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数学（文科）试题
考生注意事项：
1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间
120分钟．
2． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题
卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致． 3． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 5． 考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B).
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概
率：
kPn(k)?CnPk(1?P)n?k.
球的表面积公式：S?4?R2，其中R表示球的半径. 球的体积公式：V球?4?R3，其中R表示球的半径.
3第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的，请在答题卡上将正确选项的代号涂黑.
i20091.设i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在
1?iA.第一象限
xB.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.设集合M=x?R2?0，N=x?Rlog2x?0,则M?CRN等于
A. x?Rx?1 B. x?Rx?1 C. x?R0?x?1
?????????? D.
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第20学科网（20xk.com） 做中国最大的精品教育资源网 ?x?R0?x?1?
3．若函数y?f(x)cosx是周期为?的奇函数，则f（x）可以是
A.cosx B. 4. 下列说法正确的是
A.做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率为
sinx
C.
cos2x D.sin2x
m； nB.样本容量很大时，频率分布直方图就是总体密度曲线； C.独立性检验是研究解释变量和预报变量的方法； D.从散点图看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，就称两个变量之间具有线性相关关系.
5.在面积为S的三角形ABC内随机取一点M，则三角形MBC的面积S?MBC?A.
1S的概率为 21 3B.
1 2C.
2 3D.
3 4DC22正视图2侧视图2俯视图226. 右图是一个多面体的直观图和三视图如右， 则多面体A－CDEF外接球的表面积是 EFBA.3? C.12?
B. 43? D. 48?
A直观图第6题图 x2y27．双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为45o的直
ab线交双曲线的右支于M，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为
A. 2?1 B. 3 C. 2
D.
2?1 28. 如果y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ．．．① 函数y=f（x）在区间(?3,?)内单调递增； ② 函数y=f（x）在区间(?,3)内单调递减； ③ 函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增； ④ 当x=2时，函数y=f（x）有极小值； ⑤ 当x=?第8题图 开始 12?12
121时，函数y=f（x）有极大值. 2输入x 则上述判断中正确的个数为
A.1个 B.2个 C.3个 D.5
x≤0? N x=x-2 Y 第20学科网（http://www.20xk.com） ——做您真正的朋友，为您插上腾飞的翅膀！ 输出y ? 第20学科网（20xk.com） 做中国最大的精品教育资源网 9. 右图是一个算法的程序框图，当输入x=3时， 输出y的结果是0.5，则在计算框中“？”处的 关系式可以是
A. y?x2 B. y?2?x C. y?2 D. y?x
10. 已知α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线。 给出下面条件： ①a∥α，b?β； ②a⊥α，b//β； ③a⊥α，b⊥β. 其中是a⊥b的充分条件的有
A.② B.③ C.②③ D.①②③ 11. 在△ABC中，∠C=90o,AB?(k,1)，AC?(2,3)，则k的值是 A. ?5
B. ?x123 2 C.
3 D. 5 2//12.已知f(x)?x(x?1)(x?m)，满足f(0)?f(1)，则函数f(x)的图象在点(m,f(m))处的切线方程为
A. 2x?8y?1?0
B. 2x?8y?1?0 D. 2x?8y?1?0
C. 2x?8y?1?0 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13.等比数列?an?中，a1?2，S3?6，则a3? ; ?x?y?2?x?y?6?14. 已知变量x,y满足条件?，若目标函数z?ax?y(其中a?0)仅在（4，2）
x?0???y?0处取得最大值，则a的取值范围是 ;
15. 如图，四边形ABCD中，AB?a, AD?b,对角线AC与BD交于点O， 若点O为BD的中点，AO?2OC，则BC? ;
22第15题图
16.过点(2,1)的直线l将圆x?(y?2)?4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k等于 ;
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第20学科网（20xk.com） 做中国最大的精品教育资源网 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知函数f(x)?4cos4x?2cos2x?1tan(?x)sin2(?x)44??
（Ⅰ）求f(?17?)的值; 12（Ⅱ）当x?[0,
?2]时，求g(x)?1f(x)?sin2x的最大值和最小值. 218.（本小题满分12分）
在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°， ∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为 PD的中点，PA＝2AB＝2． （Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V； （Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
PEFABCD
19. （本小题满分12分） 某通道有两道门，在每道门前的匣子里各有3把钥匙，其中一把能打开任何一道门，一把只能打开本道门，还有一把不能打开任何一道门.现从第一道门开始，随机地从门前的匣子里取一把钥匙开门，若不能进入，就终止；若能进入，再从第二道门前的匣子里随机地取一把钥匙，并用已得到的两把钥匙开门. （Ⅰ）求第一道门打不开的概率； （Ⅱ）求能进入第二道门的概率.
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第20学科网（20xk.com） 做中国最大的精品教育资源网 20.（本小题满分12分）
正项数列?an?满足a1?1，Sn为其前n项和，且4Sn?(an?1)2（n≥1）. （Ⅰ）求数列?an?的通项公式
（Ⅱ）等比数列?bn?的各项均为正数，其前n项和为Tn，且b1b2b3=8，又b1,a2?b2,a3?b3成等差数列，求Tn.
21．(本小题满分12分)
如图，已知圆C：(x?1)?y?8,定点A(1,0),M为圆 C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足
22????AM=2AP,AM·NP=0，点N的轨迹为曲线E. （Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若过定点A(1,0)的直线l交曲线E于不同的两点G、H， 且满足∠GOH为锐角，求直线l的斜率k的取值范围.
22. (本小题满分14分) 3设函数f(x)?ax?3x?1(x?R)，若对任意x?[?1,1]，都有f(x)≥0成立，求实
第21题图
数a的值.
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数学（文）参考答案
一．选择题 序号 答案 1 B 2 A 3 B 4 D 5 D 6 C 7 A 8 A 9 C 10 B 11 D 12 A 二填空题
13. 2或8； 14．a?1 ； 三．解答题
17．解：（Ⅰ）f(x)?15．3b?a； 416.2. (1?cos2x)2?cos2x?1tan(?x)cos2(?x)44???cos22xsin(?x)cos(?x)44?? ?2cos22xsin(?2x)2?2cos22x??2cos2x??????????????????????cos2x??4分 f(?17?17?17?5??)?2cos(?)?2cos?2cos??2cos??3????????126666Ⅱ）
??6分 （g(x)?c2x?s2x?2s2x??4) ???????????????????oii8分 sn???5?????x??0,??2x???,? 4?44??2?∴x??8时g（x）2 ????????????????????????????max?10分
x??2时g（x）min??1????????????????????????????
??12分
18．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝3，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝23，AD＝4． ???????????
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11AB?BC?AC?CDSABCD22∴＝
115??1?3??2?23?3222．????????????????????????4分
则V＝155?3?2?3323． ???????????????????????? 6分 （Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC． ??????????????8分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD．则EF⊥PC． ????????????10分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．????????????????????????12分
19．设第一个匣子里的三把钥匙为A，B，C，第二个匣子里的三把钥匙为a,b,c(设A,a能打开所有门，B只能打开第一道门，b只能打开第二道门，C,c不能打开任何一道门) （Ⅰ）第一道门打不开的概率为
1；???????????????????????5分 P1?3（Ⅱ）能进入第二道门的情况有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,而二把钥匙的不同情况有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,
Bc,Ca,Cb,Cc共9种，故能进入第二道门的概率为P2?
2?（an?1）?4Sn?20.（Ⅰ）依题n?2时,? 2?（an?1?1）?4Sn?1?22?4an?（an?1）?（an?1?1）5????????????12分 9?（an?1）?（an?1?1）22
an?1?an?1?1或an?1??an?1?1
即
an?an?1?2或an?an?1?0（an?0,舍去） ???????????????????3分 故?an?为等差数列，a1=1，d=2
an?2n?1??????????????????????????????????
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第20学科网（20xk.com） 做中国最大的精品教育资源网 ??5分
（Ⅱ）设公比为q，则由b1b2b3=8，bn>0?b2?2???????????????????6分 又
2,5,5?2q成等差数列 q2q2?5q?2?0???????????????????????????????
??8分
1??q?2?q?或?2?????????????????????????????????b1?1?b?4?110分
Tn?2n?1或Tn?8(1?1)??????????????????????????n212分
21解：（Ⅰ）依题PN为AM的中垂线 NA?NM?NA?NC?|CM|?22???????????????????2
分
又C（-1，0），A（1，0）
所以N的轨迹E为椭圆，C、A为其焦点??????????????????????4分
x2?y2?1为所求?????????????????????5分 a=2，c=1，所以2（Ⅱ）设直线l的方程为：y=k（x-1），代入椭圆E的方程：x+2y=2得：
2
2
（1+2k）x-4kx+2k-2=0??????（1）
设G（x1，y1）、H（x2，y2），则x1，x2是（1）的两个根.
22224k22(k2?1)x1?x2?,x1x2???????????????????????7
1?2k21?2k2分
依题OG?OH?0x1x2?y1y2?0
(k2?1)x1x2?k2(x1?x2)?k2?0
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第20学科网（20xk.com） 2 做中国最大的精品教育资源网 2(k2?1)4k22(k?1)?k?k2?0?????????????????????9221?2k1?2k分 解得：k?分
22.解法（一）： x?[?1,1]时，
2或k??2???????????????????????????12
f(x)?0 即ax3?3x?1?0??①
3x?1??② 3x①
式
化
为
⑴x?0时,1?0恒成立，?a?R ⑵x?(0,1]时，①式化为a?⑶
x?[?1,0)时，
a?3x?1x3??③???????????????????5分 3x?1?3x?2?x?3，3x6?x33(g'x??3??()??????????7分 xx4x411x?[?1,0),g?(x)?0;x?(0,],g?(x)?0;x?(,1],g?(x)?0;
221所以x?[?1,0),g(x)|min?g(?1)?4;x?(0,1],g(x)|max?g()?4;
2记
g(x)?则
1a?4由②，由
a?4???????????????????????????13分
故综
上
③
a?4时，
f(x?)在
x?[?1,1]恒成
立.??????????????????14分 解法（二）： x?[?1,1]时，⑴
f(x)?0 即ax3?3x?1?0??①
时
,
a?0?3x?1?0，
x?
1
3
，不合题
意???????????????????2分 ⑵a?0,∴
f'(x)?3ax2?3?3(ax2?1)?0恒成立
f(x)在[?1,1]上为减函数，f(x)|min?f(1)?a?2?0
得a?2，矛盾，???????????????????????????????5分
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第20学科网（20xk.com） 做中国最大的精品教育资源网 ⑶a?0，
f'(x)=3(ax2?1)
1111),f'(x)?0;x?(?,),f'(x)?0;x?(,??),f'(x)?0 aaaa1a??1，
x?(??,? 若0?a?1,则?1a?1，故在［－1,1］内，
f(x)|min?f(1)?a?2?0，得a?2，矛盾.
若a?1,f(?1)??a?4,f(11)?1?2 aa??a?4?0??a?4?依题意，? 解得 即a?4 ?1?0??a?4?1?2a?综上a?4为所求.?????????????????????????????14
分
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