试卷类型：A
2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数 学（理科）
2012．4．24 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填
写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．已知i为虚数单位，复数z1?a?i ,z2?2?i ,且z1?z2，则实数a的值为 A．2 B．?2 C．2或?2 D．?2或0 2．设集合A???x,y?2x?y?6?,B???x,y?3x?2y?4?,满足C??A?B?的集合C的个数为
22A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知双曲线x?my?1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是 A．4 B．
11 C．? D．?4 444．已知等差数列?an?的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为
A．10 B．20 C．30 D．40
5. 已知两条不同直线m、l，两个不同平面?、?，在下列条件中，可得出???的是 A．m?l，l//?，l//? B．m?l，????l，m?? C．m//l，m??，l?? D．m//l，l??，m?? 6．下列说法正确的是 A．函数f?x??1在其定义域上是减函数 xB．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
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C．命题“?x?R，x2?x?1?0”的否定是“?x?R，x2?x?1?0” D．给定命题p、q，若p?q是真命题，则?p是假命题
7．阅读图1的程序框图, 该程序运行后输出的k的值为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知实数a,b满足a?b?4a?3?0，
函数f?x??asinx?bcosx?1的最大值记为??a,b?， 则??a,b?的最小值为k?k?1
A．1 B．2 C．3?1 D．3
22开始 k?0,S?0 否 S?100是 输出 k S?S?2 k结束
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 图1 （一）必做题（9～13题）
9．某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收入家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是 .
1??10．?2x??展开式中的常数项是 （用数字作答）.
x??211. 已知不等式x?2?1的解集与不等式x?ax?b?0的解集相等,则a?b的值为 . 612．在平行四边形ABCD中, 点E是AD的中点, BE与AC相交于点F, 若
????????????mEF?mAB?nAD(m,n?R), 则的值为 .
n13. 已知点P是直角坐标平面xOy上的一个动点，OP?2（点O为坐标原点），点M??1,0?，则
cos?OPM的取值范围是 .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形ABC(顶点A,B,C按顺时针方向排列)的顶点A,B的极坐标分别为?2,?,?2,?，则顶点C的极坐标
?????6??7??6?DA为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，AB是圆O的直径，延长AB至C，
AD使BC?2OB，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，BD，则
BDOBC的值为 .
图2
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明
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过程和演算步骤.
16．（本小题满分12分） 已知函数f?x??Asin??x???????A?0,??0?在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别3?为??5???11??,2?，?,?2?. ?12??12?(1) 求A和?的值; (2) 已知???0,????2??,且sin??4, 求f???的值. 5
17．（本小题满分12分）
如图3，A,B两点之间有6条网线连接，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4.从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量,设这三条网线通过的最大信息量之和为?. (1) 当??6时,则保证线路信息畅通,求线路信息畅通的概率; (2) 求?的分布列和数学期望.
18.（本小题满分14分）
112A234图3B.某建筑物的上半部分是多面体MN?ABCD, 下半部分是长方体ABCD?A1B1C1D1（如图4）. 该建筑物的正视图和侧视图如图5, 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成.
（1）求直线AM与平面A1B1C1D1所成角的正弦值；
（2）求二面角A?MN?C的余弦值； （3）求该建筑物的体积.
MN2
DC AB
114D1A1B1C14图42正（主）视图第 3 页 共 16 页
侧（左）视图图519．（本小题满分14分）
已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2:x?4y有一个相同的焦点F1，直线l:y?2x?m与抛物线C2只有一个公共点. （1）求直线l的方程；
（2）若椭圆C1经过直线l上的点P，当椭圆C1的的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P的
坐标.
20．（本小题满分14分） 已知函数f?x??lnx?212ax?x，a?R. 2（1）求函数f?x?的单调区间;
（2）是否存在实数a，使得函数f?x?的极值大于0？若存在，,求a的取值范围；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分14分）
已知函数f?x?的定义域为??1,1?，且f??1???1，对任意x,y???1,1?，都有 ?2??x?y?2an1af?x??f?y??f?a?,a?(n?N*). ，数列满足??n?1n?1221?an?1?xy?(1) 证明函数f?x?是奇函数; (2) 求数列f?an?的通项公式;
??a?a2???an(3) 令An?1(n?N*), 证明:当n?2时,
n?ai??Ai?i?1i?1nnn?1. 2第 4 页 共 16 页
2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
C B C A D D C B 答案
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满
分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9．60 10．?160 11．?1 12．?2 13． ??2?,1? ?2?14．?23,??2?3?? 15．2 ???2???2k??(k?Z). 3?说明：第14题的答案可以是?23,三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分12分）
(本小题主要考查三角函数的图象和性质、二倍角的正弦与余弦、同角三角函数关系、两角差的正弦等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解:∵函数f?x?的图象的最高点坐标为??5??,2?， ∴A?2. ? 1分 ?12? 依题意,得函数f?x?的周期T?2?2??11?5??， ∴??????2.?? 3分 ?1212T??(2)解:由(1)得f?x??2sin?2x??????. ????? 4分 3? ∵???0,????2??,且sin??432, ∴cos??1?sin??. ???? 5分 552472, cos2??1?2sin???.??? 9分 2525 ∴sin2??2sin?cos?? ∴f????2sin?2???????????2sin2?cos?cos2?sin??? ??? 11分 3?33?? ?24?73. ????? 12分 2517. （本小题满分12分）
(本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)
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(1) 解: 从6条网线中随机任取三条网线共有C6?20种情况. ????? 1分
111?C2C21?. ??? 2分 ∵1?1?4?1?2?3?6, ∴P???6??3C6411C2C2?11?. ??? 3分 ∵1?2?4?2?2?3?7, ∴P???7??34C61C2?13?∵1?3?4?2?2?4?8, ∴P???8??.???? 4分 320C61C21∵2?3?4?9, ∴P???9??3?. ????? 5分
10C63 ∴P???6??P???6??P???7??P???8??P???9?
11313????. 44201043 答: 线路信息畅通的概率为. ????? 6分
4 ?(2)解:?的取值为4,5,6,7,8,9. ????? 7分
1C21 ∵1?1?2?4, ∴P???4??3?. ????? 8分
C61011?C23? ∵1?1?3?1?2?2?5, ∴P???5??. ???? 9分 320C6 ∴?的的分布列为:
? 5 8 9 6 7 4 131131 P 1020442010
????? 10分 ∴E??4?131131?5??6??7??8??9? ?6.5.?? 12分 102044201018.（本小题满分14分）
(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、空间角、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化
归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解法1：
（1）作MO?平面ABCD，垂足为O，连接AO，
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则?MAO是直线AM与平面ABCD所成的角. ????? 1分 由于平面ABCD//平面A1B1C1D1，
故?MAO是直线AM与平面A1B1C1D1所成的角. ????? 2分 作MP?AB，垂足为P，连接PO，∵AB?平面ABCD，∴MO?AB. ∵MO?MP?M,MO?平面MOP，MP?平面MOP，
∴AB?平面MOP. ????? 3分 由题意知MO?PO?AP?1,AD?2,AA1?4， 在Rt△POM中，PM? 在Rt△APM 中，AM?PO2?MO2?2， AP2?PM2?3，
在Rt△AOM 中，sin?MAO?MO13??， AM33∴直线AM与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（2）延长PO交CD于点Q，连接MQ，
由（1）知AB?平面MOP ∵MQ?平面MOP， ∴AB?MQ. ∵MN//AB，
∴MN?MP,MN?MQ. ????? 6分
3. ????? 5分 3MNDAOPP1QQ1BCD1A1B1C1∴?PMQ是二面角A?MN?C的平面角. ????? 7分 在△PMQ中，MQ?MP??2,PQ?2，∵MP2?MQ2?4?PQ2，
∴?PMQ?90. ∴二面角A?MN?C的余弦值为0. ????? 9分 （3）作NP1//MP交AB于点P1，作NQ1//MQ交CD于点Q1，
由题意知多面体MN?ABCD可分割为两个等体积的四棱锥M?APQD和
N?P1BCQ1和一个直三棱柱MPQ?NPQ11.
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12?1?2?1?， ???? 10分 3311直三棱柱MPQ?NPQ的体积为V??MP?MQ?MN??2?2?2?2，?11分 11222210∴多面体MN?ABCD的体积为V?2V1?V2?2??2?. ????? 12分
33四棱锥M?APQD的体积为V1??AP?AD?MO?长方体ABCD?A1B1C1D1的体积为V3?AB?BC?AA1?4?2?4?32. ??? 13分 ∴建筑物的体积为V?V3?解法2：
（1）以点D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，D1D所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系D?xyz（如图），作MO?平面ABCD，垂足为O， 作OP?AB，垂足为P，依题意知MO?OP?AP?1，AD?2,AA1?4, 则D?0,0,0?,A?2,0,0?,M?1,1,1?,N?1,3,1?，A1?2,0,?4?. ????? 1分
13106. ????? 14分 3?????∴AM???1,1,1?. ????? 2分 ∵AA1?平面A1B1C1D1，
zQDAxPMNQ1CyB????∴平面A1B1C1D1的一个法向量为AA1??0,0,?4?.??? 3分
设直线AM与平面A1B1C1D1所成角为?，
O?????????AM?AA1则sin????????????AMAA143?. ????? 4分 33?4D1B1C1A13∴直线AM与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为.???? 5分
3??????????（2）由(1)知MN??0,2,0?,DM??1,1,1?,
设平面ABNM的法向量为n1??x,y,z?，
????????????x?y?z?0, 由n1?MN?0，n1?AM?0，得?
2y?0.? 令x?1，则z?1,y?0.∴平面ABNM的一个法向量为n1??1,0,1?.?? 6分
???????????x,y,z设平面CDMN的法向量为n2??， 由n2?DM?0，n2?MN?0，
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?x?y?z?0,得? 令x?1，则z??1,y?0.
2y?0.? ∴平面CDMN的一个法向量为n2??1,0,?1?. ????? 7分 ∵n1?n2?1?1?0?1???1??0，
∴平面ABNM?平面CDMN.∴二面角A?MN?C的余弦值为0. ??? 9分 （3）如图将多面体MN?ABCD补成一个直三棱柱ADQ?BCQ1，
依题意知AQ?DQ?BQ1?CQ1?2,MQ?NQ1?1，AD?2,AA1?4,
多面体MN?ABCD的体积等于直三棱柱ADQ?BCQ1的体积减去两个等体积的三 棱锥M?ADQ和N?BCQ1的体积.∵AQ?DQ?4?AD，∴?AQD?90. ∴直三棱柱ADQ?BCQ1的体积为V1?222?11?AQ?DQ?AB??2?2?4?4， 2211111三棱锥M?ADQ的体积为V2???AQ?DQ?MQ???2?2?1?.
32323210∴多面体MN?ABCD的体积为V?V1?2V2?4??. ???? 12分
33CD?AA1?4?2?4?32. ??? 13分 长方体ABCD?A1B1C1D1的体积为V3?AB?∴建筑物的体积为V?V3?19. （本小题满分14分）
(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，
以及推理论证能力和运算求解能力) （1）解法1：由?106. ?????? 14分 3?y?2x?m,2消去，得x?8x?4m?0. ????? 1分 y2?x?4y2 ∵直线l与抛物线C2只有一个公共点， ∴??8?4?4m?0，解得m??4.? 3分 ∴直线l的方程为y?2x?4. ????? 4分 解法2：设直线l与抛物线C2的公共点坐标为?x0,y0?， 由y?121x，得y'?x， ∴直线l的斜率k?y'42x?x0?1x0. ???? 1分 2 依题意得
1x0?2，解得x0?4. ????? 2分 2 把x0?4代入抛物线C2的方程，得y0?4. ∵点?x0,y0?在直线l上，
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∴4?2?4?m，解得m??4. ????? 3分 ∴直线l的方程为y?2x?4. ????? 4分 （2）解法1：∵抛物线C2的焦点为F1?0,1?，
依题意知椭圆C1的两个焦点的坐标为F1?0,1?,F2?0,?1?. ????? 5分 y 设点F1?0,1?关于直线l的对称点为F1?x0,y0?，
'?y0?1?2??1,?x0? 则?????? 7分
?y0?1?2?x0?4.??22?x0?4,' 解得? ∴点F1?4,?1?. ????? 8分 ?y0??1. ∴直线l与直线F1F2:y??1的交点为P0? 由椭圆的定义及平面几何知识得：
'F1OF2P0PxF1'?3?,?1?. ????? 9分 ?2?' 椭圆C1的长轴长2a?PF1?PF2?PF1?PF2?F1F2?4， ????? 11分 ' 其中当点P与点P0重合时，上面不等式取等号. ∴a?2. ∴e?111?. 故当a?2时，emax?， ????? 12分 a22y2x2?3???1，点P的坐标为?,?1?. ????? 14分 此时椭圆C1的方程为43?2? 解法2：∵抛物线C2的焦点为F1?0,1?，
依题意知椭圆C1的两个焦点的坐标为F1?0,1?,F2?0,?1?. ????? 5分
y2x2?1?a?1?， ????? 6分 设椭圆C1的方程为2?2aa?1?y?2x?4,? 由?y2消去y， x2?1?2?2a?1?a得5a?4x?16a?1x?a?116?a2?2?2?2??2??2??0.（*） ????? 7分
由???16?a2?1???4?5a2?4??a2?1??16?a2??0， ????? 8分 ??第 10 页 共 16 页
得5a4?20a2?0. 解得a2?4. ∴a?2. ???? 10分 ∴e?11?. ????? 11分 a2y2x21?1. ????? 12分 ?，此时椭圆C1的方程为?432 当a?2时，emax 把a?2代入方程（*），解得x? ∴点P的坐标为?3，y??1. ????? 13分 2?3?,?1?. ????? 14分 ?2?20. （本小题满分14分）
(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的
数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)
（1）解：函数f?x?的定义域为?0,???. ????? 1分
1ax2?x?1 f??x???ax?1??. ????? 2分
xx ① 当a?0时，f??x??1?x'，∵x?0, ∴f?x??0 x ∴ 函数f?x?单调递增区间为?0,???. ????? 3分
ax2?x?1 ② 当a?0时，令f??x??0得??0，
x ∵x?0,∴ax2?x?1?0. ∴??1?4a. （ⅰ）当??0，即a??1时，得ax2?x?1?0，故f??x??0， 4 ∴ 函数f?x?的单调递增区间为?0,???. ????? 4分 （ⅱ）当??0，即a??1时，方程ax2?x?1?0的两个实根分别为 4 x1?1?1?4a1?1?4a，x2?. ????? 5分
2a2a 若?1?a?0，则x1?0,x2?0，此时，当x??0,???时，f??x??0. 4∴函数f?x?的单调递增区间为?0,???， ????? 6分
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若a?0，则x1?0,x2?0，
此时，当x??0,x2?时，f??x??0，当x??x2,???时，f??x??0, ∴函数f?x?的单调递增区间为?0,????1?1?4a?1?1?4a?,??，单调递减区间为?????. ?2a2a???????? 7分
综上所述，当a?0时，函数f?x?的单调递增区间为?0,?1?1?4a?，单调递减区间 ???2a???1?1?4a?,???为???； 2a??当a?0时，函数f?x?的单调递增区间为?0,???，无单调递减区间. ???? 8分
（2）解：由(1)得当a?0时，函数f?x?在?0,???上单调递增，故函数f?x?无极值；
????? 9分
?1?1?4a?当a?0时，函数f?x?的单调递增区间为?0,???，单调递减区间为 2a???1?1?4a?,??； ????2a??则f?x?有极大值，其值为f(x2)?lnx2?22?x2?1?0，即ax2而ax2?x2?1，
1?1?4a12. ? 10分 ax2?x2，其中x2?2a2x2?1. ????? 11分 2x?111设函数h(x)?lnx?(x?0)，则h'(x)???0， ????? 12分
2x2x?1则h(x)?lnx?在?0,???上为增函数.
2∴f(x2)?lnx2?又h(1)?0，则h(x)?0等价于x?1. ∴f(x2)?lnx2?x2?1?0等价于x2?1. ????? 13分 2即在a?0时，方程ax2?x?1?0的大根大于1，
设?(x)?ax2?x?1，由于?(x)的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0,?1)，对称 轴x?1?0，则只需?(1)?0，即a?1?1?0，解得a?2，而a?0， 2a第 12 页 共 16 页
故实数a的取值范围为?0,2?. ?????? 14分
说明:若采用下面的方法求出实数a的取值范围的同样给1分. 1.由于1?1?4a111?4a1114?????在?0,???是减函数，
2a2a2a22a2a2a而1?1?4a1?1?4a?1时，a?2，故?1的解集为?0,2?，
2a2a从而实数a的取值范围为?0,2?．
2.直接解不等式 1?1?4a?1，而a?0，通过分类讨论得出实数a的取值范围为
2a?0,2?.
21. （本小题满分14分）
(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：由于对任意x,y???1,1?，都有f?x??f?y??f??x?y??， 1?xy?? 令x?y?0，得f?0??f?0??f??0?0???f?0? 解得f?0??0. ?? 1分
?1?0?0? 令x?0，得f?0??f?y??f??0?y???f??y?，
1?0?y?? ∵f?0??0， ∴0?f?y??f??y?，即f??y???f?y?. ?? 2分 ∴函数f?x?是奇函数. ????? 3分 （2）解：先用数学归纳法证明0?an?1.
① 当n?1时，a1?1，得0?a1?1, 结论成立. 2② 假设n?k时, 结论成立, 即0?ak?1, 当n?k?1时, 由于0?ak?1, ak?1?2ak?0, 21?ak又ak?1?2ak2ak2ak???1.∴0?ak?1?1. 222ak1?ak21?ak第 13 页 共 16 页
即n?k?1时, 结论也成立.
由①②知对任意n?N*, 0?an?1. ????? 4分 求数列f?an?的通项公式提供下面两种方法.
???an???an???2an??f??f?an??f??an?.????? 5分 法1:f?an?1??f??2??1?a??1?a?an?n?n???? ∵函数f?x?是奇函数，∴f??an???f?an?.∴f?an?1??2f?an?. ?? 6分 ∴数列f?an?是首项为f?a1??f??????1???1，公比为2的等比数列. ?2?n?1 ∴数列f?an?的通项公式为f?an??2法2: ∵f?an?1??f?an??f?. ????? 7分
?an?1?an?1?an?1an?? ????? 5分 ??2an?an?21?an ?f?2?2an?1?1?a2n???3?an?an???f? f?an?, 2???1?an???? ∴f?an?1??2f?an?. ????? 6分 ∴数列f?an?是首项为f?a1??f??????1???1，公比为2的等比数列. 2??n?1 ∴数列f?an?的通项公式为f?an??2（3）证法1：由（2）知0?an?1，
. ????? 7分
2an?1?an??0，∴a?a. ????? 8分 2an??a∵an?1?an?n?1nn221?an1?an11,?an?1(n?N*，且n?2) 221*∴0?an?am?(n,m?N,且n?m). ????? 9分
2a?a2???ak*当k?2且k? N时,ak?Ak?ak?1
k∴a1? ? ??ak?a1???ak?a2?????ak?ak?1? ????? 10分
kk?11111 ?? ?. 0?ak?Ak?. ??? 12分 2k22k22第 14 页 共 16 页
∵a1?A1?0,∴当n?2时,0?nn?ai??Ai?i?1i?1nnn?1. ?? 13分 2∴当n?2时,
?ai??Ai?i?1i?1n?1. ????? 14分 22an?1?an??0， 2an?证法2：由（2）知0?an?1，∵an?1?an??an221?an1?an∴an?1?an. ∴a1?∴an?am?11,?an?1(n?N*，且n?2) 221(n,m?N*). ????? 9分 2 下面用数学归纳法证明不等式
?ai??Ai?i?1i?1nnn?1成立. 2 ①当n?2时，左边?a1?a2??a1???a1?a2?1111?a?a????右边. 21?2?2222 ∴n?2时，不等式成立. ????? 10分 ②假设n?k(k?2,k?N)时，不等式成立，即
则n?k?1时， 左边?*?ai??Ai?i?1i?1kkk?1， 2?ai??Ai?i?1i?1k?1k?1?ai?ak?1??Ai?i?1i?1kka1?a2???ak?1 ????? 11分
k?1k?k??k?1?ak?1??a1?a2???ak? ???ai??Ai??
k?1i?1?i?1? ??ai??Ai?i?1i?1kk1?ak?1?a1???ak?1?a?2????ak??1ak????? 12分 k?1 ? ?k?11?ak?1?a1?ak?1?a2???ak???1ak? 2k?1k?111k?11?111k?11k????????? ?????222k?12k?1?222k?12???2k?11?k?1??1 ????右边. ∴n?k?1时，不等式也成立.
222 由①②知，当n?2时,
?a??Aii?1i?1nni?n?1成立. ????? 14分 2证法3：由（2）知0?ak?1?k?1,2,3,?,n?，故对1?k?n?1，有
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0??ai?1ki?k,0?i?k?1?ani?n?k. ????? 8分
由于对任意x?0,y?0，有x?y?max?x,y?，其中max?x,y?表示x与y的较大值. 于是对1?k?n?1，有
1n1n?11?k?11?kai?????ai An?Ak?????ai??ai ??nknn??i?1?kn?i?1i?k?1i?k?1?1n?1?11?k??11?? ?max??ai,????ai? ?max??n?k?,???k?
?kn???ni?k?1?kn?i?1??n ?1?k(k?1,2,3,?,n?1). ????? 11分 n?nAn??Ai??An?A1???An?A2?????An?An?1? ?? 12分
i?1n故
?a??Aii?1i?1nni? ?An?A1?An?A2??1??2??n?1??A?A ?1??1????n?n1?????1??? 13分
n??n??n??n?n?1?1?2?3????n?1?n?12 ??n?1??. ?? 14分 ??n?1???nn2第 16 页 共 16 页
0??ai?1ki?k,0?i?k?1?ani?n?k. ????? 8分
由于对任意x?0,y?0，有x?y?max?x,y?，其中max?x,y?表示x与y的较大值. 于是对1?k?n?1，有
1n1n?11?k?11?kai?????ai An?Ak?????ai??ai ??nknn??i?1?kn?i?1i?k?1i?k?1?1n?1?11?k??11?? ?max??ai,????ai? ?max??n?k?,???k?
?kn???ni?k?1?kn?i?1??n ?1?k(k?1,2,3,?,n?1). ????? 11分 n?nAn??Ai??An?A1???An?A2?????An?An?1? ?? 12分
i?1n故
?a??Aii?1i?1nni? ?An?A1?An?A2??1??2??n?1??A?A ?1??1????n?n1?????1??? 13分
n??n??n??n?n?1?1?2?3????n?1?n?12 ??n?1??. ?? 14分 ??n?1???nn2第 16 页 共 16 页