初三上学期数学重点期末复习讲义(徐璟璐) 重点内容： 2.4圆周角
2.5 直线与圆的位置关系 5.1--5.5 二次函数
6.4 探索三角形相似的条件 6.5 相似三角形的性质 7.5 解直角三角形
2.4圆周角
重点难点：
1、重点：认识圆周角，同一条弧的圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。 2、难点：发现同一条弧的圆周角和圆心角的关系，利用这个关系进一步得到其他知识，
运用所得到的知识解决问题。
定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径。
2.5 直线与圆的位置关系
重点:根据给定的方程判定直线与圆、圆与圆的位置关系；
利用直线和圆、圆与圆的位置关系的充要条件解决一些简单的问题；
难点:借助数形结合,利用圆的几何性质,将题目所给条件转化为圆心到直线的距离、两圆的连心线或半径的和与差
判断直线与圆的位置关系有两种方法：
①几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，若直线与圆相离，则d>r；若直线与圆相切，则r=d?；若直线与圆相交，则r>d ②代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若 判定式小于零，则直线与圆相离；若判定式等于零，则直线与圆相切；若判定式大于零，则直线与圆相交。
5.1--5.5 二次函数
一、二次函数概念：
b，c是常数，a?0）的函数，叫做1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，
1
c可以为零．二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，二
次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：y?ax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随0? ?0，0? ?0，y轴 x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随a?0 向下 y轴 x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． 2. y?ax2?c的性质： 上加下减。
a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随c? ?0，c? ?0，y轴 x的增大而减小；x?0时，y有最小值c． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随a?0 2向下 y轴 x的增大而增大；x?0时，y有最大值c． 3. y?a?x?h?的性质：
左加右减。
a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 0? ?h，性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随X=h x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随a?0 向下 20? ?h，X=h x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． 4. y?a?x?h??k的性质：
2
a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随?h，k? ?h，k? X=h x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随a?0 向下 X=h x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h， k?；⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位2y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k 2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴y?ax?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax?bx?c变成
22
y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）
⑵y?ax?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax?bx?c变成
22y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或y?a(x?m)2?b(x?m)?c）
四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较
从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配b?4ac?b2b4ac?b2?方可以得到前者，即y?a?x???，其中h??，． k?2a?4a2a4a?222五、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法
3
五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点?0，c?、以及?0，c?关于对称轴对称的点?2h，c?、与x轴的交点?x1，0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
六、二次函数y?ax2?bx?c的性质
?b4ac?b2?b 1.当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??，?．
2a4a2a??当x??bbb时，y随x的增大而减小；当x??时，y随x的增大而增大；当x??2a2a2a4ac?b2时，y有最小值．
4a?b4ac?b2?b 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??，?．当
2a4a2a??x??bbb时，y随x的增大而增大；当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y2a2a2a4ac?b2有最大值．
4a
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）；
2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；
3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写
2成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a
二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．
⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，
4
当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
ab的符号的判定：对称轴x??b在y轴左边则ab?0，在y轴的右侧则ab?0，2a概括的说就是“左同右异” 总结：
3. 常数项c
⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称
y?ax2?bx?c关于x轴对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；
y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；
2. 关于y轴对称
y?ax2?bx?c关于y轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c；
22y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k；
3. 关于原点对称
y?ax2?bx?c关于原点对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；
22y?a?x?h??k关于原点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
22b2y?ax?bx?c关于顶点对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c?；
2a22
5
y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k．
5. 关于点?m，n?对称
22n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k y?a?x?h??k关于点?m，十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：
①当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两根．这两点间的距离
22b2?4ac. AB?x2?x1?a②当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③当??0时，图象与x轴没有交点.
1'当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0； 2'当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0． 2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，
b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a?0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
??0 抛物线与x轴有两个交点 ??0二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 ??0
抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 6
6.4 探索三角形相似的条件
一、相似三角形的判定：
三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
类型 全等三角形的判定 SAS 三角形 SSS AAS（ASA） 直角三角形 HL 两边对应成比例相似三角形的判定 且夹角相等 三边对应成比两角对应相等 例 一条直角边与斜边对应成比例
注意：“两边对应成比例且夹角相等”中的“夹角”不是任意的角，而是成比例的两条线段所构成的夹角。
二、相似三角形的传递性
如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2
6.5 相似三角形的性质
对应角相等，对应边成比例；对应高、对应角平分线、对应中线、对应周长之比等于相似比，面积比等于相似比平方。
7.5 解直角三角形
一、锐角三角函数 1．锐角三角函数定义
在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是： (1) 正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即
sin A =
a, c（2）余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即
7
cos A =
b, c（3）正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即
tan A =
a ， b这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件： （1）锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900；
（2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系
2、坡角与坡度
坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。
3、锐角三角函数关系：
（1）平方关系： sin2A + cos2A = 1； 4、互为余角的两个三角函数关系 若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB. 5、特殊角的三角函数： sinα 00 0 300 450 600 1 23 23 32 23 2cosα 1 2 21 1 23 tanα 0
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