x ????，?a??a?2? ? ??a2??2，?a?6?? ?a ??a6??6，????? h?(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x) 递增 极大递减 极小值 值 递增 所以函数h(x)的单调递增区间为????，?a??a?2??和???6，?????aa??；单调递减区间为???2，?6??. 当?a2??1，即0?a?2时， 函数h(x)在区间(??，?1] 上单调递增，
h(x)在区间(??，?1]上的最大值为h(?1)?a?14a22. 当?a2??1，且?a6??1，即2?a?6时，
函数h(x)在区间??a?a???，?2??内单调递增，在区间(?2，?1]上单调递减， h(x)在区间(??，?1]上的最大值为h(?a2)?1. 当?a6??1，即a?6时，
函数h(x)在区间?????，?a?a2??和(?6，?1]上单调递增，在区间????a2，?a?6??内单调递减， 又因h(?a2)?h(?1)?1?a?12124a?4(a?2)?0，
所以h(x)在区间(??，?1]上的最大值为h(?a2)?1. 8. 解：(1)因为方程ax?(1?a2)x2?0(a?0)有两个实根xa1?0，x2?1?a2，
故f(x)?0的解集为{x|x1?x?x2}． 因此区间I????0，a?1?a2??，故I的长度为a1?a2. (2)设d(a)?a1?a2，则d?(a)?1?a2(1?a2)2(a?0)． 令d?(a)?0，得a?1.由于0?k?1，故 当1?k?a?1时，d?(a)?0，d(a)单调递增； 当1?a?1?k时，d?(a)?0，d(a)单调递减．
所以当1?k?a?1?k时，d(a)的最小值必定在a?1?k或a?1?k处取得．
11
1?k而d(1?k)1?(1?k)22?k2d(1?k)?1?k??k32?k2?k3?1， 1?(1?k)2故d(1?k)?d(1?k)．
因此当a?1?k时，d(a)在区间[1?k，1?k]上取得最小值
1?k2?2k?k2.
9. 解：(1)f?(x)?3ax2?2bx?3，依题意，f?(1)?f?(?1)?0，
即??3a?2b?3?0，解得a?1，b?0?3a?2b?3?0.
∴ f(x)?x3?3x.
(2) 由(1)知f?(x)?3x2?3?3(x?1)(x?1)， ∵ 曲线方程为y?x3?3x，
∴ 点A(1，m)(m??2)不在曲线上． 设切点为M(x30，y0)，则点M的坐标满足y0?x0?3x0. ∵f?(x20)?3x0?3， 3∴切线的斜率为3(x2?1)?x0?3x0?m0x， 0?1整理得2x320?3x0?m?3?0.
∵ 过点A(1，m)可作曲线的三条切线， ∴ 关于x320的方程2x0?3x0?m?3?0有三个实根． 设g(x320)?2x0?3x0?m?3，则g?(x0)?6x20?6x0， 由g?(x0)?0，得x0?0或1.
∴g(x0)在(??，0)和(1,??)上单调递增，在(0，1)上单调递减． ∴ 函数g(x320)?2x0?3x0?m?3的极值点为x0?0和1.
12
∴关于x32?g(0)?00的方程2x0?3x0?m?3?0有三个实根的充要条件是?1)?0，
?g(解得?3?m??2.
故所求实数m的取值范围是(－3，－2)．
10. 解：（1）设函数g(x)图像与x轴的交点坐标为(a，0)，
又∵点(a，0)也在函数f(x)的图像上，∴ a3?a2?0. 而a?0，∴ a??1.
（2）由题意知f(x)?g(x)?a(x?p)(x?q)， ∵ 0?x?p?q?1a， ∴a(x?p)(x?q)?0 ∴x?(0，p)时，f(x)?g(x)?0，即f(x)?g(x).
又f(x)?(p?a)?a(x?p)(x?q)?x?a?(p?a)?(x?p)(ax?aq?1)，
x?p?0，且ax?aq?1?1?aq?0，
∴f(x)?(p?a)?0 ∴f(x)?p?a， 综合可知，g(x)?f(x)?p?a.
11. 解：（1）x?0时，f?(x)?ex?cosx?1?cosx?0，
所以函数y?f(x)在[0,??)上单调递增；
（2）因为f(xx1)?g(x2)，所以e1?sinx1?x2?2
所以P,Q两点间的距离等于xx12?x1?e?sinx1?x1?2，
设h(x)?ex?sinx?x?2(x?0)，则h?(x)?ex?cosx?1(x?0)， 记l(x)?h?(x)?ex?cosx?1(x?0)，则l?(x)?ex?sinx?1?sinx?0，所以h?(x)?h?(0)?1?0，
所以h(x)在[0,??)上单调递增，所以h(x)?h(0)?3 所以x2?x1?3，即P,Q两点间的最短距离等于3.
12. 解：(1)证明：设g(x)?f(x)?1?a(1?1)?alnx?a(1?1xx)(x?0)，
13
则g?(x)?ax?ax2.令g?(x)?0，则x?1，易知g(x)在x?1处取到最小值， 故g(x)?g(1)?0，即f(x)?1?a(1?1x). (2) 由f(x)?x得alnx?1?x，即a?x?1lnx. lnx?x?1令h(x)?x?1（1?x?exlnx），则h?(x)?(lnx)2. 令?(x)?lnx?x?111x（1?x?e）， 则??(x)?x?1x?x2?x2?0， 故?(x)在(1，e)上单调递增，所以?(x)??(1)?0.
因为?(x)?0，所以h?(x)?0，即h(x)在(1，e)上单调递增， 则h(x)?h(e)?e?1，即
x?1lnx?e?1，所以a的取值范围为[e?1，??)． 13. 解：(1)f?(x)?lnx?1，
当x???0，1???e?时，f?(x)?0，f(x)单调递减；
当x???1??e,????时，f?(x)?0，f(x)单调递增． 所以f(x)的最小值为f(1)??1ee. (2) 2xlnx??x2?ax?3，则a?2lnx?x?3x. 设h(x)?2lnx?x?3(x?3)(x?1)x(x?0)，则h?(x)?x2， ① 当x??0，1?时，h?(x)?0，h(x)单调递减； ② 当x?(1,??)时，h?(x)?0，h(x)单调递增，
所以h(x)min?h(1)?4.因为对一切x?(0,??)，2f(x)?g(x)恒成立，
所以a?h(x)min?4，即a的取值范围为(??，4]. (3) 证明：问题等价于证明xlnx?xex?2e（x?(0,??)）. 由(1)可知f(x)?xlnx（x?(0,??)）的最小值是?11e，当且仅当x?e时取到．
14
设m(x)?xex?2e（x?(0,??)），则m?(x)?1?xex，易知m(x)max?m(1)??1e， 从而对一切x?(0,??)，都有lnx?12ex?ex成立．
14. 解：（1）f?(x)?1?aex ，
∵ 曲线y?f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴， ∴f?(1)?1?ae?0 ∴ a?e. （2）f?(x)?1?aex ① 当a?0时，f?(x)?0，f(x)为(??，??)上的增函数，所以函数f(x)无极值． ② 当a?0时，令f?(x)?0，得x?lna.
当x?(??，lna)时，f?(x)?0；当x?(lna，??)时，f?(x)?0， 所以f(x)在(??，lna)上单调递减，在(lna，??)上单调递增， 故f(x)在x?lna处取得极小值， 且极小值为f(lna)?lna，无极大值． 综上，当a?0时，函数f(x)无极值；
当a?0时，函数f(x)在x?lna处取得极小值lna，无极大值． （3）当a?1时，f(x)?x?1?1ex. 直线l：y?kx?1与曲线y?f(x)没有公共点， 等价于关于x的方程kx?1?x?1?1ex在R上没有实数解， 即关于x的方程：(k?1)x?1ex (*)在R上没有实数解． ① 当k?1时，方程(*)可化为1ex?0，在R上没有实数解． ② 当k?1时，方程(*)化为
1?xexk?1. 令g(x)?xex，则有g?(x)?(1?x)ex. 令g?(x)?0，得x??1，
15
极值表如下
x (??，?1) －1 (?1,??) g?(x) － 0 ＋ g(x) ?1e 当x??1时，g(x)1min?e， 从而g(x)的取值范围为[?1e，??). 所以当
1k?1?(??，?1e)时，方程(*)无实数解， 解得k的取值范围是(1?e，1)． 综合①②，得k的最大值为1. 16
函数与导数
第一单元：考点梳理、热点探究： 一、考点梳理： 1. 函数及其表示：
（1）函数的三要素：定义域、值域、对应关系。两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一个函数.
（2）函数的表示：列表法、图像法、解析式法. 2. 函数的性质：
（1）单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性. 判定函数的单调性常用定义法、图像法及导数法.
（2）函数的奇偶性反映了函数图像的对称性，是函数的整体特性.利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分（一半）区间上，是简化问题的一种途径.
（3）函数的周期性反映了函数图像的重复性，在周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量的作用，奇偶性起到调节符号作用. 3. 基本初等函数：
（1）幂函数y?x?的图像与性质由于?的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
①?的正负：??0时，图像过原点和（1,1），在第一象限的图像上升；??0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降.
② 曲线在第一象限的凹凸性：??1时，曲线下凸；0???1时，曲线上凸；??0时，曲线下凸. （2）指数函数y?a(a?0，a?1)与对数函数y?logax(a?0，a?1)的图像和性质，分
x0?a?1，a?1两种情况，当a?1时，两函数在定义域内都为增函数，当0?a?1时，两函数在定义域
内都为减函数. 4. 函数的零点：
确定函数零点的常用方法：
（1）解方程判定法，方程易解时用此法； （2）利用零点存在的判定定理；
（3）利用数形结合，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解. 5. 导数的概念及其应用：
（1）导数的几何意义：
① 函数y?f(x)在x?x0处的导数f?(x0)就是曲线y?f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，
1
即k?f?(x0).
② 曲线y?f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y?f(x0)?f?(x0)(x?x0).
（2）利用导数研究函数的单调性：在区间(a，b)内，如果f?(x)?0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f?(x)?0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减.
（3）利用导数研究函数的极值（最值）问题
① 若在x0附近左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧
f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.
② 设函数y?f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. 二、考点、热点探究 1. 考情报告： 题 型 小 题 2011年 理 科： 第3题：函数的奇偶性与求值. 第10题：函数的图像. 文科： 第4题：函数的解析式. 第10题：函数的图像. 2012年 理科： 第2题：函数解析式. 文科： 第3题：对数计算. 第13题：函数的单调性 2013年 理科： 第4题：函数单调性. 第8题：函数的图像. 第10题：函数方程的实根个数. 文科： 第8题：函数图像. 第10题：函数方程的实根个数. 理科第17题，文科第20题 含参变量的二次函数，解不等式求解集区间长度，利用导数求最值. 大 题 理科： 第16题：导数（指数、分式函数型，求极值点，参数的取值范围） 文科： 第17题：导数（指数、分式函数型，求极值点，参数的取值范围） 理科： 第19题：导数（指数、分式函数型，求最值和参数） 文科： 第17题：导数（分式函数型，求最值，根据切线方程求参数） 2. 考向预测：
纵观近三年高考安徽卷，函数与导数知识的考查主要是函数的单调性、奇偶性和周期性；函数图像的应用；结合导数和不等式知识求切线方程、求函数解析式、确定函数单调区间、求参数范围、求函数的极值和最值。其题型既有选择题、填空题，也有解答题。预测2014年关于函数与导数的命题趋势，仍然是难易结合，有2~4个小题，1个大题，小题以概念、图像性质及运算为主，重点考查函数的单调性与奇偶性；函数图象的应用；导数的几何意义等知识。大题的函数背景是以e为底的对数函数或指数函数与一次函数或二次函数代数运算的形式的综合题型，考查利用导数研究函数的单调性、函数零点，逆求参数取值范围或证明不等式。涉及的主要思想方法是函数方程思想，数形结合思想和分类讨论思想。
2
第二单元：沙场点兵、实战演练 1. 已知函数f(x)?ax?2?3lnx， 其中a为常数． x232332（1）当函数f(x)的图像在点(，f())处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在[,3]上的最小值； （2）若函数f(x)在区间(0，??)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．
2. 定义在R上的函数f(x)?ax3?bx2?cx?3同时满足以下条件：
①f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,??)上是增函数；②f?(x)是偶函数；③f(x)在x?0处的切线与直线y?x?2垂直.
（1）求函数y?f(x)的解析式；
（2）设g(x)?4lnx?m，若存在x?[1，e]，使g(x)?f?(x)，求实数m的取值范围.
3. 已知函数f(x)?ln(ex?a)(a为常数,e?2.71828???)是R上的奇函数. （1）求a的值; （2）讨论关于x的方程
2x4. 设函数f(x)?(ax?2x)e，其中a?0. （1）当a?lnx?x2?2ex?m的根的个数. f(x)4时，求f(x)的极值点； 31]上为单调函数，求a的取值范围. （2）证明f(x)在[?1，
3
5. 某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如表：(单位：万美元)
年固定项目类别 成本 A产品 B产品 20 40 品成本 销售价 10 18 产的件数 200 120 每件产每件产品每年最多可生m 8 其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计
m?[6,8]．另外，年销售x件B产品时需上交0.05x万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在
当年销售出去．
(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；
(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你做出规划．
6. 设函数f(x)?x?bx?c(n?N,b,c?R)
（1）设n为偶数，|f(?1)|?1，|f(1)|?1 ，求b?3c的最大值和最小值； （2）设n?2，b?1,c??1 ，证明：f(x)在区间(,1)内存在唯一的零点.
7（2012年北京高考）已知函数f(x)?ax?1(a?0)，g(x)?x?bx.
(1) 若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
2?1]上的最大值． （2） 当a?4b时，求函数f(x)?g(x)的单调区间，并求其在区间(??，2n*1223
228 （2013年安徽高考）设函数f(x)?ax?(1?a)x，其中a?0，区间I?{x|f(x)?0}．
（1）求I的长度(注：区间(?，?)的长度定义为???)；
4
（2）给定常数k?(0，1)，当1?k?a?1?k时，求I长度的最小值． 9. 已知函数f(x)?ax3?bx2?3x在x??1处取得极值． （1）求函数f(x)的解析式；
（2）若过点A(1，m)(m??2)可作曲线y?f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
10. 已知函数f(x)?ax2?ax和g(x)?x?a．其中a?R且a?0． （1）若函数f(x)与的图像的一个公共点恰好在x轴上，求a的值； （2）若p和q是方程f(x)?g(x)?0的两根，且满足0?p?q?1，证明：当x?(0，p)时，ag(x)?f(x)?p?a．
11. 设函数f(x)?ex?sinx，g(x)?x?2. （1）求证：函数y?f(x)在[0，??)上单调递增；
（2）设P(x1，f(x1))，Q(x2，g(x2))(x1?0，x2?0)，若直线PQ//x轴，求P，Q
两点间的最短距离.
12. 已知函数f(x)?alnx?1(a?0)．
（1） 当x?0时，求证：f(x)?1?a(1?)； （2） 在区间(1，e)上f(x)?x恒成立，求实数a的范围
213. 已知f(x)?xlnx，g(x)??x?ax?3.
1x（1）求函数f(x)的最小值；
??)，2f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围； （2）对一切x?(0， 5
（3）证明：对一切x?(0，??)，都有lnx?14（2013年福建高考）已知函数f(x)?x?1?12?成立. exexa（a?R，e为自然对数的底数）． ex（1）若曲线y?f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； （2）求函数f(x)的极值；
（3）当a?1时，若直线l：y?kx?1与曲线y?f(x)没有公共点，求k的最大值．
6
参 考 答 案
1. 解：(1)f?(x)?a?23?， 2xx由题意可知f?()?1，解得a?1. 故f(x)?x?232(x?1)(x?2)?3lnx， ∴f?(x)?， xx2由f?(x)?0 ，得x?2. 于是可得下表：
x f?(x) f(x) 3 2 ?3?2? ?，2??－ 2 0 (2，3) ＋ 3 1?3ln2 ∴f(x)min?f(2)?1?3ln2.
23ax2?3x?2(2) f?(x)?a?2??（x?0）， 2xxx由题意可得方程ax?3x?2?0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令
2h(x)?ax2?3x?2，
????9?8a?0?93?则?x1?x2??0， 解得0?a?.
8a??xx?2?012?a?故a的取值范围为(0，).
2. 解：（1）f?(x)?3ax?2bx?c，
2981)上是减函数，在(1，??)上是增函数， ∵ f(x)在(0，∴f?(1)?3a?2b?c?0， (?) 由f?(x)是偶函数得：b?0，
又f(x)在x?0处的切线与直线y?x?2垂直，f?(0)?c??1， 代入(?)得：a?113，即f(x)?x?x?3. 332，e]，使4lnx?m?x?1， （2）由已知得：若存在x?[1 7
即存在x?[1，e]，使m?4lnx?x2?1.
设M(x)?4lnx?x2?1，x?[1，e]， 则M?(x)?44?2x2x?2x?x，
令M?(x)?0， ∵x?[1，e]， ∴x?2，
当x?2时，M?(x)?0，∴M(x)在(2，e]上为减函数，
当1?x?2时，M?(x)?0，∴M(x)在[1，2]上为增函数，
∴M(x)在[1，e]上有最大值.
又M(1)?1?1?0，M(e)?5?e2?0， ∴M(x)最小值为5?e2. 于是有m?5?e2为所求.
3. 解:(1)由f(x)?ln(ex?a)是R的奇函数,则f(?x)??f(x)，
从而可求得a?0. (2) 由
lnxf(x)?lnxx?x2?2ex?m, 令flnx1(x)?x,f(x)?1?lnx2(x)?x2?2ex?m,则f＇1x2, 当x?(0,e)时, f＇1(x)?0,?f1(x)在(0,e]上为增函数; 当x?[e,??)时, f＇1(x)?0,?f1(x)在[e,??)上为减函数; 当x?e时, [f1(x)]max?f1(e)?1e 而f2(x)?(x?e)2?m?e2,结合函数图象可知:
当m?e2?1e,即m?1e?e2时,方程无解; 当m?e2?11e,即m?e?e2时,方程有一个根x?e;
当m?e2?1e,即m?1e?e2时,方程有两个根.
4. 解：对f(x)求导得f'(x)??ax2?2?a?1?x?2??ex ① （1）若a?43
，由f?(x)?0,得2x2?x?3?0,解得x31??2,x2?1 综合①,可知
8
x f?(x) f(x) 所以,x1??3(??,?) 2+ ↗ 3? 20 极大值 3(?,1) 2－ ↘ 1 0 极小值 (1,??) + ↗ 3是极大值点,x2?1是极小值点. 2（2）若f(x)为??1,1?上的单调函数，又f'(0)??2?0，所以当x???1,1?时f'(x)?0，即
g(x)?ax2?2?a?1?x?2?0在??1,1?上恒成立。
（1）当a?0时，g(x)??2x?2?0在??1,1?上恒成立；
2（2）当a?0时，抛物线g(x)?ax?2?a?1?x?2开口向上，则f?x?在??1,1?上为单调函数的充要条件
?g??1??0??a?04是?，即?，所以0?a?。
3?g?1??0?3a?4?0综合（1）（2）知a的取值范围是0?a?4。 35. 解：(1) 由年销售量为x件，按利润的计算公式，
有生产A，B两产品的年利润y1,y2分别为
0?x?200）， y1?10x?(20?mx)?(10?m)x?20（x?N，0?x?120）． y2?18x?(8x?40)?0.05x2??0.05x2?10x?40（x?N，(2) 因为6?m?8，所以10?m?0，
200]上是增函数， 函数y1?(10?m)x?20在[0，所以当x?200时，生产A产品有最大利润，
且y1max?(10?m)?200?20?1980?200m (万美元)．
20?x?120）又y2??0.05(x?100)?460（x?N，，
所以当x?100时，生产B产品有最大利润，且y2max?460 (万美元)．
因为y1max?y2max??0，6?m?7.6,??1980?200m?460?1520?200m??0, m?7.6,
??0,7.6?m?8.?9
所以当6?m?7.6时，可投资生产A产品200件；
当m?7.6时，生产A产品或生产B产品均可(投资生产A产品200件或生产B产品100件)； 当7.6?m?8时，可投资生产B产品100件． 6.解：(1)由题意知
?1?f(1)?1?b?c?1，即?2?b?c?0，① ?1?f(?1)?1?b?c?1，即?2??b?c?0，②
①×2＋②得 ?6?2(b?c)?(?b?c)?b?3c?0， 当b?0，c??2时，b?3c??6； 当b?c?0时，b?3c?0，
所以b?3c的最小值为－6，最大值为0.
(2) b?1,c??1，n?2时，f(x)?xn?x?1. ∵ f(1)?f(1)???11??1?2?2n?2???1?0， ∴ f(x)在??2,1??内存在零点． 又当x???1,1???1??2?时，f?(x)?nxn?1?1?0， ∴f(x)在??2,1??上是单调递增的， ∴f(x)在??1,1???2?内存在唯一零点．
7. 解：(1)f?(x)?2ax，g?(x)?3x2?b.
因为曲线y?f(x)与曲线y?g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线， 所以f(1）?g(1)，且f?(1）?g?(1)． 即a?1?1?b，且2a?3?b， 解得a?3，b?3.
(2) 记h(x)?f(x)?g(x)．当b?124a时， h(x)?x3?ax2?14a2x?1， h?(x)?3x2?2ax?14a2.
令h?(x)?0，得xaa1??2，x2??6.
当a?0时，h(x)与h?(x)的情况如下：
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极值表如下
x (??，?1) －1 (?1,??) g?(x) － 0 ＋ g(x) ?1e 当x??1时，g(x)1min?e， 从而g(x)的取值范围为[?1e，??). 所以当
1k?1?(??，?1e)时，方程(*)无实数解， 解得k的取值范围是(1?e，1)． 综合①②，得k的最大值为1. 16