对二次根式的学习心得
一、引入
二次根式，是初中数学很基本的学习内容，想必大家对它都不陌生。
在学习了一个学期后，大家对它的多种题型都进行了一些训练，已经做得基本熟练了。 那么，有没有想过对它的一些内容进行整理归纳呢？
我在这里从三个方面：计算、化简求值、比大小，并结合一些例题来讲一下我的心得。 二、简介 （一）定义
一般地，形如a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数（a可以为某个数，也可以是一个代数式）。当a≥0时，a表示a的算术平方根；当a小于0时，a无意义。
（二）判断最简二次根式的方法
1.根据最简二次根式的定义进行： (1)被开方数的因数是整数,因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2.直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数是否都小于根指数2，且被开方数中是否不含有分母，当被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
（三）性质
?a?a?0??21.a?a??0?a?0?
??a?a?0??2.?a?2?a?a?0?
3.ab?a?b?a?0,b?0?
4.
aa?a?0,b?0? ?bb（四）注意点
1.二次根式具有双重非负性，符号表示为：a≥0，a≥0。 2.二次根式加减时要注意是同类二次根式相加减。 3.二次根式乘除时要注意是被开方数相乘除。
4.二次根式在计算和化简时要注意正负性和取值范围，如： （1）a?a，然后根据正负性去除绝对值符号。 （2）在分母或除数上出现字母时，注意其不为0。
（3）注意二次根式本身的非负性，当把字母提出去或提进来时，注意字母的正负性。 （4）计算时别漏掉初始时提到前面的负号。
5.二次根式在化简时注意提出去或提进来时，被开方数乘或除的数是一个完全平方数。 6.去根号的常见方法有：
（1）自身平方 （2）乘以其有理化因式 （3）换元法 7.在计算过程中不要急于化简，也许留在那边，继续往后算，被消掉了。 三、计算 （一）基本计算
1.23?32?523?32?5
2???2?? ??23???3
?610?11解：原式?23?32?523?32?52?5??????
2 ?12-18-5?610要点：发现其中暗含的平方差，利用平方差达到简便计算的作用。 拓展：某些根号中含根号的式子，如2.??ab?4?23，可以利用完全平方去掉根号
???ab?b ???a?ba?ab?ab?ba?a?b???解：原式??ab?a?b?b?? ?a ?a?a?b?ab?
要点：对于一些看起来复杂的计算，不要一条筋的去通分，要观察题目中隐含的公约数，进行化简。 拓展：有时候，添项法也可以使计算得到化简。（这就是因式分解在计算中的应用） 3.
2?310?14?15?21
解：原式? ? ??2?32?315?77?52??5?7?
要点：这个题目乍一看会看不出分子和分母的关系，所以要将其因式分解，易于化简。 拓展：实在看不出关系，就用换元法，将常出现的几个量换元，然后通过对字母的观察化简。
（二）变化计算 1.
12?1?13?2?14?3????12012?2011
解：原式?2?1?3?2?4?3????2012?2011 ?2012?1 ?2503?1要点：通过分母有理化使计算得到化简，同时，不要到第二步就不写了（要化到最简二次根式） 拓展：这种题有很多变形，不过形变法不变，裂项相消是核心思想。 2.3?22?5?26?7?212????17?272
解：原式?2?1?3?2?4?3????9?8 ?9?1 ?2
要点：通过发现第一个根号下有完全平方，得到对原式的化简，从而易于计算。 拓展：有时候，看见根号下套根号就要心中有思路：①利用非负性 ②完全平方去根号
四、化简求值 （一）常见类型
1.设a?7?1 ，则3a?12a?6a?12?？32解：由题意得：a2?2a?6?0 3a?6由长除法得：a2?2a?63a3?12a2?6a?12 3a3?6a2?18a ————————— 6a2?12a?12 6a2?12a?36 ————————— 24
要点：通过关于a的等式变形得到关于a的0值多项式，从而利用长除法解题。 拓展：这道题有多种解法，还可以用降次，最后达到消元的效果。 2.当a?2b时，化简二次根式：aa2?4ab?4b2.
a?2ba?a?2b?2a?2ba ??a?2ba?2b又?a?2b ?a?2b?0解：原式? ?原式??a?a?a?0??2要点：根据a?a??0?a?0?对原式进行化简，根据条件判断正负性。
??a?a?0??拓展：有时候条件不会明说什么小于什么，而是通过二次根式的被开方数的非负性判断正负。
（二）急中生智
1.化简：13?25?27?235
解：设13?25?27?235?x?y?z两边平方得：13?25?27?235?x?y?z?2xy?2yz?2xz?x?y?z?13①??xy?5②???yz?7③?zx?35④??xyz??352②?③?④得：2
又∵x，y，z皆为非负数，?xyz?35⑤由⑤?②得z?7，同理，x?5，y?1；?原式?1?5?7要点：根据对公式的积累，?a?b?c??a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc， 故列出上述方程。
2拓展:通过联想公式，再列出方程是很常用的方法，有时候可以设而不求，整体代入得到想要的答案。
五、比大小 （一）比被开方数法
有些简单的二次根式，如67和76，我们可以把根号外的式子移进去，
67=252,76=294，易得67<76。
（二）比平方法
比较
5?13，7?11与8?10的大小，我们可以将其都平方，
?5?13?2?18?265，
?7?11?2?18?277，
?8?10?2?18?280，易得
（我们可以总结：m?n?m?k?n?k，其中：m≤n，5?13<7?11<8?10。k≤n-m）
（三）比差法
比差法是非常常用的比大小的方法，若a-b>0,则a>b，反之亦然。如果是两个二次根式相加减，我们可以利用因式分解判断其正负性。
（四）比商法
这个方法不太常用，因为很有局限性(它需要分类讨论)，不过在二次根式中，它大多情况不用分类讨论，因为二次根式的双重非负性。若a/b>1,则a>b,反之亦然。这个也需要判断其大小，而且还比正负性更难判断，所以这种方法不太推荐。
（五）取特殊值法
这个方法在有未知数时，在填空选择题中最为适用，常见的取值有0，±1，因为这些值易于计算，但是要考虑题目的取值范围，要根据题目的要求确定取值。
六、总结 （一）计算
1.在做计算题时，要熟练运用乘法公式和因式分解，达到消元、化简的作用。 2.在去分母时，有理化因式是一个重要的概念，裂项相消是很常用的方法。 3.在做题时，简便计算是上策，先死算后简便是中策，而一心死算则是下策。 4.因式分解在二次根式中同样有着很重要的地位。
（二）化简求值
1.在做化简求值时，要对题目信息进行适当变形，使其与题目有所关联，得到化简的作用。 2.对原式正负性的判断也很重要，看见a2就要引起警觉。
3.将某个值提入或提出二次根式时，要注意其正负性，适当添加或去掉负号。
（三）比大小
1.在比大小时，前面所提到的五种方法是很常用的方法，希望大家能够记住它们，并加以运用。 2.其中一些比大小的方法（如作差法），不仅是在二次根式中，更是在所有比大小中都适用。
3.不同的路通向不同的地方，思路是最重要的，但不是局限的，要根据题目来考虑做法。
（四）比商法
这个方法不太常用，因为很有局限性(它需要分类讨论)，不过在二次根式中，它大多情况不用分类讨论，因为二次根式的双重非负性。若a/b>1,则a>b,反之亦然。这个也需要判断其大小，而且还比正负性更难判断，所以这种方法不太推荐。
（五）取特殊值法
这个方法在有未知数时，在填空选择题中最为适用，常见的取值有0，±1，因为这些值易于计算，但是要考虑题目的取值范围，要根据题目的要求确定取值。
六、总结 （一）计算
1.在做计算题时，要熟练运用乘法公式和因式分解，达到消元、化简的作用。 2.在去分母时，有理化因式是一个重要的概念，裂项相消是很常用的方法。 3.在做题时，简便计算是上策，先死算后简便是中策，而一心死算则是下策。 4.因式分解在二次根式中同样有着很重要的地位。
（二）化简求值
1.在做化简求值时，要对题目信息进行适当变形，使其与题目有所关联，得到化简的作用。 2.对原式正负性的判断也很重要，看见a2就要引起警觉。
3.将某个值提入或提出二次根式时，要注意其正负性，适当添加或去掉负号。
（三）比大小
1.在比大小时，前面所提到的五种方法是很常用的方法，希望大家能够记住它们，并加以运用。 2.其中一些比大小的方法（如作差法），不仅是在二次根式中，更是在所有比大小中都适用。
3.不同的路通向不同的地方，思路是最重要的，但不是局限的，要根据题目来考虑做法。