慧通教育网http://www.htedu.org/
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F．[来源:Zxxk.Com] ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D=60°，AB∥CD． ∵AB∥CD，OE⊥CD，AF⊥CD， ∴OA=OE=AF=EF=5．
在Rt△ADF中，∠D=60°，AF=5， 5
∴DF=33， 5
∴DE=5+33．
5在直角梯形AOED中，OE=5，OA=5，DE=5+33， 1525
∴S梯形AOED=2×（5+5+33）×5=25+63． ∵∠AOE=90°，
9025
∴S扇形OAE=360×π×52=4π．
2525
∴S阴影= S梯形AOED- S扇形OAE=25+63-4π．
2525
即由弧AE、线段AD、DE所围成的阴影部分的面积为25+63-4π． 15. （2011湖北襄阳，23，7分） 慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
⌒上一点，连接BD，如图7，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC AD，OC，∠ADB＝30°. （1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积.
DOBEAC图7
【答案】（1）∵弦BC垂直于半径OA，
⌒ ＝AC⌒ ·∴BE＝CE，AB ························································· 1分 又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝60°. ································ 2分 （2）∵BC＝6，∴CE?1BC?3. 2CE··································· 3分 ?23. ·
sin60?在Rt△OCE中，OC?∴OE?OC2?CE2?4?3?9?3 ····································· 4分 ⌒ ＝AC⌒ 连接OB. ∵AB
∴∠BOC＝2∠AOC＝120° ················································ 5分
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
∴S阴影＝S扇形OBC－S△OBC
＝
1201???(23)2??6?3＝4??33 6分 360216. （2011山东东营，21，9分）(本题满分9分)如图，已知点A、B、C、D 均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120?，四边形ABCD的周长为15.
（1） 求此圆的半径； （2） 求图中阴影部分的面积。
【答案】解：（1）∵ AD∥BC，∠BAD=120°。∴∠ABC=60°。 又∵BD平分∠ABC ，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30° ∴AB?AD?DC，∠BCD=60° ∴AB=AD=DC，∠BDC=90° 又在Rt△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC
???3∴BC+2BC=15 ∴BC=6. ∴ 此圆的半径为3
（2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心，连接OA，OD，过O作OE⊥33AD于E。在Rt△AOE中，∠AOE=30°。∴OE=OAcos30°=2
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
S?AOD?139?3?3?3224
3?96?-9360???329-3=?-3?2443604
∴
S阴影?S扇形AOD-SAOD17. （2011山东枣庄，23，8分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD， ∠ACD=120°.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：连结OC.
?∵ AC，?， ACD?120?CD?A??D?30∴ ?.??????????2分
?2??A?30∵ OA,∴ ?. ?OC?OCD??ACD??2?90∴ ?.
∴ CD是⊙O的切线. ????????????????????????4分
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
?（2）解:∵∠A=30o， ∴ ?. 12??A?60260??22∴ Sπ. ????????????????????6??扇形OBC3603分
在Rt△OCD中, CD?OC?tan60??23. ∴SRt?OCD?11OC?CD??2?23?23. 222π. ????????????????8分 3∴ 图中阴影部分的面积为23?
中考试题来源：http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
2011年100份全国中考数学真题汇编：第36章弧长与扇
形面积
第36章 弧长与扇形面积
一、选择题
1. （2011广东广州市，10，3分）如图2，AB切⊙O于点B，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，⌒的弧长为（ ）． 则劣弧BC 3A．3π C O B A
图2 【答案】A
2. （2011山东滨州，11，3分）如图.在△ABC中,∠B=90°, ∠A=30°，AC=4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C′的位置，且A、C、B′三点在同一条直线上,则点A所经过的最短路线的长为( ) A.43cm B. 8cm C.
3B．2π
3D．2π
C．π
168?cm D. ?cm 33A′BACB′（第11题图）
【答案】D
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
3. （2011山东德州7,3分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，
a4，则下列关系中正确的是
（A）a4>a2>a1 （B）a4>a3>a2 （C）a1>a2>a3 （D）a2>a3>a4 【答案】B
14. （2011山东济宁，9，3分）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一
3个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）
剪
（第9题）
B．35cm C．8cm
D．53cm
A．6cm 【答案】B
5. （2011山东泰安，14 ，3分）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）
A.5π B. 4π C.3π D.2π 【答案】C
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
6. （2011山东烟台，12,4分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7……
?K，K?，K?K，K?K，K?K，K?K，……的圆叫做“正六边形的渐开线”，其中FK12123344556心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…….当AB＝1时，l2 011等于（ ）
A.
2011?2 B.
2011?3
C.
2011? D. 2011?46
K5 K6 K4 D E C F B A K1 K7
K3 K2 （第12题图）
【答案】B
7. （2011浙江杭州，4，3）正多边形的一个内角为135°，则该正多边形的边数为（ A．9 B．8 C．7 D．4 【答案】B
8. （2011宁波市，10，3分）如图，Rt?ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，把Rt?ABC绕边AB所在直线旋转一周则所得的几何体得表面积为
[来源:Zxxk.Com]
A． 4? B． 42? C． 8? D． 82?
【答案】D
慧通教育网http://www.htedu.org/
）若
慧通教育网http://www.htedu.org/
9. （2011浙江衢州，10,3分）如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a(a?3)的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（） A.a2?? B. (4??)a2 C. ? D. 4??
（第10题） 【答案】D
10．（2011台湾台北，27）图(十一)为?ABC与圆O的重迭情形，其中BC为圆O之直径。
若?A＝70?，BC＝2，则图中灰色区域的面积为何？
A．
55110125140? B．? C．? D．? 360360360360【答案】D
11. （2011台湾台北，28）某直角柱的两底面为全等的梯形，其四个侧面的面积依序为20
平方公分、36平方公分、20平方公分、60平方公分，且此直角柱的高为4公分。求此直角柱的体积为多少立方公分？
A．136 B．192 C．240 D．544
【答案】B
12. （2011台湾全区，18）18．判断图(四)中正六边形ABCDEF与正三角形FCG的面积比
为何？
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
A． 2：1 B． 4：3 C． 3：1 D． 3：2
【答案】Ｄ
13. （2011福建泉州，7，3分）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B’，则图中阴影部分的面积是（ ）.
A. 3?
B. 6? C. 5?
D. 4?
【答案】B
14. （2011湖南常德，14，3分）已知圆锥底面圆的半径为6厘米，高为8厘米，则圆锥的侧面积为_______ 厘米2.
A．48 B. 48π C. 120π D. 60π 【答案】D
15. （2011江苏连云港，7，3分）如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N.下列说法错误的是（ ） ．．
A．四边形EDCN是菱形
C．△AEM与△CBN相似 D．△AEN与△EDM全等
B．四边形MNCD是等腰梯形
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
S阴影?S?BOD?S?COE??S扇形DOM?S扇形EON??39?9?44 ∴
39?9?∴图中两部分阴影面积的和为44
9. （2011福建福州，15，4分）以数轴上的原点O为圆心,3为半径的扇形中,圆心角
?AOB?90?,另一个扇形是以点P为圆心,5为半径,圆心角?CPD?60?,点P在数轴
?)相交,那么实数a的取值上表示实数a,如图5.如果两个扇形的圆弧部分(?AB和CD范围是
CB60?PODA图5
【答案】. ?4?a??2
10．（2011湖南怀化，23，10分） 如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF. (1) 求证：OF∥BC；
(2) 求证：△AFO≌△CEB；
(3) 若EB=5cm，CD=103cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积.
【答案】
解：（1）∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
又∵OF⊥AC于F，∴∠AFO=90°， ∴∠ACB=∠AFO ∴OF∥BC
（2）由（1）知，∠CAB+∠ABC=90°
由已知AB⊥CD于E可得 ∠BEC=90°，∠CBE+∠ABC=90° ∴∠CBE=∠CAB 又∠AFO=∠BEC，BE=OF ∴△AFO≌△CEB
（3）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E ∴∠OEC=90°，ＣＥ＝
11ＣＤ＝?103?53. 22在Ｒｔ△ＯＣＥ中，设OE=x，ＯＢ＝５＋ｘ＝ＯＣ 由勾股定理得：ＯＣ２＝ＯＥ２＋ＥＣ２ ∴（５＋ｘ）２＝53在Ｒｔ△ＯＣＥ中
???x 解得ｘ＝５．
22ｔａｎ∠ＣＯＥ＝
53?3. 5∵∠ＣＯＥ为锐角 ∴∠OEC=６0°
由圆的轴对称性可知阴影部分的面积为：
S阴影60??1021100??（2S扇形OBC-S?OEC）?2?（??53?5）??253cm2
36023??慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
11. （2011广东省，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿着x轴向右平稳4个长度单位得⊙P1. （1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；
（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点为A，B，求劣弧?AB与弦AB围成的图形的面积（结果保留?）
【答案】（1）如图所示，两圆外切；
（2）劣弧的长度l?90??2?? 18011??4??2?2???2 422，AC＝21． 5劣弧和弦围成的图形的面积为S?13. （2011山东临沂，23，9分)如图，以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C，
与OB相交于点D，且OD＝BD．已知sinA＝（1）求⊙O的半径；
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
（2）求图中阴影部分的面积．
【解】（1）连接OC，设OC＝r， ∵AC与⊙O相切，
∴OC⊥AC．???????????????????????????（1分） ∵sinA＝
2OC＝， 5OA∴OA＝
5r，???????????????????????????（2分） 2∴AC2＝OA2－OC2 ＝
2522
r－r＝21，??????????????????????????（ 34分）
∴r＝2，即⊙O的半径为2．?????????????????????（ 4分）
（2）连接CD， ∵OD＝BD，OC⊥BC，
∴CD＝OD＝OC，????????????????????????（ 5分）
∴∠COD＝60°，????????????????????????（6分）
∴BC＝3OC＝23，?????????????????????（7分）
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
∴S阴影＝S△OCB－S扇形OCD
＝
11×2×23－π·22 26＝23－
2π．????????????????????????（9分） 314. （2011贵州贵阳，22，10分）
在平行四边形ABCD中，AB=10，∠ABC=60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E．
（1）圆心O到CD的距离是______；（4分）
（2）求由弧AE、线段AD、DE所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号）（6分）
（第22题图）
【答案】解：（1）连接OE．
∵CD切⊙O于点E， ∴OE⊥CD．
则OE的长度就是圆心O到CD的距离． ∵AB是⊙O的直径，OE是⊙O的半径， 1
∴OE=2AB=5．
即圆心⊙到CD的距离是5．
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
【答案】
1 n423. （2011江苏无锡，15，2分）正五边形的每一个内角等于_____________． 【答案】108
24. （2011江苏盐城，17，3分）如图，已知正方形ABCD的边长为12cm，E为CD
边上一点，DE=5cm．以点A为中心，将△ADE按顺时针方向旋转得△ABF，则点E所经过的路径长为 ▲ cm．
ADEFBC
13
【答案】π（也可写成6.5π）
2
25. (20011江苏镇江,13,2分)已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm,则此扇形的半径是______cm面积是_____cm2.(结果保留π) 答案：24，240π
26. （2011内蒙古乌兰察布，15，4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 900, AB = 8cm , BC = 6cm , 分别以A,C为圆心，以
AC的长为半径作圆, 将 Rt△ABC截去两个扇形，则2剩余（阴影）部分的面积为 cm2（结果保留π）
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
ABC第15题图
【答案】(24?25?) 427. （2011贵州安顺，13，4分）已知圆锥的母线长力30，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则该圆锥的底面半径为 ． 【答案】10
28. （2011贵州安顺，18，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以
1AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积2是 ．
第18题图
【答案】8?2?
29. （2011湖北荆州，14，4分）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm.
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
第14题图 【答案】13 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 三、解答题
1. （2011广东汕头，14，6分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿着x轴向右平稳4个长度单位得⊙P1. （1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；
（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点为A，B，求劣弧?AB与弦AB围成的图形
的面积（结果保留?）
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
【答案】（1）如图所示，两圆外切；
（2）劣弧的长度l?90??2?? 180劣弧和弦围成的图形的面积为S?11??4??2?2???2 422. （2011浙江杭州，19， 6)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝1．
(1)求证：∠A≠30°；
(2)将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．
【答案】(1)证明：在△ABC中，∵AB2＝3，AC2+BC2＝2+1＝3，∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB=90°，∴sinA?BC1?3?，∴∠A≠30°． AB2(2)(6?2)?
3. (2011 浙江湖州，20，8) 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠
AOC=60°，OC=2． (1) 求OE和CD的长； (2) 求图中阴影部分的面积．
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
【答案】解：(1)在△OCE中，∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2，∴
31OC?3,∵OA⊥CD，∴CE＝DE，∴CD?23. OE?OC?1，∴CE?22(2) ∵S?ABC?111AB?CE??4?3?23,∴S阴影＝??22－23＝2?－23 2224. （2011浙江省，22，12分）如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC，延长EC到P，连结PB，使PB=PE．
(1) 在以下5个结论中：一定成立的是 （只需将结论的代号填入题中的横线上）①弧AC=弧BC；②OF=CF；③BF=AF；④AC2=AE?AB；⑤PB是⊙O的切线．
(2) 若⊙O的半径为8cm，AE:EF=2:1，求弓形ACB的面积．
【答案】（1）①，③，④，⑤；
设EF=x，则AE=EC=PC=2x，PB=4x，且BF=3x，BE=4x，
（2）
∴PB=BE=PB ∴△PBE是等边三角形 ∴∠PBE=60o.
∵ EA=EC ∴∠CAE=∠ACE ∴∠PEB=∠CAE+∠ACE= 2∠CAE=∠BOC=60o. ∴∠BOA=120o ∴AB=83, OF=4 慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
12064???82??3 ∵ 扇形OAB的面积=3601?4?83?1632 △OAB的面积= 64 ?163∴弓形ACB的面积=3—.
5. （2011福建泉州，23，9分）如图,在?ABC中,?A?90o,O是BC边
AEDBOC
上一点,以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点,
连接OD.已知BD?2,AD?3.求: (1)tanC；
(2)图中两部分阴影面积的和. 【答案】解:(1)连接OE
∵AB、AC分别切?O于D、E两点 ∴?ADO??AEO?90?
又∵?A?90o[来源:Z|xx|k.Com] ∴四边形ADOE是矩形 ∵OD?OE
（第23题）
∴四边形ADOE是正方形. .................................(2分)
∴OD∥AC,OD?AD?3 ∴?BOD??C
∴在Rt?BOD中,tan?BOD?BD?2
OD3∴tanC?2. .................................(5分)
3 (2)如图,设?O与BC交于M、N两点.由(1)得,四边形ADOE是正方形 ∴?DOE?90?
∴?COE??BOD?90?
AE慧通教育网http://www.htedu.org/
DBMONC慧通教育网http://www.htedu.org/
∵在Rt?EOC中,tanC?2,OE?3
3∴EC?9. .................................(7分)
2
∴S扇形DOM?S扇形EON?S扇形DOE?1S?O?1??32?9?
444∴S阴影?S?BOD?S?COE??S扇形DOM?S扇形EON??39?9?
44∴图中两部分阴影面积的和为39?9?............
449分
6. （2011湖南邵阳，23，8分）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：
如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。 （1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。
证明：在AB上截取EA=MC，连结EM，得△AEM。
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB -∠B，∠AMN=∠B=60°， ∴∠1=∠2.
又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=
1∠ACP=60°。 2∴∠MCN=∠3+∠4=120°。??????① 又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。 慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
∴△BEM为等边三角形，∴∠6=60°。 ∴∠5=10°-∠6=120°。??????② 由①②得∠MCN=∠5. 在△AEM和△MCN中，
∵__________,____________,___________, ∴△AEM≌△MCN（ASA）。 ∴AM=MN.
(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”(如图)，N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1=90°时，结论A1M1=M1N1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明）
（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn?Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn=______°时，结论AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明） 【答案】解：（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1； （2）结论成立； （3）
n?2?1800。 n7. （2011江苏连云港，26，12分）
已知∠AOB=60o,半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动,与边OA相切的切点记为点C.
?的长; (1)⊙P移动到与边OB相切时(如图),切点为D,求劣弧CD(2)⊙P移动到与边OB相交于点E,F,若EF=42cm,求OC的长.
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
第26题
【答案】如图连结PD,PC,且PD⊥OB,PC⊥OA,∵∠AOB=60o,∴∠DPC=120o,由弧长公式可知l?n?r120?3???2?. 180180
(2)
8. （2011福建福州，20，12分）如图9,在?ABC中,?A?90o,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点,连接OD.已知BD?2,AD?3. 求:(1)tanC；
(2)图中两部分阴影面积的和.
慧通教育网http://www.htedu.org/
慧通教育网http://www.htedu.org/
AEDBO图9
C
【答案】解:(1)连接OE
∵AB、AC分别切?O于D、E两点 ∴?ADO??AEO?90 又∵?A?90
∴四边形ADOE是矩形 ∵OD?OE
∴四边形ADOE是正方形 ∴OD∥AC,OD?AD?3 ∴?BOD??C
tan?BOD?BD?2OD3 ∴在Rt?BOD中,tanC?23 ∴
o?(2)如图,设⊙O与BC交于M、N两点.由(1)得,四边形ADOE是正方形
AEDBMO?NC
∴?DOE?90
?∴?COE??BOD?90
tanC?23,OE?3 ∵在Rt?EOC中,EC?92 ∴
S扇形DOM?S扇形EON?S扇形DOE?1S?O?1??32?9?444 ∴
慧通教育网http://www.htedu.org/