高二下学期期中考试数学（文）试题(及答案)
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（5分×12=60分）在每小题给出的四个选项只有一项正确.
1．下列不等式的解集是空集的是( )
A．x2?x?1?0 B．?2x2?x?1?0
C．2x?x2?5
D．x2?x?2
22．不等式组???x?1?02的解集是
（ ） ??x?3x?0 A．{x|0 C．{x|0 D．{x|－1 3．过曲线y?x?1x2（x?0）上横坐标为1的点的切线方程为( ) A．3x?y?1?0 B.3x?y?5?0 C．x?y?1?0 D.x?y?1?0 4．极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程??x??1?t?y?2?3t (t为参数)所表示的图形分别为( ) A．圆、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．直线、直线 5．过点??2，π 4??且平行于极轴的直线的极坐标方程是 ( ) A．ρcosθ＝4 B．ρsinθ＝4 C．ρsinθ＝2 D．ρcosθ＝2 6．函数y?f(x)在点（x?2?x)0，yf(x0）处的切线方程为y?2x?1，则lim0)?f(x0?x?0?x等于( ) A．－4 B．－2 C．2 D．4 7．函数y?(3?x2)ex的单调递增区间是( ) A．(??,0) B． (0,??) C． (?3,1) D． (??,?3)和(1,??) 8．已知g(x)为三次函数f(x)＝aa 3x3＋2 x2－2ax(a≠0)的导函数，则它们的图象可能是 ( ) 第1页 共7页 9．已知a?0,b?0,a,b的等差中项是 A．6 B．5 111，且x?a?，y?b?，则x?y的最小值是( ) ab2C．4 D．3 10．已知a,b,c满足c?b?a且ac?0，则下列选项中不一定能成立的是( ) cbA．?aa b?a?0 B．cb2a2?C． ccD． a?c?0ac 11．已知曲线M与曲线N：ρ＝53cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线M的方程为 ( ) π θ－? A．ρ＝－10cos??6?πθ＋? C．ρ＝－10cos??6?12．已知函数 π θ－? B．ρ＝10cos??6?πθ＋? D．ρ＝10cos??6? f(x)?xn?1(n?N*)的图象与直线x?1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的 横坐标为xn，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012的值为（ ） A．－1 B． 1－log20132012 C．-log20132012 D．1 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（5分×4=20分）. π 13．在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝ (ρ∈R)的距离是 614．不等式 1?1的解集为 x第2页 共7页 15．若关于x的不等式?312x?2x?2ax的解集为?x0?x?2?，则实数a的值为____________ 216．函数f?x??ax?3x?1对于x???1,1?总有f?x??0 成立，则a= ． 三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分） 17．解关于x的不等式x?1?x?2?5?0 18．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1，－5)，ππ 点M的极坐标为(4，)．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心, 4为半径． 23(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程； (2)试判定直线l和圆C的位置关系． 19.设函数f?x??2x?1?x?4 (1)解不等式f?x??0 (2)若f?x??3x?4?m对一切实数x均成立，求m的取值范围 20.a为实数，f(x)?(x2?4)(x?a) (1)求导数f?(x)； (2)若f?(?1)?0，求f(x)在[－2，2] 上的最大值和最小值； 21.已知函数：f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为 y＝3x＋1 (1)y＝f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的表达式； (2)函数y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增，求b的取值范围． 22．设x?3是函数f(x)?(x?ax?b)e23?x(x?R)的一个极值点. (1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间； 2(2）设a?0，g(x)?(a?25x)e.若存在x1,x2?[0,4]使得|f(x1)?g(x2)|?1成立，求a的取值4范围. 第3页 共7页 高二数学答案（文科） 一．1.C 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D 7.C 8.D 9.B 10.C 11.B 12.A 二．13. 1 14. xx?0或x?1 15. ??1 16. 4 2当?11?x?4时,由f?x??2x?1?x?4?3x?3?0,得x?1,所以1?x?4; 当x??时,22由f?x???x?5?0,得x??5,所以x??5; 综上，不等式的解集为xx?1或x??5 20. 解：⑴由原式得f(x)?x?ax?4x?4a, ∴f?(x)?3x?2ax?4. ⑵由f?(?1)?0 得a?232??1, 2第4页 共7页 此时有f(x)?(x?4)(x?),f?(x)?3x?x?4. 2122由f?(?1)?0得x? 4 或x=-1 , 3 又f()??43509,f(?1)?,f(?2)?0,f(2)?0, 272950,最小值为?. 227 所以f(x)在[－2,2]上的最大值为 21．解：(1)由f(x)＝x＋ax＋bx＋c 求导数得f′(x)＝3x＋2ax＋b， 过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为： 2 3 2 y－f(1)＝f′(1)(x－1)， 即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1) 而过y＝f(x)上P(1，f(1))的切线方程为：y＝3x＋1 ??3＋2a＋b＝3 ∴? ?a＋b＋c－2＝1? ??2a＋b＝0 即? ?a＋b＋c＝3? ①② ∵y＝f(x)在x＝－2时有极值，故f′(－2)＝0 ∴－4a＋b＝－12③ 由①②③相联立解得a＝2，b＝－4，c＝5 f(x)＝x3＋2x2－4x＋5 (2)y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增 又f′(x)＝3x＋2ax＋b，由(1)知2a＋b＝0 ∴f′(x)＝3x－bx＋b 依题意f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立 ①在x＝≥1时，f′(x)小＝f′(1)＝3－b＋b>0，∴b≥6 6②在x＝≤－2时，f′(x)小＝f′(－2)＝12＋2b＋b≥0， 6∴b∈? 12b－b③在－2≤≤1时，f′(x)小＝≥0，则0≤b≤6. 612综上所述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0 第5页 共7页 2 22 bbb2 22 解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x＋(a－2)x＋b－a ]e由f `(3)=0，得 －[3＋(a－2)3＋b－a ]e则 f `(x)＝[x＋(a－2)x－3－2a－a ]e＝－[x＋(a－2)x－3－3a ]e 2 3－x 2 2 3－3 2 3－x , ＝0，即得b＝－3－2a， 3－x ＝－(x－3)(x＋a+1)e 3－x . 令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点， 所以x1?x2，那么a≠－4. 当a<－4时，x2>3＝x1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. 当a>－4时，x2<3＝x1，则 在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. 第6页 共7页 (Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min{f (0)，f (4) }，f (3)]， 而f (0)＝－（2a＋3）e<0，f (4)＝（2a＋13）e>0，f (3)＝a＋6， 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e，a＋6]. 又g(x)?(a2?3 3 －1 25x)e在区间[0，4]上是增函数， 42 且它在区间[0，4]上的值域是[a＋ 252524 ，（a＋）e]， 44由于（a＋ 2 251122 ）－（a＋6）＝a－a＋＝（a?）≥0，所以只须仅须 442(a＋ 2 253）－（a＋6）<1且a>0，解得0 第7页 共7页