由题意
?f(x)dx?e?x?C.
（2）xf(x)dx?arctanx?C两边求导得 xf(x)? f(x)??1 1?x21
x(1?x2)则
?111dx??x(1?x2)dx?x2?x4?C.
24f(x) 求下列不定积分
17、（1）
?1x?1dx. dx， （2）?22x?14?2x?xt2?1 【解】（1）令t?2x?1，则x?，dx?tdt
2?13x?1t2?3dx??tdt?t3?t?C
622t2x?13132x?1?C.. ?(2x?1)2?62（2）
?14?2x?x2dx??15?(x?1)2dx
??1(5)?(x?1)22d(x?1)
.?arcsinx?15?C
18、
?1?x9?4x2dx.
【解】
?1?x9?4x2dx??19?4x2dx???x9?4x2dx
?? ?19、sin【解】令t?132?(2x)2dx?112d(9?4x)
8?9?4x212x1arcsin?9?4x2?C. 234?xdx
x，则x?t2，dx?2tdt
?sinxdx??sint?2tdt
??2tcost?2costdt ??2tcost?2sint?C
???2xcosx?2sinx?C.
【第五章】 定积分
20、（1）设f(x)是连续函数，且F(x)??xe?xf(t)dt，求F?(x).
（2）求极限lim?cosxex21?tdt.
x?0【解】（1）对F(x)??xe?xf(t)dt两边求导得
F?(x)??e?xf(e?x)?f(x).
（2）lim?cosxx1e?tdt2x?0洛=e?cosxsinxlimx?02x.
e?1 ?221、求下列定积分 （1）
?10311ln(1?x)dx， （2）?dx ，（3）?22?11(3?x)2x1?x101ln(1?x)1dx?ln(1?x)d ?0(3?x)23?x1xdx.
5?4x【解】（1）
?11?ln(1?x)??dx ????0(1?x)(3?x)?3?x?0ln21111??(?)dx ?2401?x3?x ? ?ln2111?(?ln(1?x)?0??ln|3?x|?0) 24ln2ln3?. 242（2）令x?tant，dx?sectdt，且当x?3时，t???，当x?1时，t? 34?311x21?x2?3dx???41sec2tdt 2tantsect
????34?cost13 dt???4sin2tdsint sin2t??1?32223 ???. ????sint23??4t5?t2（3）令t?5?4x，x?，则dx??dt，且当x?1时，t?1，
24当x??1时，t?3
?1?121t?5xdx??dx
385?4x11?131? ??t?5t??.
8?3?3622、设函数y?f(x)在(0,??)内可导，且f(x)?1?【解】由f(x)?1?1xf(t)dt，求f(x). ?1x1xf(t)dt得 ?1xxf(x)?x??f(t)dt （1）
1x对上式两边求导得 f(x)?xf?(x)?1?f(x)
1 x得 f(x)?lnx?C （2）
f?(x)?
令x?1代入（1）式中得f(1)?1 将f(1)?1代入（2）中得
f(x)?lnx?1.
【第六章】定积分的应用
23、由曲线y?ex及y?ex在点(1,e)处的切线和y轴围成的平面图形D，求（1）平面图形
D的面积，（2）求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.
【解】由于y?e在点(1,e)处的切线为 y?ex （1）则D的面积A为：A?x?10(ex?xe)dx
1?x12? ??e?ex?
2??0 ?1e?1 2 （2）Vx???10(e2x?e2x2)dx
1?12x123? ???e?ex?
3?2?0 ??(e?) 或者Vx??16212122xedx??e ?03112?12x? ???e???e
?2?03 ??(e?).
24、由曲线求y?ex 与直线y?e及y轴所围成的平面图形D，求（1）平面图形
116212D的面积，（2）求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.
??y?ex【解】求交点?得(1,e)
??y?e
则（1）A??0(e?e1x)dx
1x ??ex?e??1.
??0（2）A?? ??01(e2?e2x)dx
?2(e2?1).
25、设曲线y?1?x2及x轴，y轴在第一象限所围成的图形被曲线y?ax2(a?0)分为 面积相等的两部分，是确定a的值.
【解】设由曲线y?1?x2及x轴，y轴在第一象限所围成的图形面积为S， 由曲线y?1?x2， y轴及y?ax2(a?0)围成的图形面积为S1
?1a?y?1?x2,) 由?得交点(1?a1?a??y?ax则 S1??0??11?a(1?x2?ax)dx
??x?(1?a)x3?13??011?a ?2
31?a由于S1?111S??(1?x2)dx 220得a?3.
【第七章】微分方程
求解下列微分方程
26、1?xy??1?y. 【解】由1?xy??1?y得
2222dy1?y2?11?x2dx
两边积分得 arcsiny?arcsinx?C.
27、 y??ysinx?满足yx???1的特解. xx?p(x)dxp(x)dx【解】 由公式y?e?(Q(x)e?dx?C)
?此时p(x)?1sinx，Q(x)?代入公式得 xxy1??dx?ex(sinx?xdx?xedx?C)
1 ? ?28、（1）y???1sinx(xdx?C) x?x1(?cosx?C). x11?x2， （2）xy???y??0.
【解】（1）两边积分 y???1?x2dx?1C1
?arctanx?C1
两边再积分 y?(arctanx?C1)dx?C2 ?xarctanx??1ln(1?x2)?C1x?C2. 2（2）令y??p，则y???p?代入得 xp??p?0 分离变量得
11dp??dx px p?C1 xxC则 y??1
两边积分得 y?C1ln|x|?C2. 29、y???4y??5y?0.
【解】特征方程为r2?4r?5?0，其根为r1??5，r2?1 则方程的通解为y?C1e5x?C2e?x.
30、2y???y??y?2ex.
【解】与所给方程对应的齐次方程为 2y???y??y?0 它的特征方程为
2r?r?1?0 有两个实根r1?
21
，r2??1于是齐次方程的通解为 2
1x2?C1e y?C2e?x
而1不是特征方程的根，所以设y*?aex代入方程得 a?1 从而所求的通解为y
1x2?C1e?C2e?x?ex.
高等数学1期末复习30题
（2017-2018-1）
【第一章】 函数与极限
x?12x)． 1.求极限 lim(x??x? ex x?0,2.设函数f(x)?? 应当怎样选择数a,使得f(x)成为在(??,??)内的连续函数.
? a?x,x?0.? x?1 ，x?1 ，求函数的间断点．
? 3?x ，x?14.设f(x)在[0,1]上连续且f(0)?0,f(1)?1，证明：至少存在一点??(0,1)使得f(?)??．
3.设函数 f(x)??
【第二章】 导数与微分
5、求曲线y?cosx上点(?1,)处的切线方程和法线方程． 622x?xx6、设y?ln1?e?earctane?x, 求y?．
7、求y?xex的二阶导数．
8、设函数y?y(x)由方程y2?lny2?x6所确定，求
2?1dy?x?tt?9、已知?，求当时的值． 32dx??y?3t?t22x10、求函数y?xe的微分．
2dy dx【第三章】 微分中值定理与导数的应用
11、讨论函数y?2ex?e?x的单调性．
4?x?2．
x?0sin2xln(1?3x2)13、求极限 lim． 4x??ln(3?x)12、求极限 lim14、试确定a,b,c的值，使y?x?ax?bx?c在点(1,?1)处有拐点，且在x?0处有极大值为1，并求此函数的极小值.
15、求 y?3x?4x?1 的凹凸区间及拐点．
4332
【第一章】 函数与极限
1、求极限 lim(x??x?12x)． xx?2?1? 【解】原式?lim?1??x???x??e2
? ex x?0,2、设函数f(x)?? 应当怎样选择数a,使得f(x)成为在(??,??)内的连续函数.
? a?x,x?0.【解】根据定义. 有
e?1. f(0)?lim?x?0?x f(0?)?lim(a?x)?a. ?因为f(x)在x?0处连续. 所以有f(0)?f(0?) ?f(0). 即 a ?1. 3、设函数 f(x)??【解】x?1时, 有
x?1?x?0?? x?1 ，x?1 ，求函数的间断点．
? 3?x ，x?1limf(x)?lim3?x?2，limf(x)?limx?1?0， ???x?1x?1x?1所以x?1是函数f(x)的第一类间断点, 且为跳跃间断点.
4、设f(x)在[0,1]上连续且f(0)?0,f(1)?1，证明：至少存在一点??(0,1)使得f(?)??．
【证】 令F(x)?f(x)?x, 则函数F(x)在闭区间[0,1]上连续, 且有
F(0)? F(1)?f(0)?[f(1)?1]?0,
根据零点定理, 在(1,2)内至少有一点?, 使得F(?)?0,即在(1,2)内至少有一点?, 使得f(?)??.
【第二章】 导数与微分
5、求曲线y?cosx上点(,)处的切线方程和法线方程． 621【解】y???sinx，切线斜率k1?y?|???，
t?2611?? 故切线方程为：y???(x?)，即x?2y?(?1)?0
22331 法线斜率为：k2???2
k11?4??1)?0 故法线方程为：y??2(x?)，即4x?2y?(2332x?xx6、设y?ln1?e?earctane?x, 求y?．
?1【解】 y??
11?e2x2ex?xx??earctane． (1?e)??earctane?e?12x1?e2x?xx?x 7、求y?xex的二阶导数． 【解】 y??ex?2x2ex?(1?2x2)ex．
y???4xex?2x(1?2x2)ex?2x(3?2x2)ex．
2268、设函数y?y(x)由方程y?lny?x所确定，求
222222dy dx【解】对方程两边同时关于自变量x求导有：
2yy??2y??6x5y
从而：
3yx5y??2y?1
2?1dy?x?tt?9、已知?，求当时的值． 32?dx?y?3t?tdydydt3?3t2 【解】= ?2tdxdxdt1故当t?时，
2dy15=． dx4
10、求函数y?xe 【解】 因为 所以
22x的微分．
y??2xe2x?2x2e2x?2x(1?x)e2x，
dy?2x(1?x)e2xdx．
【第三章】 微分中值定理与导数的应用
11、讨论函数y?2ex?e?x的单调性． 【解】 函数y?2e?ex?x的定义域为R. 令
y??2e?e解得
x?x2e2x?1??0, xeln2. 2x??因为当x?(??,?当x?(?ln2)时,y??0，所以函数在(??,?ln22]上单调减少； 2ln2,??)时, y??0，函数在区间[?ln22,??)上单调增加. 24?x?2 12、求极限 lim．
x?0sin2x【解】limx?0x12x14?x?2?lim?lim?． x?0sin2xsin2x(4?x?2)2x?0sin2x(4?x?2)8ln(1?3x2)13、求极限 lim． 4x??ln(3?x)6x(1?3x)33?x41ln(1?3x) 【解】 lim. ???lim3lim2444x??4x(3?x)x??ln(3?x)2x??x?3x22?()?2?()?14、试确定a,b,c的值，使y?x3?ax2?bx?c在点(1,?1)处有拐点，且在x?0处有极大值为1，并求此函数的极小值。 【解】
y??3x2?2ax?b,y?(0)?0?b?0 y(0)?1?c?1
y???6x?2a,y??(1)?6?2a?0?a??3y?x3?3x2?1则
y??3x?6x?3x(x?2)令y??0得驻点:x1?0,x2?2.且y??(2)?6?0,故函数的极小值点为x?2，极小值为y(2)??3.
15、求 y?3x4?4x3?1 的凹凸区间及拐点． 【解】函数y?3x?4x?1的定义域为(??,??) y??12x?12x
y???36x?24x?36x(x?)，令y???0得x1=0，x2= (??,0)区间，y???0从而函数在(??,0]是凹的；
22
4332232 32322 (,??)区间，y???0从而函数在[,??)是凹的；
33211211 当x=0时，y=1故(0,1)是这曲线的一个拐点，当x=时，y=故(,)是这曲线的另一
327327 (0,)区间，y???0从而函数在[0,]是凸的；
个拐点。
23
【第四章】 不定积分
16、（1）若e是函数f(x)的一个原函数，求
（2）由xf(x)dx?arctanx?C，求
?x?f(x)dx.
??1dx. f(x) 求下列不定积分
17、（1）
?1x?1dx. dx， （2）?22x?14?2x?x218、
??
1?x9?4xdx.
19、sinxdx.
【第五章】 定积分
20、（1）设f(x)是连续函数，且F(x)??xe?xf(t)dt，求F?(x).
（2）求极限lim21、求下列定积分 （1）
?cosxx1e?tdt2x?0.
?10311ln(1?x)dx， （2） ，（3）dx??1?1x21?x2(3?x)2xdx.
5?4x1x22、设函数y?f(x)在(0,??)内可导，且f(x)?1??f(t)dt，求f(x).
x1【第六章】定积分的应用
23、由曲线y?ex及y?ex在点(1,e)处的切线和y轴围成的平面图形D，求（1）平面图形
D的面积，（2）求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.
24、由曲线求y?ex 与直线y?e及y轴所围成的平面图形D，求（1）平面图形
D的面积，（2）求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.
25、设曲线y?1?x2及x轴，y轴在第一象限所围成的图形被曲线y?ax2(a?0)分为 面积相等的两部分，是确定a的值.
【第七章】微分方程
求解下列微分方程
26、1?xy??1?y. 27、 y??22ysinx?满足yx???1的特解. xx28、（1）y???11?x2， （2）xy???y??0.
29、y???4y??5y?0. 30、2y???y??y?2ex.
解答：
【第四章】 不定积分
16（1）若e是函数f(x)的一个原函数，求
（2）由xf(x)dx?arctanx?C，求【解】（1）由
?x?f(x)dx.
??1dx. f(x)?f(x)dx?F(x)?C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，
p?C1 xxC则 y??1
两边积分得 y?C1ln|x|?C2. 29、y???4y??5y?0.
【解】特征方程为r2?4r?5?0，其根为r1??5，r2?1 则方程的通解为y?C1e5x?C2e?x.
30、2y???y??y?2ex.
【解】与所给方程对应的齐次方程为 2y???y??y?0 它的特征方程为
2r?r?1?0 有两个实根r1?
21
，r2??1于是齐次方程的通解为 2
1x2?C1e y?C2e?x
而1不是特征方程的根，所以设y*?aex代入方程得 a?1 从而所求的通解为y
1x2?C1e?C2e?x?ex.