2009年天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试
高等数学
第I卷（选择题 共40分）
一、单项选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分. 1．下列极限存在的是
1
A．lim1x2x2?1x?02x?1 B. limx?0e C. limx??xsinx D. xlim
???x12．设f(x)?xx?1，则
A．limx?1f(x)不存在 B.点x?1为f(x)的第一类间断点 C. 点x?1为f(x)的第二类间断点
D.f(x)在 点x?1处连续
3．f??(x0)?0是点(x0,f(x0))为曲线y?f(x)的拐点的
A. 必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
4．下列函数中，在区间??1,1?上满足罗尔定理条件的函数是
A．y?x3?2 B．y??x?1??2 C．y?x D．y??x2?1??15．设实数a?0，函数f(x)在区间??a,a?上连续，则若?a?ax4?f(x)?f(?x)dx??
A．0 B．2a C．4a D．8a
6．使广义积分???1f(x)dx?1成立的f(x)为
A．e?x
B．
1x C．
1x2 D．
11?x2 ??7．已知空间三个点A?1,0,0?,B?0,1,?1?,C?1,0,?1?,则AB?AC? A．??1,?1,0? B．?1,?1,0? C．??1,1,0?
8．
??01?cos2xdx?
A．2
B．22
C．0
D． 2
9．曲线y?earctanx的凹（即凸向下）的区间是
①
D．??1,0,1?
②
A．(??,)
12B．(?11,2) C．(,??) 22DD．(??,2)
10．设常数R?0,区域D为x2?y2?R2且x?0，则I??R??f(x,y)d??
?A．
??? d??f(rcos?,rsin?)rdr
0RB．
??d??f(rcos?,rsin?)dr
2?20RC．
?2??0d??f(rcos?,rsin?)dr
0D．
??d??2?2R0f(rcos?,rsin?)rdr
第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分，把答案填在题中横线上.
sinx?lnx? 11．求极限：lim?x?012．已知f(x)为可导的偶函数，且limx?0f(1?x)_f(1)??2,则曲线y?f(x)在点(?1,f(?1))处的切线斜率为
2x13．过点?1,?2,3?且与平面2x?3y?6z?7?0垂直的直线方程为 ?x,x?0,0?14．设f(x)??1，则?f(x?1)dx的值为
?2,x?0,??x?1?2z15．设函数z?x,则?
?x?yy16．微分方程y???2y??10y?0的通解为 三、解答题:本大题共8小题,共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分） 求limx?xcosx.
x?0sinx?xcosx 18．（本小题满分10分）
?x?1?2t2,d2y?u. 设参数方程?其中参数t?1,求1?2lnte2dxdu,?y??1u?
③
19．（本小题满分10分）
设函数f(x)在?0,???内可导，且f(x)?2xlnx?x?xf?(1). （1）求f?(1);（2）求
?f(x)dx.
20．（本小题满分10分）
已知函数z?z(x,y)由方程z?xy?ez?3确定。
（1） 求偏导数
?z?z,及全微分dz; ?y?x（2） 求曲面z?z(x,y)在点?2,1,0?处的切平面方程。 21．（本小题满分10分） 计算二重积分
??Dxd?,其中D是由曲线xy?1和直线y?x,y?2所围成的区域。 y
④
22．（本小题满分12分）
求微分方程(x?y4)dy?ydx的通解 23．（本小题满分12分）
22 证明不等式：1?xlnx?1?x?1?x(???x???)
?? 24．（本小题满分12分）
已知f(x)的图形过点(0,3)，f?(x)的图形是过点(1,0)且不平行于坐标轴的直线，2是f(x)的极值。 （1） 求f(x)的表达式;
（2） 求f(x)的图形与直线y?3所围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积。
高等数学参考答案
一、选择题
1．C 2．B 3．D 4．D 5．A 6．C 7．A 8．B 9．A 10．D 二、填空题
11．0 14．
12．4 13．
x?1y?2z?3?? 2?362?ln2 15．xy?1?1?ylnx? 16．y?ex(c1cos3x?c2sin3x) 3
⑤
三、解答题
17．解：原式= ?lim1?cosx?xsinx1?cosx1?cosx3?lim?1?lim?1? 2x?0x?0xsinxx?0xsinx2xdxdye1?2lnt2e.t222et?4t. ?.?.?. 18．解： dtdt1?2lntt1?2lntt1?2lnt所以
dye?. dx2(1?2lnt)?dy?d???2e?dx??e??因为??. ?2?2dt2?t(1?2lnt)?t(1?2lnt)d2ye所以??. 222dx4t(1?2lnt)19．解：（1）由已知，得f?(x)?2lnx?3?f?(1).因此f?(1)?（2）因为f(x)?2xlnx?3 2x1, 所以?f(x)dx??2xlnxdx??xdx. 22x2?xlnx??xdx?4
3?x2lnx?x2?c4220．解：（1）设F?x,y,z??ez?z?xy?3,
??x,y,z??x,Fz??x,y,z??ez?1. 于是Fx??x,y,z??y,FyFy?Fx??zy?zx 所以 ???.???.
?xFz?1?ez?yFz?1?ez dz?yxdx?dy zz1?e1?e??2,1,0??2,Fz??2,1,0??0.所以切平面的法向量为?1,2,0?，故切平面的方程为（2）因为Fx??2,1,0??1,Fy?x?2??2(y?1)?0即x?2y?4?0.
21．解：解方程组??xy?1,得该两条曲线在第一象限内的交点为?1,1?
?y?x1?x?y. y区域D用不等式可表示为1?y?2,
⑥
故
??D2yxx12?1?9?d???dy?1dx???y?dy? 3?11?yy216yy??22．解：原方程改写为
dx1?x?y3. dyy1?(?)dyy故所求通解为x?e?)dy?3?(?1?ydy?C? ??y?e????lny3?lnydy?C) ?e(y?e?33?1 =y(y?ydy?C)
? =y(y?C)
23．证明：设f(x)?1?xln(x?1?x2)?1?x2,
131?则f?(x)?ln(x?1?x)?x?2x1?x2?x1?x211?x2x?1?x2?ln(x?1?x2)
令f?(x)?0,得唯一驻点x?0，由于f??(x)??0,
所以x?0为f(x)的极小值点，也是最小值点，故f(x)?f(0)?0, 即 1?xln(x?1?x2)?1?x2(??,??) 24．解：（1）由题意设 f?(x)?k(x?1)(其中常数k?0), 于是f(x)?k(x?1)dx?k(x?x)?C
2 因为f(x)的图形过点(0,3),所以C?3；于是f(x)?k(x?x)?3
?12212 因为2是f(x)的极值，且由f?(x)?k(x?1)知x?1是f(x)的唯一极值点，
22 所以f(1)?k(?1?1)?3?2,于是k?2 故f(x)?x?2x?3
12 （2）由y?x?2x?3,即y?(x?1)?2, 得x?1? 故V??22y?2
??(1?323y?2)2?(1?y?2)2dy
332?8 =??4y?2dy??(y?2)223
8?? 3
⑥
故
??D2yxx12?1?9?d???dy?1dx???y?dy? 3?11?yy216yy??22．解：原方程改写为
dx1?x?y3. dyy1?(?)dyy故所求通解为x?e?)dy?3?(?1?ydy?C? ??y?e????lny3?lnydy?C) ?e(y?e?33?1 =y(y?ydy?C)
? =y(y?C)
23．证明：设f(x)?1?xln(x?1?x2)?1?x2,
131?则f?(x)?ln(x?1?x)?x?2x1?x2?x1?x211?x2x?1?x2?ln(x?1?x2)
令f?(x)?0,得唯一驻点x?0，由于f??(x)??0,
所以x?0为f(x)的极小值点，也是最小值点，故f(x)?f(0)?0, 即 1?xln(x?1?x2)?1?x2(??,??) 24．解：（1）由题意设 f?(x)?k(x?1)(其中常数k?0), 于是f(x)?k(x?1)dx?k(x?x)?C
2 因为f(x)的图形过点(0,3),所以C?3；于是f(x)?k(x?x)?3
?12212 因为2是f(x)的极值，且由f?(x)?k(x?1)知x?1是f(x)的唯一极值点，
22 所以f(1)?k(?1?1)?3?2,于是k?2 故f(x)?x?2x?3
12 （2）由y?x?2x?3,即y?(x?1)?2, 得x?1? 故V??22y?2
??(1?323y?2)2?(1?y?2)2dy
332?8 =??4y?2dy??(y?2)223
8?? 3