∵e1,e2,a,b为非零向量,∴λ≠2且λ≠-k, ∴
a=
b,即a=
b,这时a与b共线,
∴不存在实数k满足题意.故③不正确,④正确. 综上,正确的结论为①④.
8.【思路点拨】求轨迹方程的问题时可求哪个点的轨迹设哪个点的坐标,故设C(x,y),根据向量的运算法则及向量相等的关系,列出关于α,β,x,y的关系式,消去α,β即可得解. 【解析】选D.设C(x,y),则=(x,y),β于是
=(3,1),
=(-1,3).由=α
+
,得(x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).
由③得β=1-α代入①②,消去β得再消去α得x+2y=5, 即x+2y-5=0.
【一题多解】由平面向量共线定理,得当时,A,B,C三点共线. 因此,点C的轨迹为直线AB, 由两点式求直线方程得即x+2y-5=0.
=
,
=α+β,α+β=1
9.【思路点拨】建立平面直角坐标系,设P(x,y),求出α+β与x,y的关系,运用线性规划求解.
【解析】选B.以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则D(0,1),B(3,0),C(1,1),设P(x,y).
∴=(x,y),=(0,1),=(3,0). ∵=α+β,
即(x,y)=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α), ∴
∴
∴α+β=+y.
由线性规划知识知在点C(1,1)处+y取得最大值.
10.【思路点拨】根据向量的共线求出tanα,再利用三角变换公式求值. 【解析】选C.由a∥b得=-.
=
-代入上式得, =2014.
=
-=-=-.
=2014,即
=2014,解得tanα
tan2α-将tanα=-tan2α-
【方法技巧】解决向量与三角函数综合题的技巧方法
向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.
11.【解析】由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ). 设B(x,y),则由
=(x-1,y-2)=b. ?
又B点在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0,
所以B(0,)或(,0). 答案:(0,)或(,0) 12.【解析】由题意知===
+
=
-
=
+
-(+) --=-+
=-a+b. 答案:-a+b
13.【解析】由
a=(1,2),a-b=(3,1)得
b=(-4,2),故
2a+b=2(1,2)+(-4,2)=(-2,6). 由(2a+b)∥c得6x=-6,解得x=-1. 答案:-1
14.【解析】对于①,当
=
时,则四边形ABCD为平行四边形,又
||=||,故该平行四边形为菱形,反之,当四边形ABCD为菱形时,则=+|
,且|+
|=|
|,故①正确;对于②,若G为△ABC的重心,则
=-,所以
∥
且
=0,故不正确;对于③,由条件知
|>||,
又||=||,故四边形ABCD为等腰梯形,正确;对于④,当,共线同向时,|
|=3,当
,
共线反向时,|
|=8+5=13,当
,
不共线时
3<||<13,故正确.综上正确命题为①③④. 答案:①③④ 15.
【解析】
(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6). (2)∵a=mb+nc,
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n). ∴
解得
(3)∵(a+kc)∥(2b-a),
又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2). ∴2〓(3+4k)-(-5)〓(2+k)=0, ∴k=-.
【变式备选】已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x). (1)求实数x,使两向量,(2)当两向量与
共线.
共线时,A,B,C,D四点是否在同一条直线上?
=(4,x).
【解析】(1)=(x,1),∵∥
,
∴x2-4=0,即x=〒2. ∴当x=〒2时,∥
.
(2)当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1), ∴∥.此时A,B,C三点共线,
从而,当x=-2时,A,B,C,D四点在同一条直线上. 但x=2时,A,B,C,D四点不共线.
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课时提升作业(二十六)
一、选择题
1.(2013·宝鸡模拟)已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于 ( )
(A)-a+b (B)a-b (C)-a-b (D)-a+b
2.(2013·蚌埠模拟)已知向量a=(1-sinθ,1),b=(,1+sinθ),若a∥b,则锐角θ等于 ( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)75° 3.(2013·抚州模拟)原点O是正六边形ABCDEF的中心,=(1,-),则
等于( )
(B)(-2,0)
)
=(-1,-),
(A)(2,0) (C)(0,-2
) (D)(0,
4.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 ( ) (A)(2,0) (B)(0,-2) (C)(-2,0) (D)(0,2) 5.如图所示,已知
=2,=a,=b,=c,则下列等式中成立的是
( )
(A)c=b-a (B)c=2b-a (C)c=2a-b (D)c=a-b
6.(2013·西安模拟)已知向量
=(1,-3),
=(2,-1),
=(m+1,m-2),
若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件是( ) (A)m≠-2 (B)m≠ (C)m≠1 (D)m≠-1 7.已知非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=ke1+e2.给出以下结论: ①若e1与e2不共线,a与b共线,则k=-2; ②若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2; ③存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线; ④不存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线. 其中正确结论的个数是 ( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
8.(能力挑战题)平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=α则点C的轨迹方程为 ( ) (A)(x-1)2+(y-2)2=5
+β,其中α,β∈R且α+β=1,
(B)3x+2y-11=0 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=0
9.(2013·黄石模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD=CD=1,AB=3,动点P在△BCD内运动(含边界),设=α( )
+β
,则α+β的最大值是
(A) (B) (C) (D)
10.已知a=(sinα-cosα,2014),b=(sinα+cosα,1),且a∥b,则tan2α-的值为( )
(C)2014 (D)
(A)-2014 (B)-二、填空题
11.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为 .
12.如图,在□ABCD中,=a,=b,=3,M是BC的中点,则
= (用a,b表示).
13.在平面直角坐标系xOy中,已知向量a=(1,2),a-b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x= .
14.(2013·合肥模拟)给出以下四个命题: ①四边形ABCD是菱形的充要条件是
=,且||=||;
②点G是△ABC的重心,则++=0;
③若=3e1,=-5e1,且||=||,则四边形ABCD是等腰梯形;
④若||=8,||=5,则3≤||≤13. 其中所有正确命题的序号为 . 三、解答题
15.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题: (1)求3a+b-2c.
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n. (3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.
答案解析
1.【解析】选B.设c=λa+μb, ∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1), ∴
∴c=a-b.
2.【解析】选B.∵a∥b,∴(1-sinθ)(1+sinθ)-1〓=0, ∴sinθ=〒,
又θ为锐角,∴θ=45°.
3.【解析】选A.∵在正六边形ABCDEF中,OABC为平行四边形,∴
∴
=∴
=
+-
, =(2,0).
4.【解析】选D.由已知a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设a=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ), 则由∴a=0m+2n,
∴a在基底m,n下的坐标为(0,2). 5.【解析】选A.由=2得c=b-a.
6.【思路点拨】运用反证法,从三点可以共线考虑,然后取所得范围的补集.
【解析】选C.若点A,B,C不能构成三角形,则只能共线. ∵==--=(2,-1)-(1,-3)=(1,2), =(m+1,m-2)-(1,-3)
+
=2(
+
),所以2
=-+3
,即
解得
=(m,m+1).
假设A,B,C三点共线, 则1〓(m+1)-2m=0,即m=1.
∴若A,B,C三点能构成三角形,则m≠1.
7.【解析】选B.(1)若a与b共线,即a=λb,即2e1-e2=λke1+λe2,而e1与e2不共线, ∴
解得k=-2.故①正确,②不正确.
?a?(2??)e1,
?b?(k??)e1,(2)若e1与e2共线,则e2=λe1,有?