2 ①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m>0； ②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n>0； ③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n； ④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n. 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分） 已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bnn＝a，求数列{bn}的前n项和Tn. 2n－1 18. (本小题满分12分) 在△ABC中，a2 ＋c2 ＝b2 ＋2ac. (1)求∠B的大小； (2)求2cosA＋cosC的最大值． - 3 - 19．(本小题满分12分) 在等比数列{an}中，an>0(n∈N)，a1a3＝4，且a3＋1是a2和a4的等差中项， 若bn＝log2an＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＝an＋1＋ 20. （本小题满分12分） 已知向量m＝(3sinx，cosx)，n＝(－cosx，3cosx)，f(x)＝m2n－(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值； 3. 2 1 ，求数列{cn}的前n项和． b2n－12b2n＋1 * ?π?(2)若方程f(x)＝a在区间?0，?上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围． 2?? 21. （本小题满分12分） 某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元． (1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？ (2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？ - 4 - 22.（本小题满分12分） 1 已知函数f(x)＝＋aln x(a≠0，a∈R)． x(1)若a＝1，求函数f(x)的极值和单调区间； (2)若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围． 答案 一、选择题 1. B 2.A 3.C 4.A 5.A 6.C 7. A 8.C 9.B 10.D 11.A 12.A 二、填空题 13、2n－1 14、±3 5 15、30° 16、 ①④ 三、解答题 17. (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 5 由题意，得???a1q＝64， ??a3q4＝6a2 1q＋a11q， 解得??? a1＝2， ?? q＝2或q＝－3?舍?， 所以ann＝2. (2)因为bnn＝a＝ n－1 ， 2n－12 2n所以T1234nn＝2＋23＋25＋27＋…＋22n－1， 14T＝123n－1nn23＋25＋27＋…＋22n－1＋22n＋1， 所以34T11111nn＝2＋23＋25＋27＋…＋22n－1－22n＋1 1? 1＝2??1－4n???－n24＋3n2n＋1＝－2n＋1， 1－1233324故T816＋12n84＋3nn＝9－9322n＋1＝9－9322n－1. 18. (1)由余弦定理及题设，得 - 5 - a2＋c2－b22ac2cosB＝＝＝.(2分) 2ac2ac2 π 又0<∠B<π，所以∠B＝.(4分) 43π (2)由(1)知∠A＋∠C＝，则 42cosA＋cosC＝2cosA＋cos?＝2cosA－＝ 22 cosA＋sinA 22 ?3π－A? ? ?4? 22 cosA＋sinA 22 ?π?＝cos?A－?.(9分) 4?? 3π 因为0<∠A<，(10分) 4 π 所以当∠A＝时，2cosA＋cosC取得最大值1.(12分) 4 19. (1)设等比数列{an}的公比为q，且q>0， 在等比数列{an}中，由an>0，a1a3＝4，得a2＝2，① (2分) 又a3＋1是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋1)＝a2＋a4，② 把①代入②，得2(2q＋1)＝2＋2q，解得q＝2或q＝0(舍去)，(4分) 所以an＝a2qn－2 2 ＝2 n－1 ， n则bn＝log2an＋1＝log22＝n. (6分) (2)由(1)得，cn＝an＋1＋ 1 b2n－12b2n＋1 1?11?1nn－＝2＋＝2＋??，(8分) ?2n－1??2n＋1?2?2n－12n＋1? 11?11??1－1? ]2n所以数列{cn}的前n项和Sn＝2＋2＋…＋2＋[( 1－ )＋?－?＋…＋??23?35??2n－12n＋1? n1?2?1－2?1?nn＋1 ＝＋?1－＝2－2＋.(12分) ?2n＋1?1－22?2n＋1 20. (1)f(x)＝m2n－ 333332 ＝－3sinxcosx＋3cosx－＝－sin2x＋(1＋cos2x)－ 22222 5π?33?＝－sin2x＋cos2x＝3sin?2x＋?. 6?22? 5πππ 当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ－，k∈Z时，函数f(x)取得最大值3. 626 - 6 - 5π?5π11π??π?，(2)由于x∈?0，?时，2x＋∈??. 2?6?6?6?而函数g(x)＝3sinx在区间?又g? ?5π，3π?上单调递减，在区间?3π，11π?上单调递增． ?22?6??6??? ?11π?＝－3，g?3π?＝－3，g?5π?＝3. ??2??6?2 2?6????? 3???π?所以方程f(x)＝a在区间?0，?上有两个不同的实数根时，a∈?－3，－?. 2??2?? 21. (1)设第n年获取利润为y万元． n年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n年付出的装修费之和为n31 ＋ n?n－1? 2 32＝n，又投资81万元，n年共收入租金30n万元， 2 * 2 ∴利润y＝30n－n－81(n∈N)． 令y>0，即30n－n－81>0，∴n－30n＋81<0， 解得3 30n－?81＋n?81?81?(2)方案①：年平均利润t＝＝30－－n＝30－?＋n?≤30－2 2 *2 2 nn?n? 81 2nn81 ＝12(当且仅当＝n，即n＝9时取等号)， n∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润1239＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y＝30n－n－81＝－(n－15)＋144(n∈N)， 当n＝15时，纯利润总和最大，为144万元， ∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①. 11x－1 22. (1)当a＝1时，f′(x)＝－2＋＝2. 2 2 * xxx令f′(x)＝0，得x＝1， 又y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由f′(x)<0，得0 y＝f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 1aax－1 (2)f′(x)＝－2＋＝2，且a≠0. xxx1 令f′(x)＝0，得x＝. a若在区间(0，e]上存在一点x0，使得f(x0)<0成立， 即y＝f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0. - 7 - 当a<0时，f′(x)<0对x∈(0，e]恒成立，即y＝f(x)在区间(0，e]上单调递减， 1111 故y＝f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋aln e＝＋a，由＋a<0，得a<－，即 eeee a∈?－∞，－?. e ?? 1?? 当a>0时， 11 ①若e≤，即0 ae所以y＝f(x)在区间(0，e]上单调递减， 11 则y＝f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋aln e＝＋a>0，显然，y＝f(x)在区间 ee(0，e]上的最小值小于0不成立． 11 ②若0< ae x f′(x) f(x) ?0，1? ?a???－ ? 1a ?1，e? ?a???＋ ? 0 极小值 1?1?所以f(x)在区间(0，e]上的最小值为f??＝a＋aln ， ?a? a1?1?由f??＝a＋aln ＝a(1－ln a)<0，得 a?? a1－ln a<0，解得a>e，即a∈(e，＋∞)． 1??综上可知，a∈?－∞，－?∪(e，＋∞)． e?? - 8 -